Svorio centras ir inercijos momentas: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Svorio centras ir inercijos momentas su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: svorio centras, inercijos momentas, lenkimo įtempis.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
1002516012ȳ = ?matmenys mm

Raskite tėjinio skerspjūvio svorio centro aukštį ȳ virš apatinio krašto.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
mm
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Svorio centras ir inercijos momentasPraktikuokitės dabar: Svorio centras ir inercijos momentasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvassvorio centras
  2. Vidutinisinercijos momentas
  3. Sunkuslenkimo įtempis

Pagrindinės formulės

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Išmokite Svorio centras ir inercijos momentas nuo nulio

1Kodėl svarbi pjūvio forma

Perpjaukite siją tiesiai skersai ir pažiūrėkite į pjūvio paviršių. Ta forma yra skerspjūvis, arba tiesiog pjūvis.

Paimkite 100 × 20 mm medinę lentą. Paguldžius ją plokščiai per tarpą, ji labai įlinksta. Pastačius tą pačią lentą ant briaunos, ji daug standesnė, nors jos plotas visiškai toks pats.

1002020100ab

Svarbu, kaip toli nuo ašies, apie kurią sija lenkiasi, išsidėsčiusi medžiaga. Toli nuo tos ašies esanti medžiaga dirba daug intensyviau.

Tai aprašo dvi savybės. Svorio centras yra geometrinis pjūvio centras: sija lenkiasi apie per jį einančią ašį. Plokščios figūros inercijos momentas I matuoja, kaip toli plotas išsklaidytas nuo tos ašies.

Savikontrolė Ta pati lenta naudojama plokščiai (a) ir ant briaunos (b), lenkiama apie horizontalią ašį. Kuri standesnė?
  1. Abi vienodos, nes plotas tas pats
  2. Ant briaunos (b)
  3. Plokščiai (a)
  4. Tai priklauso tik nuo medžiagos

Atsakymas: Ant briaunos (b). Ant briaunos medžiaga yra toliau nuo lenkimo ašies. Plotas tas pats, bet svarbus jo atstumas nuo ašies.

2Sudėtinio pjūvio svorio centras

Stačiakampio svorio centras yra viduryje. Daug sijų pjūvių, pavyzdžiui, T formos, sudaryti iš stačiakampių.

Padalykite pjūvį į stačiakampius. Kiekvienam raskite plotą Ai ir jo paties svorio centro aukštį yi, matuojamą nuo vienos atskaitos linijos, dažniausiai apatinio krašto.

Viso pjūvio svorio centras yra tų aukščių svertinis vidurkis pagal plotus:

ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai

Didelė dalis traukia svorio centrą link savęs. T formos pjūvyje su lentyna viršuje svorio centras yra aukščiau už vidurinį aukštį.

Savikontrolė 1 dalies A = 3000 mm², ties y = 20 mm. 2 dalies A = 1000 mm², ties y = 100 mm. Kur yra svorio centras?
  1. ȳ = 160 mm
  2. ȳ = 40 mm
  3. ȳ = 60 mm
  4. ȳ = 80 mm

Atsakymas: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm yra paprastas aukščių vidurkis, kuris nepaiso plotų. 80 mm sukeičia plotus.

3Plokščios figūros inercijos momentas

Stačiakampiui, kurio plotis b ir aukštis h, lenkiamam apie horizontalią ašį per jo paties svorio centrą:

Ic = b · h³ / 12

Aukštis keliamas kubu, todėl ant briaunos pastatyta lenta yra 25 kartus standesnė: 20·100³ / (100·20³) = 25.

Sudėtiniam pjūviui kiekviena dalis yra tam tikru atstumu d nuo ašies, einančios per bendrą svorio centrą. Lygiagrečiųjų ašių teorema prideda narį tam poslinkiui:

I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )

Vienetas yra mm⁴. Skaičiai būna dideli, todėl atsakymai dažnai pateikiami kaip „× 10⁶ mm⁴“.

Radus I, lenkimo įtempis atstumu y nuo svorio centro ašies išplaukia iš lenkimo momento M:

σ = M · y / I
Savikontrolė Stačiakampis 100 mm pločio ir 20 mm aukščio: kokio dydžio I apie jo paties horizontalią svorio centro ašį?
  1. 1 666 667 mm⁴
  2. 400 000 mm⁴
  3. 66 667 mm⁴
  4. 800 000 mm⁴

Atsakymas: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667 sukeičia b ir h (tai lenta ant briaunos); 800 000 pamiršta dalyti iš 12.

4Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Padalykite pjūvį į stačiakampius ir sunumeruokite juos.
  2. Kiekvienai daliai: plotas Ai ir svorio centro aukštis yi, visi matuojami nuo apatinio krašto.
  3. Svorio centras: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
  4. Kiekvienai daliai: savasis Ic = bh³/12 ir atstumas di = yi − ȳ.
  5. Susumuokite: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
  6. Jei klausiama įtempio: σ = M·y/I, kai y yra atstumas nuo ašies iki reikiamo krašto.

Maža lentelė su stulpeliais A, y, A·y, Ic, d ir A·d² viską išlaiko tvarkoje.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

T formos pjūvis turi 100 × 20 mm lentyną ant 20 × 100 mm sienelės. Raskite svorio centro aukštį ȳ, inercijos momentą Ix ir lenkimo įtempius viršutiniame ir apatiniame kraštuose, kai įlenkiantis momentas 4 kN·m.

1

Padalykite į du stačiakampius

100201002012

Lentyna (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², svorio centras ties y1 = 100 + 10 = 110 mm.

Sienelė (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², svorio centras ties y2 = 50 mm.

2

Svorio centras

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

Abu plotai lygūs, todėl ȳ yra per vidurį tarp 110 ir 50 mm.

3

Savieji inercijos momentai

Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4

Lygiagrečiųjų ašių nariai

1002010020xȳ = 80

Kiekvienas svorio centras yra 30 mm nuo ašies x: d1 = 110 − 80 = 30 mm ir d2 = 50 − 80 = −30 mm.

Kiekvienai daliai:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴
5

Bendras inercijos momentas

Ix = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5,33 × 10⁶ mm⁴
6

Lenkimo įtempiai

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. Apatinis kraštas yra 80 mm nuo ašies, viršutinis 120 − 80 = 40 mm.

σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

Apatinis kraštas tempiamas, o viršutinis gniuždomas, kaip ir bet kurioje įlinkstančioje sijoje.

Atsakymas

ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σbottom = 60 MPa ir σtop = 30 MPa.

6Dažnos klaidos

  • Pamirštamas narys A·d². Be jo sudedami tik dalių savieji I, kurie yra per maži.
  • Aukščiai yi matuojami nuo skirtingų atskaitos linijų. Pasirinkite apatinį kraštą ir jo laikykitės.
  • d imamas nuo apatinio krašto, o ne nuo bendro svorio centro.
  • Sukeičiami b ir h formulėje bh³/12. Kubu keliamas matmuo, statmenas lenkimo ašiai.
  • σ = M·y/I naudojamas netinkamas atstumas iki krašto. Toliausiai nuo ašies esantis kraštas turi didžiausią įtempį.
Savikontrolė 100 × 20 mm stačiakampio (plotis × aukštis) svorio centras yra 50 mm nuo ašies x. Koks jo indėlis į Ix?
  1. 0,067 × 10⁶ mm⁴
  2. 5,00 × 10⁶ mm⁴
  3. 5,07 × 10⁶ mm⁴
  4. 6,67 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0,067 × 10⁶ pamiršta A·d²; 5,00 × 10⁶ pamiršta savąjį narį; 6,67 × 10⁶ naudoja 1 666 667 (sukeisti b ir h) plius A·d².

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: svorio centras. Raskite T formos pjūvio ȳ virš apatinio krašto. Variantai: kampuotis, vieno stačiakampio, apskritimo (πd⁴/64) ar dėžinio pjūvio I.
  • Vidutiniai: inercijos momentas. Raskite T formos pjūvio Ix apie jo svorio centro ašį. Variantai: I formos pjūviai, U formos profiliai ir inercijos spindulys r = √(I/A).
  • Sunkūs: lenkimo įtempis. T formos pjūvį veikia momentas M; raskite įtempį viršutiniame ar apatiniame krašte pagal σ = M·y/I.

Duoti matmenys yra bf ir tf lentynai bei tw ir hw sienelei.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
260102808ȳ = ?matmenys mm

Raskite tėjinio skerspjūvio svorio centro aukštį ȳ virš apatinio krašto.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm

Raskite ȳ (mm)

Rodyti užuominas
  1. Padalykite T į lentyną ir sienelę ir raskite kiekvienos plotą bei svorio centro aukštį.
  2. ȳ = ΣA·y / ΣA, kiekvieną y matuojant nuo apatinio krašto.
  3. Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
sienelė: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Svorio centras

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217,9 mm

Atsakymas

ȳ = 217,9 mm
Pavyzdys 2Vidutinis
100 mm240 mm156 mmØ30xIx​ = ?

100 mm × 240 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 156 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmskylės centras: y = 156 mm

Raskite Ix (× 10⁶ mm⁴)

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia raskite svorio centrą: plokštė minus skylė.
  2. ȳ = 118,9 mm.
  3. Tada I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) ȳ atžvilgiu.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Pavyzdys 3Sunkus
100 mm200 mm120 mm30 × 20xIx​ = ?

100 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 30 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 120 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 100 mmh = 200 mmiškirpimas: 30 × 20 mmskylės centras: y = 120 mm

Raskite Ix (× 10⁶ mm⁴)

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia raskite svorio centrą: plokštė minus skylė.
  2. ȳ = 99,38 mm.
  3. Tada I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) ȳ atžvilgiu.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Klausimai ir atsakymai

Svorio centras ir inercijos momentas: kas tai?

Perpjaukite siją tiesiai skersai ir pažiūrėkite į pjūvio paviršių. Ta forma yra skerspjūvis, arba tiesiog pjūvis.

Paimkite 100 × 20 mm medinę lentą. Paguldžius ją plokščiai per tarpą, ji labai įlinksta. Pastačius tą pačią lentą ant briaunos, ji daug standesnė, nors jos plotas visiškai toks pats.

Svorio centras ir inercijos momentas: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Svorio centras ir inercijos momentas: ką lavinsite?
  • Lengvas: svorio centras
  • Vidutinis: inercijos momentas
  • Sunkus: lenkimo įtempis

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Toliau

Kolonų klupimasSijos įlinkis

Skaičiuoklės

Inercijos momento skaičiuoklė (skerspjūvio inercijos momentas)Svorio centro skaičiuoklė (sudėtinės figūros ir daugiakampiai)

Kursai su šia tema

StatikaMedžiagų mechanikaFE Civil egzamino praktika

Daugiau temų: Statybos inžinerija

Skersinė jėga ir lenkimo momentasSantvara: mazgų metodasSijos įlinkisKolonų klupimasEfektinis įtempis grunteKonsolidacinis nuosėdisHidrostatinė jėgaTekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Svorio centras ir inercijos momentas su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Svorio centras ir inercijos momentasPraktikuokitės dabar: Svorio centras ir inercijos momentasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.