Rėmai ir mechanizmai: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Rėmai ir mechanizmai su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: dviejų jėgų strypai ir paprasti mechanizmai, šarnyrų jėgos ir jungčių sistemos, daugiastrypiai rėmai.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
15 kN4 m1,2 m0,8 m0,8 mABCDEK

Parodytas A formos rėmas remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, nutolusias 4 m. Vertikali 15 kN apkrova veikia koją AC taške K, 0,8 m (horizontaliai) nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją By ties ritiniu.

P = 15 kNAB = 4 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,8 m
kN
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Rėmai ir mechanizmaiPraktikuokitės dabar: Rėmai ir mechanizmaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasdviejų jėgų strypai ir paprasti mechanizmai
  2. Vidutinisšarnyrų jėgos ir jungčių sistemos
  3. Sunkusdaugiastrypiai rėmai

Kaip spręsti uždavinius tema Rėmai ir mechanizmai

  1. Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
  2. Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
  3. Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
  4. Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Dažnos klaidos

  • Strypo, turinčio apkrovą tarp šarnyrų, laikymas dviejų jėgų strypu.
  • Šarnyro jėgos nukreipimas ta pačia kryptimi abiem jungiamiesiems strypams.
  • Visos pasvirosios jėgos laikymas jos vertikaliąja komponente momentų lygtyje.
  • Nurodoma tik viena komponentė, kai klausiama šarnyro jėgos modulio.

Pagrindinės formulės

Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Išmokite Rėmai ir mechanizmai nuo nulio

Prieš tai: Sijų atramų reakcijos, Santvara: mazgų metodas

1Kas yra rėmai ir mechanizmai

Santvaroje kiekvienas strypas yra tiesus, abiejuose galuose turi šarnyrus, o apkrovos veikia tik mazguose, todėl kiekvienas strypas tiesiog tempiamas arba gniuždomas. Rėmas kitoks: bent vienas strypas apkrautas trijuose ar daugiau taškų arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Toks strypas dar ir lenkiamas.

ABCDE8 kN

Šiame A formos rėme kojos AC ir BC yra daugiajėgiai strypai: kiekviena apkrauta atramoje, ryšyje ir šarnyre C. Ryšys DE abiejuose galuose pritvirtintas šarnyrais ir viduryje nieko neneša. Rėmas, kuris juda ir įėjimo jėgą paverčia išėjimo jėga, pavyzdžiui, replės, svertas ar spaustuvas, vadinamas mechanizmu.

Savikontrolė Kuris A formos rėmo strypas yra dviejų jėgų strypas?
  1. Kiekvienas strypas, nes kiekvienas turi du šarnyrus galuose
  2. Koja AC, nes ji neša apkrovą
  3. Koja BC, nes ji remiasi į ritinį
  4. Ryšys DE

Atsakymas: Ryšys DE. DE jėgos veikia tik dviejuose šarnyruose, todėl jo jėga veikia išilgai DE. Be atramos ir šarnyro C, kiekviena koja dar priima ryšio jėgą taške D arba E, taigi ji neša tris jėgas, o ne dvi.

2Dviejų jėgų strypai ir šarnyrų jėgos

Strypas, apkrautas tik dviejuose šarnyruose, vadinamas dviejų jėgų strypu. Jo dvi jėgos yra vienodo didumo, priešingos krypties ir veikia tiese per šarnyrus. Todėl jis suteikia vieną nežinomąjį – jėgos didumą, o ne dvi komponentes.

Kur du strypai susitinka šarnyre, šarnyras vieną strypą veikia jėga (Cx, Cy), o kitą – priešinga jėga (−Cx, −Cy). Taip ir braižykite, su tais pačiais žymenimis, abiejose laisvojo kūno diagramose.

Kiekvienas atskiras strypas duoda tris lygtis: ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Momentus imkite šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada abi jo komponentės iškrenta.

3Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Nubraižykite visą rėmą ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
  2. Pažymėkite dviejų jėgų strypus: jų jėgos veikia tiese tarp jų šarnyrų.
  3. Išardykite rėmą ir kiekvieną daugiajėgį strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis.
  4. Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Komponentes į modulį sujunkite pabaigoje: F = √(Fx² + Fy²).

4Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 3 m. Šarnyras C yra 2,4 m aukštyje, o ryšys DE – 0,8 m virš žemės. Taške C veikia 8 kN apkrova. Raskite ryšio tempimo jėgą T ir šarnyro C jėgą, veikiančią koją BC.

1

Pažvelkite į rėmą

ABCDE8 kN3 m0,8 m1,6 m

Ryšys DE yra dviejų jėgų strypas, todėl jis abi kojas tempia horizontaliai.

2

Visas rėmas

Apkrova yra per vidurį, todėl kiekviena atrama neša pusę jos.

Ay = By = 8/2 = 4 kN, Ax = 0
3

Koja BC: momentai taško C atžvilgiu

4 kNTCx​Cy​CEB

B yra 1,5 m į dešinę nuo C, o ryšys yra 2,4 − 0,8 = 1,6 m žemiau C.

4·1,5 = T·1,6 ⇒ T = 3,75 kN
4

Koja BC: jėgų pusiausvyra

Cx = T = 3,75 kN, Cy = −4 kN
C = √(3,75² + 4²) = 5,48 kN
5

Patikrinkite atsakymą

Kojai AC šarnyro jėga priešinga: (−3,75, +4) kN. Kai Ay = 4 kN, ryšio jėga +3,75 kN ir apkrova −8 kN, abi jėgų sumos lygios nuliui.

Atsakymas

T = 3,75 kN (tempimas) ir C = 5,48 kN kojai BC.

5Mechanizmai: replės, svertai ir alkūniniai mechanizmai

Mechanizmui nubraižykite vieną dalį ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu. Šarnyro jėga iškrenta, o įėjimo ir išėjimo jėgos subalansuojamos:

Fin·a = Fout·b

Replės, kai ranka veikia 100 mm nuo šarnyro, o žandikauliai yra 25 mm nuo jo, jėgą padidina 100/25 = 4 karto. Šarnyras tada neša abi jėgas: vienoje pusėje jos nukreiptos ta pačia kryptimi, bet priešingose šarnyro pusėse, todėl sudedamos.

Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ. Kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, kurio jėga F/(2 sin θ), o spaudimo jėga yra F/(2 tan θ). Kuo jungtys plokštesnės, tuo jėga didesnė.

Savikontrolė Replės suspaudžiamos 50 N jėga 100 mm nuo šarnyro, o žandikauliai yra 25 mm nuo šarnyro. Kokia griebimo jėga?
  1. 12,5 N
  2. 200 N
  3. 250 N
  4. 50 N

Atsakymas: 200 N. Momentai šarnyro atžvilgiu: 50·100 = Q·25, todėl Q = 200 N. Apvertus santykį gautųsi 12,5 N, o 250 N yra šarnyro jėga – rankos jėga plius griebimo jėga.

6Dažnos klaidos

  • Strypo, turinčio apkrovą tarp šarnyrų, laikymas dviejų jėgų strypu.
  • Šarnyro jėgos braižymas ta pačia kryptimi abiem jungiamiesiems strypams.
  • Pasvirosios atsparos visos jėgos naudojimas vietoj jos vertikaliosios komponentės.
  • Nurodoma viena komponentė, kai klausiama šarnyro jėgos didumo.
Savikontrolė Atspara spaudžia siją 10 kN jėga 30° kampu į siją. Kokia komponentė, statmena sijai?
  1. 10 kN
  2. 20 kN
  3. 5 kN
  4. 8,66 kN

Atsakymas: 5 kN. Statmena komponentė yra 10·sin 30° = 5 kN. 8,66 kN yra komponentė išilgai sijos (cos 30°), o 10 kN – visa jėga.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: dviejų jėgų strypai ir paprasti mechanizmai. Randate replių griebimo jėgą ar šarnyro jėgą, sienos kronšteino atsparos jėgą, A formos rėmo ryšio jėgą ar atramos reakciją arba kampinio sverto išėjimo jėgą.
  • Vidutiniai: šarnyrų jėgos ir sverteliai. Randate kronšteino ar kampinio sverto šarnyro reakciją, ryšio jėgą nesimetrinei apkrovai, šarnyro jėgą, veikiančią koją, jėgą trišarnyrio rėmo strype ar alkūninio mechanizmo spaudimo jėgą.
  • Sunkūs: daugiastrypiai rėmai. Prie kronšteino pridedate tolygiai pasiskirsčiusią apkrovą, randate strėlės su nuosvoriu lyno jėgą ar šarnyro reakciją, šarnyro jėgą nesimetrinei apkrovai, atramos reakciją veikiant horizontaliai apkrovai ar jėgą, reikalingą alkūniniam presui.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
12 kN0,5 m1 m1,2 mABCD

Horizontali sija AB šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir paremta atspara CD, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške C, 1,2 m žemiau A. Laisvajame gale B kabo 12 kN apkrova. Svorių nepaisykite. Raskite jėgą FCD atsparoje.

P = 12 kNAD = 0,5 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

Raskite FCD (kN)

Rodyti užuominas
  1. CD apkrauta tik dviejuose šarnyruose, todėl yra dviejų jėgų strypas: jos jėga veikia išilgai CD.
  2. Sijai imkite momentus taško A atžvilgiu: momentą turi tik atspara ir apkrova.
  3. sin α = 1,2/√(0,5² + 1,2²) = 0,9231.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Dviejų jėgų strypas

Atspara turi šarnyrus abiejuose galuose ir tarp jų apkrovos neturi.

tan α = 1,2/0,5, sin α = 0,9231

Sijos momentai taško A atžvilgiu

FCD·sin α·0,5 = 12·1,5
FCD = 18/(0,9231·0,5) = 39 kN

Atsakymas

FCD = 39 kN

Atspara stumia siją aukštyn: ji gniuždoma.

Pavyzdys 2Vidutinis
8 kN0,75 m1,25 m0,75 mABCD

Horizontali sija AB šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir paremta atspara CD, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške C, 0,75 m žemiau A. Taške B kabo 8 kN apkrova. Svorių nepaisykite. Raskite šarnyro jėgos, veikiančios siją taške A, didumą A.

P = 8 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 0,75 m

Raskite A (kN)

Rodyti užuominas
  1. Pirmiausia raskite atsparos jėgą: sijos momentai taško A atžvilgiu.
  2. FCD = 30,17 kN, sin α = 0,7071, cos α = 0,7071.
  3. Tada ΣFx = 0 ir ΣFy = 0 sijai duoda komponentes taške A.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Atsparos jėga

FCD = 8·2/(0,7071·0,75) = 30,17 kN

Komponentės taške A

Ax = FCD·cos α = 21,33 kN (link sienos)
Ay = 8 − FCD·sin α = −13,33 kN

Modulis

A = √(21,33² + −13,33²) = 25,16 kN

Atsakymas

A = 25,16 kN

Neigiamas Ay reiškia, kad siena traukia siją žemyn taške A.

Pavyzdys 3Sunkus
8 kN1 kN2 m1 mABC

Tolygi horizontali strėlė AB, sverianti 1 kN, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir laikoma lyno nuo galo B iki sienos taško C, 1 m virš A. Taške B kabo 8 kN apkrova. Raskite lyno įtempimą T.

W = 8 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m

Raskite T (kN)

Rodyti užuominas
  1. Lynas traukia išilgai BC. Strėlei imkite momentus taško A atžvilgiu.
  2. Vertikalioji lyno komponentė T·sin β turi petį AB; jos horizontalioji komponentė eina per A.
  3. sin β = 1/√(2² + 1²) = 0,4472.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Lyno kampas

BC = √(2² + 1²) = 2,236 m, sin β = 0,4472

Momentai A atžvilgiu

T·0,4472·2 = 8·2 + 1·1
T = 19,01 kN

Atsakymas

T = 19,01 kN

Klausimai ir atsakymai

Rėmai ir mechanizmai: kas tai?

Santvaroje kiekvienas strypas yra tiesus, abiejuose galuose turi šarnyrus, o apkrovos veikia tik mazguose, todėl kiekvienas strypas tiesiog tempiamas arba gniuždomas. Rėmas kitoks: bent vienas strypas apkrautas trijuose ar daugiau taškų arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Toks strypas dar ir lenkiamas.

Šiame A formos rėme kojos AC ir BC yra daugiajėgiai strypai: kiekviena apkrauta atramoje, ryšyje ir šarnyre C. Ryšys DE abiejuose galuose pritvirtintas šarnyrais ir viduryje nieko neneša. Rėmas, kuris juda ir įėjimo jėgą paverčia išėjimo jėga, pavyzdžiui, replės, svertas ar spaustuvas, vadinamas mechanizmu.

Rėmai ir mechanizmai: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
  2. Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
  3. Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
  4. Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Rėmai ir mechanizmai: kokios klaidos dažniausios?
  • Strypo, turinčio apkrovą tarp šarnyrų, laikymas dviejų jėgų strypu.
  • Šarnyro jėgos nukreipimas ta pačia kryptimi abiem jungiamiesiems strypams.
  • Visos pasvirosios jėgos laikymas jos vertikaliąja komponente momentų lygtyje.
  • Nurodoma tik viena komponentė, kai klausiama šarnyro jėgos modulio.
Rėmai ir mechanizmai: ką lavinsite?
  • Lengvas: dviejų jėgų strypai ir paprasti mechanizmai
  • Vidutinis: šarnyrų jėgos ir jungčių sistemos
  • Sunkus: daugiastrypiai rėmai

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Sijų atramų reakcijosSantvara: mazgų metodas

Kursai su šia tema

Statika

Daugiau temų: Mechanikos inžinerija

Sijų atramų reakcijosAšinis įtempis ir deformacijaVelenų sukimasMoro apskritimas ir įtempių transformacijaSviedinio judėjimasDarbas ir energijaStandžiojo kūno sukimasisMechaniniai virpesiaiŠiluminiai varikliai ir šaldytuvaiDujų galios ciklaiTolydumas ir BernulisTrintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSiurbliai ir siurblių galiaŠilumos laidumasKrumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Rėmai ir mechanizmai su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Rėmai ir mechanizmaiPraktikuokitės dabar: Rėmai ir mechanizmaiKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.