Moro apskritimas ir įtempių transformacija: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Q: Moro apskritimas ir įtempių transformacija: ką lavinsite?

Lengvas: pagrindiniai įtempiai Vidutinis: didžiausias tangentinis įtempis ir pagrindinė kryptis Sunkus: įtempiai pasvirajame pjūvyje Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Nemokami uždaviniai tema Moro apskritimas ir įtempių transformacija su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: pagrindiniai įtempiai, didžiausias tangentinis įtempis ir pagrindinė kryptis, įtempiai pasvirajame pjūvyje.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas

Apkrautos detalės taške pagrindiniai įtempiai plokštumoje σ₁ = 90 MPa ir σ₂ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_avg, veikiantį didžiausio tangentinio įtempio plokštumose.

σ₁ = 90 MPaσ₂ = −20 MPa

Kitas uždavinys →

Praktikuokitės nemokamai: Moro apskritimas ir įtempių transformacija Praktikuokitės dabar: Moro apskritimas ir įtempių transformacijaKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

Lengvaspagrindiniai įtempiai
Vidutinisdidžiausias tangentinis įtempis ir pagrindinė kryptis
Sunkusįtempiai pasvirajame pjūvyje

Kaip spręsti uždavinius tema Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Dažnos klaidos

Transformacijos lygtyse naudojamas θ vietoj 2θ.
(σx − σy)/2 ir τxy sudedami, užuot sujungus juos pagal Pitagoro teoremą.
Suklystama dėl tangentinio įtempio ženklų taisyklės.

Pagrindinės formulės

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Išmokite Moro apskritimas ir įtempių transformacija nuo nulio

Prieš tai: Ašinis įtempis ir deformacija

1Kodėl įtempis priklauso nuo krypties

Ašinėje pamokoje įtempis buvo vienas skaičius: jėga, padalyta iš ploto. Tačiau įtempis taške priklauso nuo pjūvio krypties, į kurį žiūrite.

Sukite kreidos gabalėlį, kol jis lūš. Jis lūžta spirale 45° kampu, o ne tiesiai skersai. Toje 45° plokštumoje tempimas didžiausias, o kreida silpna tempiant.

Norėdami aprašyti įtempį viename taške, inžinieriai nubraižo mažytį kvadratą, įtempių elementą, ir pažymi įtempius ant jo sienelių:

σ_x ir σ_y yra normaliniai įtempiai, statmeni sienelėms. Teigiamas reiškia tempimą (rodyklės nukreiptos į išorę), neigiamas – gniuždymą.
τ_xy yra šlyties įtempis, veikiantis išilgai sienelių. Jis stengiasi kvadratą paversti rombu.

Pasukite kvadratą, ir įtempiai ant jo sienelių pasikeis. Ši pamoka parodo, kaip juos rasti kiekvienai krypčiai ir kurios kryptys pavojingiausios.

Savikontrolė Taške σ_x = −40 MPa. Ką tai reiškia?

40 MPa gniuždymas x kryptimi
40 MPa gniuždymas y kryptimi
40 MPa tempimas x kryptimi
40 MPa šlyties įtempis

Atsakymas: 40 MPa gniuždymas x kryptimi. Pagal įprastą ženklų taisyklę tempimas yra teigiamas, todėl neigiamas σ_x yra gniuždymas, veikiantis sieneles, statmenas x.

2Moro apskritimas

Mohro apskritimas yra visų krypčių vaizdas vienu metu. Kiekvienas apskritimo taškas yra vienas galimas detalės taško pjūvis.

Normalinį įtempį σ atidėkite į dešinę, o šlyties įtempį τ aukštyn. Tada pažymėkite du taškus:

taškas x ties (σ_x, τ_xy): įtempiai ant sienelės, statmenos x,
taškas y ties (σ_y, −τ_xy): įtempiai ant sienelės, statmenos y.

Apskritimas eina per abu taškus. Jo centras C yra σ ašyje, per vidurį tarp jų. Spindulys R randamas pagal Pitagorą:

C = (σ_x + σ_y) / 2 R = √( ((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy² )

Ten, kur apskritimas kerta σ ašį, šlyties įtempis lygus nuliui. Šios dvi reikšmės yra pagrindiniai įtempiai, didžiausias ir mažiausias normalinis įtempis taške. Apskritimo viršus yra didžiausias šlyties įtempis plokštumoje:

σ₁ = C + R σ₂ = C − R τ_max = R

Savikontrolė σ_x = 50 MPa, σ_y = 10 MPa ir τ_xy = 15 MPa. Kiek yra σ₁?

45 MPa
50 MPa
55 MPa
65 MPa

Atsakymas: 55 MPa. C = 30 MPa ir R = √(20² + 15²) = 25 MPa, taigi σ₁ = 55 MPa. 65 sudeda 20 + 15, užuot naudojus Pitagorą; 50 nepaiso šlyties įtempio.

3Kampai: apskritime padvigubėja

Pasukus elementą kampu θ, jo taškas Mohro apskritime pasislenka 2θ ta pačia kryptimi. Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

σ₁ kryptis yra kampas θ_p nuo x ašies, randamas iš:

tan 2θ_p = 2τ_xy / (σ_x − σ_y)

Atkreipkite dėmesį į ketvirtį. Jei σ_x − σ_y neigiama, prie 2θ_p pridėkite 180°, kai τ_xy > 0, arba atimkite 180°, kai τ_xy < 0. Tada padalykite pusiau.

Didžiausios šlyties plokštumos yra 45° nuo pagrindinių krypčių (apskritime 90°).

Plokštumai, kurios normalė pasukta θ nuo x ašies, įtempiai yra:

σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2 · cos 2θ + τ_xy · sin 2θ

τ_θ = −(σ_x − σ_y)/2 · sin 2θ + τ_xy · cos 2θ

Savikontrolė Taške tan 2θ_p = 1, o σ_x − σ_y yra teigiama. Kiek yra θ_p?

22,5°
45°
90°
−67,5°

Atsakymas: 22,5°. 2θ_p = 45°, taigi θ_p = 22,5°. Atsakymas 45° reiškia, kad pamirštama perpus sumažinti apskritimo kampą. −67,5° yra σ₂ kryptis, 90° nuo jos.

4Metodas žingsnis po žingsnio

Užrašykite σ_x, σ_y ir τ_xy su ženklais: tempimas teigiamas, gniuždymas neigiamas.
Raskite centrą C = (σ_x + σ_y)/2.
Raskite spindulį R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²).
Pagrindiniai įtempiai: σ₁ = C + R ir σ₂ = C − R. Didžiausias šlyties įtempis plokštumoje: τ_max = R.
Kryptys: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y), patikrinkite ketvirtį, tada dalykite pusiau.
Duotai plokštumai θ: naudokite σ_θ ir τ_θ lygtis su 2θ.

Greitas apskritimo eskizas, net grubus, parodo ženklus ir kuris taškas yra σ₁.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Taške σ_x = 80 MPa, σ_y = 20 MPa ir τ_xy = 40 MPa. Raskite pagrindinius įtempius, τ_max, σ₁ kryptį θ_p ir normalinį įtempį plokštumoje, pasuktoje 45° prieš laikrodžio rodyklę.

Pažiūrėkite į elementą

Abu normaliniai įtempiai yra tempimo. Šlyties įtempis teigiamas.

Centras ir spindulys

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa

R = √(30² + 40²) = 50 MPa

Pagrindiniai įtempiai ir didžiausia šlytis

σ₁ = 50 + 50 = 100 MPa σ₂ = 50 − 50 = 0 MPa

τ_max = R = 50 MPa

Pagrindinė kryptis

tan 2θ_p = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333

σ_x − σ_y yra teigiama, todėl pataisos nereikia: 2θ_p = 53,1° ir θ_p = 26,6° prieš laikrodžio rodyklę nuo x.

Plokštuma, pasukta 45°

Kai θ = 45°, 2θ = 90°: cos 2θ = 0 ir sin 2θ = 1.

σ_θ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa

Patikrinkite atsakymą

Suma σ_x + σ_y = 100 MPa lygi σ₁ + σ₂ = 100 MPa. Ši suma ta pati bet kokiam pasukimui, todėl tai greitas patikrinimas.

Be to, 90 MPa yra tarp σ₂ = 0 ir σ₁ = 100 MPa, kaip ir turi būti kiekvienam normaliniam įtempiui.

Atsakymas

σ₁ = 100 MPa, σ₂ = 0, τ_max = 50 MPa, θ_p = 26,6° ir σ_45° = 90 MPa.

6Dažnos klaidos

Tiesiogiai sudedami (σ_x − σ_y)/2 ir τ_xy. Spindulys juos jungia pagal Pitagorą.
Transformacijos lygtyse naudojamas θ vietoj 2θ arba pamirštama perpus sumažinti iš apskritimo nuskaitytą kampą.
Praleidžiamas minuso ženklas: gniuždymo įtempis turi būti įrašytas kaip neigiamas skaičius.
Taškas y pažymimas ties (σ_y, +τ_xy). Jis yra ties −τ_xy, kitoje centro pusėje nei x.
Neatsižvelgiama į 2θ_p ketvirtį, kai σ_x < σ_y.

Savikontrolė σ_x = 60 MPa, σ_y = 0 ir τ_xy = 40 MPa. Koks didžiausias šlyties įtempis plokštumoje?

30 MPa
40 MPa
50 MPa
70 MPa

Atsakymas: 50 MPa. τ_max = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70 sudeda 30 + 40; 30 nepaiso šlyties įtempio; 40 yra tik τ_xy.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

Lengvi: pagrindiniai įtempiai. Pagal σ_x, σ_y ir τ_xy raskite σ₁ arba σ₂. Variantai: gryna šlytis arba kampu perpjautas ašinis strypas.
Vidutiniai: didžiausia šlytis ir pagrindinė kryptis. Raskite τ_max = R arba kampą θ_p tarp −90° ir 90°.
Sunkūs: įtempis pasvirusioje plokštumoje. Naudokite σ_θ ar τ_θ lygtį su 2θ. Variantai derina ašinę apkrovą ir sukimą arba naudoja pagrindinius įtempius stiprumo patikroje, pavyzdžiui, pagal von Misesą ar Trescą.

Pirmiausia užrašykite C ir R. Beveik į kiekvieną šios temos klausimą atsakoma iš šių dviejų skaičių.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas

Taške σₓ = 30 MPa ir σᵧ = 50 MPa, be to, veikia tam tikras tangentinis įtempis. Elemente, pasuktame 30°, normalinis įtempis pasuktoje x′ kryptyje lygus 87 MPa. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasuktoje y′ kryptyje.

σ_x = 30 MPaσ_y = 50 MPaσ_x′ = 87 MPaθ = 30°

Raskite σ_y′ (MPa)

Rodyti užuominas

Jums nereikia nei τₓᵧ, nei transformacijos lygčių.
Normalinių įtempių suma dviejose statmenose plokštumose visomis kryptimis vienoda (Moro apskritimo centras nejuda).
σₓ + σᵧ = 80 MPa.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Pirmasis įtempių invariantas

Taškai x′ ir y′ yra priešinguose skersmens galuose, todėl jų vidurkis visada lygus centrui C.

σ_x′ + σ_y′ = σ_x + σ_y

σ_y′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

Atsakymas

σ_y′ = −7 MPa

Pavyzdys 2Vidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPa

Raskite θ_p (°)

Rodyti užuominas

Nubraižykite Moro apskritimą: taškas x ties (σₓ, τₓᵧ), taškas y ties (σᵧ, −τₓᵧ), centras C per vidurį.
tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). Atkreipkite dėmesį į ketvirtį.
C = 10 MPa, R = 31,62 MPa.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108,4°

Kampas elemente

θ_p = −54,22°

Atsakymas

θ_p = −54,22°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

Pavyzdys 3Sunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 500 mm, o sienelės storis 5 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 2,5 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 60° kampą su cilindro ašimi. Raskite tangentinio įtempio didumą |τ_n|, veikiančio išilgai suvirinimo siūlės.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

Raskite |τ_n| (MPa)

Rodyti užuominas

Žiedinis įtempis σ_h = pr/t, ašinis įtempis σ_a = pr/(2t). Ašinėje ir žiedinėje plokštumose tangentinių įtempių nėra.
Tangentinis įtempis išilgai siūlės: |τ_n| = (σ_h − σ_a)·sin α·cos α.
σ_h = 125 MPa, σ_a = 62,5 MPa.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Sienelės įtempiai

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa

σ_a = pr/(2t) = 62,5 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

|τ_n| = (125 − 62,5)·sin 60°·cos 60° = 27,06 MPa

Atsakymas

|τ_n| = 27,06 MPa

Klausimai ir atsakymai

Moro apskritimas ir įtempių transformacija: kas tai?

Ašinėje pamokoje įtempis buvo vienas skaičius: jėga, padalyta iš ploto. Tačiau įtempis taške priklauso nuo pjūvio krypties, į kurį žiūrite.

Sukite kreidos gabalėlį, kol jis lūš. Jis lūžta spirale 45° kampu, o ne tiesiai skersai. Toje 45° plokštumoje tempimas didžiausias, o kreida silpna tempiant.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Moro apskritimas ir įtempių transformacija: kokios klaidos dažniausios?

Transformacijos lygtyse naudojamas θ vietoj 2θ.
(σx − σy)/2 ir τxy sudedami, užuot sujungus juos pagal Pitagoro teoremą.
Suklystama dėl tangentinio įtempio ženklų taisyklės.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija: ką lavinsite?

Lengvas: pagrindiniai įtempiai
Vidutinis: didžiausias tangentinis įtempis ir pagrindinė kryptis
Sunkus: įtempiai pasvirajame pjūvyje

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Ašinis įtempis ir deformacija

Skaičiuoklės

Moro apskritimo skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Medžiagų mechanika Mašinų elementai FE Mechanical egzamino praktika

Daugiau temų: Mechanikos inžinerija

Sijų atramų reakcijos Rėmai ir mechanizmai Ašinis įtempis ir deformacija Velenų sukimas Sviedinio judėjimas Darbas ir energija Standžiojo kūno sukimasis Mechaniniai virpesiai Šiluminiai varikliai ir šaldytuvai Dujų galios ciklai Tolydumas ir Bernulis Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai Siurbliai ir siurblių galia Šilumos laidumas Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Moro apskritimas ir įtempių transformacija su atsakymais

Praktikuokitės nemokamai: Moro apskritimas ir įtempių transformacija Praktikuokitės dabar: Moro apskritimas ir įtempių transformacijaKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.