Ašinis įtempis ir deformacija: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Ašinis įtempis ir deformacija su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: normalinis įtempis, deformacija ir pailgėjimas, laiptuotas strypas.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
80 kNØ30100 GPaØ100/50800 mmσr​ = ?

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 100 GPa). Abu 800 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 80 kN jėga. Raskite strypo gniuždymo įtempį σr.

P = 80 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
MPa
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Ašinis įtempis ir deformacijaPraktikuokitės dabar: Ašinis įtempis ir deformacijaKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasnormalinis įtempis
  2. Vidutinisdeformacija ir pailgėjimas
  3. Sunkuslaiptuotas strypas

Pagrindinės formulės

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Išmokite Ašinis įtempis ir deformacija nuo nulio

1Kas yra įtempis

Patraukite plieninį strypą ir jis priešinasi. Ar jis nutrūks, priklauso ne vien nuo jėgos, bet ir nuo to, kiek medžiagos dalijasi ta jėga.

Plona viela ir storas kabelis gali atlaikyti tą pačią apkrovą. Plona viela daug labiau linkusi suirti, nes kiekvienas jos kvadratinis milimetras perima daugiau.

dLP

Normalinis įtempis σ (sigma) yra jėga ploto vienetui skerspjūvyje. Jėga P veikia išilgai strypo ašies, todėl tai vadinama ašine apkrova.

σ = P / A

Inžinieriai dirba niutonais ir milimetrais. Vienas niutonas kvadratiniam milimetrui yra vienas megapaskalis:

1 N/mm² = 1 MPa

Todėl pirmiausia kN perskaičiuokite į N (× 1000). Apvaliam d skersmens strypui plotas yra apskritimo:

A = π · d² / 4
Savikontrolė Strypas, kurio skerspjūvis 100 mm², perima 10 kN. Koks įtempis?
  1. 0,1 MPa
  2. 10 MPa
  3. 100 MPa
  4. 1000 MPa

Atsakymas: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0,1 MPa gaunama pamiršus kN perskaičiuoti į N.

2Deformacija ir Huko dėsnis

Veikiamas apkrovos strypas šiek tiek pailgėja. Šis ilgio pokytis yra pailgėjimas δ (delta).

dLδP

Santykinė deformacija ε (epsilon) yra pailgėjimas, padalytas iš pradinio ilgio. Ji neturi vieneto, nes tai mm vienam mm:

ε = δ / L

Metalų deformacijos labai mažos, todėl dažnai nurodomos mikrodeformacijomis: 1 µε = 10⁻⁶. Deformacija 0,0008 yra 800 µε.

Daugumai medžiagų įtempis ir deformacija proporcingi, kol apkrova nėra per didelė. Tai Huko dėsnis:

σ = E · ε

E yra Jungo modulis, medžiagos standumas. Plieno E ≈ 200 GPa, aliuminio apie 70 GPa. Kadangi 1 GPa = 1000 MPa, plieno E = 200 000 MPa.

Sujungus tris formules, pailgėjimas gaunamas tiesiogiai:

δ = P · L / (A · E)
Savikontrolė Plieninio strypo (E = 200 GPa) įtempis yra 200 MPa. Kokia deformacija?
  1. 0,001
  2. 0,1
  3. 1000
  4. 1

Atsakymas: 0,001. E perskaičiuokite į MPa: 200 GPa = 200 000 MPa. Tada ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. Padalijus 200 iš 200 be perskaičiavimo gaunama 1, o tai gerokai per daug.

3Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Visas vertes užrašykite N ir mm: P – N (kN × 1000), ilgius – mm (m × 1000), E – MPa (GPa × 1000).
  2. Raskite plotą: apvaliam strypui A = π·d²/4.
  3. Raskite įtempį: σ = P/A, MPa.
  4. Raskite deformaciją: ε = σ/E. Jei atsakymo reikia µε, padauginkite iš 10⁶.
  5. Raskite pailgėjimą: δ = ε·L, mm.

Sustokite ties žingsniu, kurio prašo uždavinys. Daugumai uždavinių reikia tik pirmų dviejų ar trijų žingsnių.

4Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Plieninio strypo (E = 200 GPa) skersmuo 20 mm, ilgis 2 m. Jį veikia 50 kN ašinė tempimo apkrova. Raskite įtempį, deformaciją ir pailgėjimą.

1

Pažiūrėkite į strypą ir perskaičiuokite vienetus

Ø 20 mm2 mP = 50 kN

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm ir E = 200 GPa = 200 000 MPa.

2

Plotas

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²
3

Įtempis

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

Tai gerokai mažiau nei įprasto plieno stipris (apie 250 MPa), todėl Huko dėsnis taikomas.

4

Deformacija

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε
5

Pailgėjimas

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm
6

Patikrinkite atsakymą

Kaip antrą kelią naudokite jungtinę formulę:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

Kad 2 m plieninis strypas pailgėtų apie 1,6 mm, realu: plieno deformacijos išlieka gerokai mažesnės nei 0,2 %.

Atsakymas

σ = 159,2 MPa, ε = 796 µε ir δ = 1,59 mm.

5Strypai su keliais ruožais

Laiptuotas strypas sudarytas iš skirtingo skersmens, o kartais ir skirtingų medžiagų ruožų.

A1​L1​A2​L2​P

Perpjaukite strypą bet kur ir pažiūrėkite į dalį dešinėje nuo pjūvio. Ją traukia tik P, todėl kiekvienas ruožas perima tą pačią jėgą P.

Plotai skiriasi, todėl skiriasi ir įtempiai. Plonausias ruožas turi didžiausią įtempį.

Kiekvienas ruožas pailgėja savarankiškai, su savo A, L ir E. Bendras pailgėjimas yra suma:

δ = P·L1 / (A1·E1) + P·L2 / (A2·E2)
Savikontrolė Laiptuotą strypą veikia 20 kN. 1 ruožo A = 400 mm², 2 ruožo A = 100 mm². Koks didžiausias įtempis strype?
  1. 200 MPa
  2. 250 MPa
  3. 40 MPa
  4. 50 MPa

Atsakymas: 200 MPa. Abu ruožai perima 20 kN. Plonasis turi 20 000/100 = 200 MPa. 50 MPa yra storojo ruožo įtempis, 40 MPa klaidingai sudeda plotus, o 250 MPa klaidingai sudeda abu įtempius.

6Dažnos klaidos

  • Pamirštama kN perskaičiuoti į N, todėl įtempis 1000 kartų per mažas.
  • E naudojamas GPa šalia įtempio MPa. E rašykite MPa (GPa × 1000).
  • Apskritimo plotui naudojama π·d² arba π·d vietoj π·d²/4.
  • L paliekamas metrais, nors δ turi išeiti milimetrais.
  • P padalijamas tarp laiptuoto strypo ruožų. Kiekvienas ruožas perima visą P.
Savikontrolė Strypas, kurio A = 30 mm², perima P = 6 kN. Koks įtempis?
  1. 0,2 MPa
  2. 180 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

Atsakymas: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0,2 MPa naudoja 6 vietoj 6000 N; 5 MPa plotą padalija iš jėgos; 180 juos sudaugina.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: normalinis įtempis. Apvalų d skersmens strypą veikia P; raskite σ = P/A.
  • Vidutiniai: deformacija ir pailgėjimas. Be to, duoti L ir medžiagos E; raskite ε (µε) arba δ (mm).
  • Sunkūs: laiptuotas strypas iš dviejų ruožų, galbūt iš skirtingų medžiagų. Raskite bendrą pailgėjimą arba didžiausią įtempį.

Prie kiekvieno skaičiaus rašykite vienetus. Beveik visi neteisingi atsakymai šioje temoje skiriasi 1000 kartų.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 120 GPa). Abu 500 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 300 kN jėga. Raskite strypo gniuždymo įtempį σr.

P = 300 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Raskite σr (MPa)

Rodyti užuominas
  1. Standžios plokštės: strypas ir vamzdis sutrumpėja vienodai, todėl ε abiejuose vienoda.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Bendra deformacija

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Įtempis strype

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Atsakymas

σr = 70,74 MPa
Pavyzdys 2Vidutinis
Ø 20 mmŽalvaris2,5 mP = 10 kN

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

Raskite ε (µε)

Rodyti užuominas
  1. Sujunkite tris sąryšius: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
  2. E perskaičiuokite į MPa (GPa × 1000), kad atitiktų įtempį MPa, o L – į mm.
  3. σ = 31,83 MPa.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Atsakymas

ε = 318,3 µε
Pavyzdys 3Sunkus
40 kN12300 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 40 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ2.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

Raskite σ2 (MPa)

Rodyti užuominas
  1. Sandūra pasislenka abiem atkarpoms vienodai: viena pailgėja, kita sutrumpėja.
  2. k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
  3. k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

2 atkarpos dalis

F2 = 40000·98960/570199 = 6942 N

Įtempis

σ2 = 6942/706,9 = 9,821 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ2 = 9,821 MPa

Klausimai ir atsakymai

Ašinis įtempis ir deformacija: kas tai?

Patraukite plieninį strypą ir jis priešinasi. Ar jis nutrūks, priklauso ne vien nuo jėgos, bet ir nuo to, kiek medžiagos dalijasi ta jėga.

Plona viela ir storas kabelis gali atlaikyti tą pačią apkrovą. Plona viela daug labiau linkusi suirti, nes kiekvienas jos kvadratinis milimetras perima daugiau.

Ašinis įtempis ir deformacija: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Ašinis įtempis ir deformacija: kokios klaidos dažniausios?
  • Medžiagos įtempio nesidalija vienodai: jos dalijasi deformaciją. Standesnė medžiaga įtempiama labiau.
  • Vamzdis priima dalį apkrovos.
  • Tai vamzdžio įtempis.
Ašinis įtempis ir deformacija: ką lavinsite?
  • Lengvas: normalinis įtempis
  • Vidutinis: deformacija ir pailgėjimas
  • Sunkus: laiptuotas strypas

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Toliau

Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVelenų sukimas

Skaičiuoklės

Ašinio įtempio ir deformacijos skaičiuoklėŠiluminio plėtimosi skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Medžiagų mechanikaMašinų elementaiFE Mechanical egzamino praktika

Daugiau temų: Mechanikos inžinerija

Sijų atramų reakcijosRėmai ir mechanizmaiVelenų sukimasMoro apskritimas ir įtempių transformacijaSviedinio judėjimasDarbas ir energijaStandžiojo kūno sukimasisMechaniniai virpesiaiŠiluminiai varikliai ir šaldytuvaiDujų galios ciklaiTolydumas ir BernulisTrintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSiurbliai ir siurblių galiaŠilumos laidumasKrumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Ašinis įtempis ir deformacija su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Ašinis įtempis ir deformacijaPraktikuokitės dabar: Ašinis įtempis ir deformacijaKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.