Spring & bandul: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Spring & bandul percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: jisim pada spring, bandul, laju, pecutan dan tenaga.

Soalan latihan percumaMudah
4.8 kgk = ?

Jisim 4.8 kg pada spring berayun dengan tempoh 2.5 s. Cari kekukuhan spring k.

m = 4.8 kgT = 2.5 s
N/m
Soalan seterusnya →
Berlatih Spring & bandul secara percumaBerlatih Spring & bandul sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahjisim pada spring
  2. Sederhanabandul
  3. Sukarlaju, pecutan dan tenaga

Formula utama

Jisim pada spring
T = 2π·√(m/k)
Bandul
T = 2π·√(L/g)
Frekuensi sudut
ω = √(k/m) = 2π/T
Laju dan pecutan maksimum
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Tenaga
E = ½·k·A²

Pelajari Spring & bandul dari awal

Sebelum ini: Hukum Newton

1Apakah ayunan

Tarik jisim pada pegas ke satu sisi dan lepaskan. Ia berayun kembali melepasi tengah, ke sisi lain, dan kembali lagi. Kanak-kanak di atas buaian dan tali gitar melakukan perkara yang sama.

Gerakan berulang ini ialah ayunan. Titik tengah, di mana jisim akan berehat, ialah kedudukan keseimbangan.

m0−A+Axk
  • Amplitud A ialah jarak terbesar daripada keseimbangan, dalam m.
  • Tempoh T ialah masa untuk satu ayunan lengkap, pergi dan balik, dalam s.
  • Frekuensi f ialah bilangan ayunan sesaat, dalam hertz (Hz).
f = 1 / T
Semakan kendiri Satu jisim pada pegas membuat 20 ayunan lengkap dalam 10 s. Apakah tempohnya?
  1. 0.5 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 200 s

Jawapan: 0.5 s. T = masa / bilangan ayunan = 10/20 = 0.5 s. 2 ialah frekuensi dalam Hz (20/10), bilangan ayunan sesaat.

2Gerakan harmonik ringkas

Pegas menarik balik dengan daya berkadar dengan regangan: F = −k·x. Kekakuan k dalam N/m. Tanda tolak bermaksud daya sentiasa menghala kembali ke keseimbangan.

Daya pemulih seperti ini menghasilkan gerakan harmonik ringkas (SHM). Kedudukan mengikut lengkung kosinus dengan masa:

txA−AT
x = A · cos(ω·t)

Frekuensi sudut ω (omega), dalam rad/s, menentukan seberapa pantas gerakan itu berulang. Satu tempoh ialah 2π rad.

ω = 2π / T = 2π · f

Amplitud tidak mengubah tempoh. Ayunan yang lebih besar meliputi jarak yang lebih jauh tetapi juga bergerak lebih laju.

3Formula pegas dan bandul

Bagi jisim pada pegas, jisim yang lebih berat berayun lebih perlahan dan pegas yang lebih kaku lebih laju:

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

Bagi bandul ringkas dengan panjang L, dengan ayunan kecil, jisim langsung tidak penting:

T = 2π · √(L / g)

Jika pegas tergantung secara menegak, berat meregangkannya ke keseimbangan baharu: k·x = m·g. Gunakan ini untuk mencari k daripada regangan yang diukur.

Laju adalah terbesar pada keseimbangan dan sifar di hujung. Pecutan adalah terbesar di hujung, di mana daya pegas adalah terbesar:

vmax = A · ω amax = A · ω²

Jumlah tenaga kekal sama: E = ½·k·A². Pada kedudukan x ia dikongsi sebagai ½·k·x² + ½·m·v².

Semakan kendiri Anda menggantikan jisim pada pegas dengan satu yang dua kali ganda lebih berat. Apakah yang berlaku kepada tempoh?
  1. Ia menjadi 1.41 kali lebih pendek
  2. Ia menjadi 4 kali lebih panjang
  3. Ia menjadi dua kali ganda
  4. Ia menjadi √2 ≈ 1.41 kali lebih panjang

Jawapan: Ia menjadi √2 ≈ 1.41 kali lebih panjang. T = 2π·√(m/k), jadi T bertambah dengan punca kuasa dua m. Menggandakan m mendarab T dengan √2. Mengatakan ia berganda terlupa punca kuasa dua.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Tukarkan semuanya kepada unit SI: gram kepada kg, sentimeter kepada m.
  2. Tentukan sistem yang mana satu: jisim pada pegas (gunakan k dan m) atau bandul (gunakan L dan g).
  3. Jika tempoh atau bilangan ayunan diberi, cari T dahulu: T = masa / bilangan.
  4. Cari ω daripada sistem: ω = √(k/m) atau ω = 2π/T.
  5. Gunakan formula untuk apa yang ditanya: T, f, vmax = A·ω, amax = A·ω² atau tenaga ½·k·A².
  6. Semak bahawa jawapan munasabah: tempoh sepecahan saat untuk pegas yang kaku, beberapa saat untuk bandul yang panjang.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Jisim 0.5 kg pada pegas dengan k = 200 N/m ditarik 5 cm daripada keseimbangan dan dilepaskan. Cari tempoh T, frekuensi f, laju maksimum vmax dan pecutan maksimum amax.

1

Unit

A = 5 cm = 0.05 m m = 0.5 kg k = 200 N/m
2

Frekuensi sudut

ω = √(k / m) = √(200 / 0.5) = √400 = 20 rad/s
3

Tempoh dan frekuensi

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0.314 s
f = 1 / T = 3.18 Hz
4

Laju maksimum

Jisim adalah paling laju semasa melepasi keseimbangan.

vmax = A · ω = 0.05 · 20 = 1 m/s
5

Pecutan maksimum

Pecutan adalah terbesar di hujung, di mana jisim berpatah balik.

amax = A · ω² = 0.05 · 400 = 20 m/s²
6

Semak jawapan

Semakan tenaga: ½·k·A² = ½ · 200 · 0.05² = 0.25 J, dan ½·m·vmax² = ½ · 0.5 · 1² = 0.25 J. Semua tenaga pegas menjadi tenaga kinetik pada keseimbangan.

Jawapan

T ≈ 0.314 s, f ≈ 3.18 Hz, vmax = 1 m/s dan amax = 20 m/s².

6Kesilapan lazim

  • Menggunakan amplitud dalam cm dan bukannya m.
  • Menterbalikkan pecahan: T = 2π·√(m/k), bukan √(k/m). Bagi bandul ia ialah √(L/g).
  • Terlupa 2π, atau mencampuradukkan ω (rad/s) dan f (Hz).
  • Menyangka jisim mengubah tempoh bandul, atau amplitud mengubah mana-mana tempoh.
  • Mencampuradukkan vmax = A·ω dan amax = A·ω².
Semakan kendiri Satu jisim berayun dengan amplitud 10 cm dan ω = 10 rad/s. Apakah pecutan maksimumnya?
  1. 1 m/s²
  2. 10 m/s²
  3. 100 m/s²
  4. 1000 m/s²

Jawapan: 10 m/s². amax = A·ω² = 0.1 · 100 = 10 m/s². Menggunakan A = 10 (cm) memberikan 1000. 1 m/s ialah A·ω, laju maksimum, bukan pecutan.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: jisim pada pegas. Cari T, f atau k, kadangkala daripada kiraan ayunan atau daripada seberapa jauh jisim meregangkan pegas yang tergantung.
  • Sederhana: bandul. Cari tempohnya, panjang bagi tempoh tertentu, atau g pada planet lain. Sesetengah soalan meminta laju pada suatu kedudukan atau pada masa tertentu.
  • Sukar: laju, pecutan dan tenaga: vmax, amax, tenaga kinetik pada suatu kedudukan, atau amplitud selepas peluru mengenai bongkah pada pegas.

Semakan pantas untuk mana-mana bandul: bandul 1 m di Bumi mempunyai tempoh kira-kira 2 s.

Semakan kendiri Sebuah bandul panjangnya 2.45 m. Dengan g = 9.81 m/s², apakah tempohnya untuk ayunan kecil?
  1. 0.50 s
  2. 1.57 s
  3. 12.6 s
  4. 3.14 s

Jawapan: 3.14 s. T = 2π·√(2.45/9.81) = 2π · 0.5 = 3.14 s. √(g/L) yang terbalik memberikan 12.6 s, terlupa punca kuasa dua memberikan 1.57 s, dan terlupa 2π memberikan 0.50 s.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
3.2 kgk = 210 N/m

Jisim 3.2 kg pada spring berkekakuan 210 N/m berayun pada permukaan tanpa geseran. Cari tempoh T.

m = 3.2 kgk = 210 N/m

Cari nilai T (s)

Tunjukkan petunjuk
  1. Tempoh sistem jisim–spring tidak bergantung pada amplitud.
  2. T = 2π·√(m/k).
  3. √(m/k) = 0.1234 s.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Gerakan harmonik ringkas: jisim m pada spring berkekakuan k berayun dengan frekuensi sudut ω = √(k/m) dan tempoh T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Bandul ringkas sepanjang L mempunyai T = 2π·√(L/g). Dengan amplitud A, laju terbesar ialah A·ω, pecutan terbesar A·ω² dan tenaga ½·k·A².

Tempoh

T = 2π·√(3.2/210) = 0.7756 s

Jawapan

T = 0.7756 s
Contoh 2Sederhana
1.1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Jisim 1.1 kg pada spring dengan k = 120 N/m berayun pada permukaan tanpa geseran dengan amplitud 7 cm. Cari lajunya v apabila ia berada 6 cm dari keseimbangan.

m = 1.1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Cari nilai v (m/s)

Tunjukkan petunjuk
  1. Tenaga abadi: ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v².
  2. Maka v = ω·√(A² − x²) dengan ω = √(k/m).
  3. ω = 10.44 rad/s.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Frekuensi sudut

ω = √(120/1.1) = 10.44 rad/s

Laju pada x

v = ω·√(A² − x²) = 10.44·√(0.07² − 0.06²) = 0.3766 m/s

Jawapan

v = 0.3766 m/s
Contoh 3Sukar
1.7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Jisim 1.7 kg pada spring dengan k = 380 N/m ditarik 11 cm dari keseimbangan dan dilepaskan. Cari pecutan maksimumnya amax.

m = 1.7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Cari nilai amax (m/s²)

Tunjukkan petunjuk
  1. ω = √(k/m).
  2. Pecutan paling besar di hujung: amax = A·ω².
  3. ω = 14.95 rad/s, A = 0.11 m.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Gerakan harmonik ringkas: jisim m pada spring berkekakuan k berayun dengan frekuensi sudut ω = √(k/m) dan tempoh T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Bandul ringkas sepanjang L mempunyai T = 2π·√(L/g). Dengan amplitud A, laju terbesar ialah A·ω, pecutan terbesar A·ω² dan tenaga ½·k·A².

Frekuensi sudut

ω = √(380/1.7) = 14.95 rad/s

Pecutan maksimum

amax = A·ω² = 0.11·14.95² = 24.59 m/s²

Jawapan

amax = 24.59 m/s²

Soalan dan jawapan

Apakah Spring & bandul?

Tarik jisim pada pegas ke satu sisi dan lepaskan. Ia berayun kembali melepasi tengah, ke sisi lain, dan kembali lagi. Kanak-kanak di atas buaian dan tali gitar melakukan perkara yang sama.

Gerakan berulang ini ialah ayunan. Titik tengah, di mana jisim akan berehat, ialah kedudukan keseimbangan.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Spring & bandul langkah demi langkah?

Gerakan harmonik ringkas: jisim m pada spring berkekakuan k berayun dengan frekuensi sudut ω = √(k/m) dan tempoh T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Bandul ringkas sepanjang L mempunyai T = 2π·√(L/g). Dengan amplitud A, laju terbesar ialah A·ω, pecutan terbesar A·ω² dan tenaga ½·k·A².

Apakah kesilapan lazim dalam Spring & bandul?
  • Sertakan 2π: T = 2π·√(m/k) dan f = 1/T.
  • Semak pecahan di bawah punca: T = 2π·√(m/k), jisim di atas.
  • Itu ialah laju maksimum, pada keseimbangan. Pada x laju lebih rendah: v = ω·√(A² − x²).
Apakah yang diliputi oleh latihan Spring & bandul?
  • Mudah: jisim pada spring
  • Sederhana: bandul
  • Sukar: laju, pecutan dan tenaga

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Hukum Newton

Teruskan dengan

Getaran mekanikalGelombang, bunyi & optik

Kalkulator

Kalkulator tempoh bandul dan springKalkulator pemalar spring (hukum Hooke)

Kursus dengan topik ini

DinamikFizik 1: MekanikGelombang dan OptikSoalan latihan AP Physics 1

Lebih banyak topik dalam Fizik

KinematikHukum NewtonGerakan membulatMomentum & perlanggaranHukum Coulomb & medan elektrikMedan magnet & aruhanGelombang, bunyi & optik

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Spring & bandul dengan jawapan
Berlatih Spring & bandul secara percumaBerlatih Spring & bandul sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.