Getaran mekanikal: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah
Soalan latihan Getaran mekanikal percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: frekuensi tabii, nisbah redaman, spring secara siri dan selari.
Soalan latihan percumaMudah
Sebuah mesin terletak pada pelekap spring, yang termampat sebanyak 15 mm di bawah beratnya. Anggap ia sistem darjah kebebasan tunggal tanpa redaman dan gunakan g = 9.81 m/s². Cari frekuensi tabii fn getaran menegak dalam Hz.
Gantungkan jisim pada pegas, tarik sedikit ke bawah dan lepaskan. Ia melantun naik dan turun di sekitar kedudukan rehatnya. Gerakan berulang itu ialah getaran.
Setiap sistem sedemikian mempunyai rentak kegemarannya sendiri, frekuensi tabii. Ia hanya bergantung pada kekakuan pegas dan berat jisim, bukan pada seberapa jauh anda menariknya.
Jurutera mengambil berat kerana mesin yang digoncang pada frekuensi tabiinya boleh bergetar dengan kuat. Ini dipanggil resonans. Penyangga enjin, mesin basuh dan jambatan semuanya direka dengan mengambil kira perkara ini.
Pegas yang lebih kaku menjadikan getaran lebih laju. Jisim yang lebih berat menjadikannya lebih perlahan.
Semakan kendiri Anda menggantikan jisim pada pegas dengan satu yang empat kali ganda lebih berat. Apakah yang berlaku kepada frekuensi tabii?
Ia kekal sama
Ia menjadi dua kali ganda
Ia menjadi empat kali lebih rendah
Ia menjadi separuh
Jawapan: Ia menjadi separuh. Frekuensi bergantung pada √(k/m). Jisim empat kali ganda membahagi punca kuasa dua dengan √4 = 2, jadi frekuensi menjadi separuh.
2Frekuensi tabii dan gabungan pegas
Bagi jisim m (kg) pada pegas berkekakuan k (N/m), frekuensi bulat tabii dalam rad/s ialah:
ωn = √(k / m)
Satu kitaran penuh ialah 2π radian. Jadi frekuensi tabii dalam hertz (kitaran sesaat) dan tempoh (saat setiap kitaran) ialah:
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
Kadangkala anda hanya tahu seberapa jauh pegas melendut di bawah berat, pesongan statik δst = m·g/k. Maka ωn = √(g / δst), dengan δst dalam meter.
Apabila terdapat beberapa pegas, gantikannya dahulu dengan satu pegas setara:
Bersebelahan (selari), pegas berkongsi beban dan kekakuan ditambah.
Hujung ke hujung (siri), setiap pegas menanggung beban penuh, dan pegas setara adalah lebih lembut daripada mana-mana satu.
Semakan kendiri Dua pegas 10 kN/m setiap satu disambung hujung ke hujung (dalam siri). Apakah kekakuan setara?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Jawapan: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, jadi k = 5 kN/m. Menambahnya kepada 20 kN/m ialah peraturan untuk pegas dalam selari.
3Redaman
Getaran sebenar semakin pudar. Peredam (omboh yang bergerak melalui minyak, seperti penyerap hentak kereta) mengeluarkan tenaga. Kekuatannya ialah pekali redaman c dalam N·s/m.
Redaman genting ialah jumlah redaman yang tepat menghalang jisim daripada melantun sama sekali:
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
Nisbah redaman membandingkan redaman sebenar dengan nilai genting itu:
ζ = c / cc
ζ < 1: kurang teredam. Jisim masih bergetar, tetapi ayunannya mengecil.
ζ = 1: teredam genting. Ia kembali ke keadaan rehat secepat mungkin tanpa terlajak.
ζ > 1: lebih teredam. Ia kembali perlahan-lahan tanpa bergetar.
Sistem kurang teredam bergetar sedikit lebih perlahan daripada yang tidak teredam, pada frekuensi tabii teredam:
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Semakan kendiri Jisim 10 kg berada pada pegas 1000 N/m dengan peredam c = 50 N·s/m. Apakah nisbah redaman?
0.25
0.5
2.5
4
Jawapan: 0.25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, jadi ζ = 50/200 = 0.25. Terlupa faktor 2 memberikan 0.5, dan membahagi secara terbalik memberikan 4.
4Kaedah langkah demi langkah
Tukarkan semuanya kepada unit SI: kN/m kepada N/m (× 1000), mm kepada m, gram kepada kg.
Jika terdapat beberapa pegas, gabungkannya menjadi satu k: tambah dalam selari, tambah salingan dalam siri.
Cari ωn = √(k/m) dalam rad/s.
Jika soalan meminta hertz, bahagi dengan 2π: fn = ωn/(2π). Untuk tempoh, ambil T = 1/fn.
Dengan redaman, cari cc = 2·√(k·m), kemudian ζ = c/cc dan, jika ditanya, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Pisahkan ω (rad/s) dan f (Hz). Ia berbeza dengan faktor 2π ≈ 6.28, dan mencampuradukkannya ialah cara yang paling lazim untuk kehilangan markah.
5Contoh terselesai
Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.
Contoh terselesai
Jisim 50 kg tergantung pada pegas berkekakuan 20 kN/m. Abaikan redaman. Cari frekuensi tabii fn dalam Hz dan tempoh getaran.
1
Lukis dan tukar
Kekakuan mesti dalam N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. Jisim sudah dalam kg.
2
Frekuensi bulat tabii
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
Tukarkan kepada hertz
Bahagi dengan 2π untuk mengira kitaran penuh sesaat:
fn = 20 / (2π) = 3.18 Hz
4
Tempoh
T = 1 / fn = 1 / 3.183 = 0.314 s
Jisim membuat sedikit lebih daripada tiga kitaran naik-turun penuh setiap saat.
5
Semak jawapan
Pesongan statik ialah δst = m·g/k = 50 · 9.81 / 20 000 = 0.0245 m.
ωn = √(9.81 / 0.0245) = 20 rad/s
20 rad/s yang sama, diperoleh dengan cara yang berbeza. Jawapannya betul.
6
Melangkah lebih jauh: tambah peredam
Dengan peredam c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, jadi ζ = 400/2000 = 0.2.
ωd = 20 · √(1 − 0.2²) = 19.6 rad/s, fd = 3.12 Hz
Jawapan
fn ≈ 3.18 Hz (ωn = 20 rad/s), dan tempohnya ialah T ≈ 0.314 s.
6Kesilapan lazim
Memberikan ωn dalam rad/s apabila soalan meminta fn dalam Hz, atau sebaliknya.
Membiarkan kekakuan dalam kN/m. Formula memerlukan N/m.
Menambah pegas dalam siri seolah-olah ia selari.
Terlupa 2 dalam cc = 2·√(k·m).
Menggunakan berat m·g dan bukannya jisim m dalam ωn = √(k/m).
Semakan kendiri Jisim 4 kg tergantung pada pegas 400 N/m. Apakah frekuensi tabiinya dalam Hz?
0.05 Hz
1.59 Hz
10 Hz
62.8 Hz
Jawapan: 1.59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, dan fn = 10/(2π) = 1.59 Hz. Berhenti pada 10 memberikan rad/s, bukan Hz; mendarab dengan 2π memberikan 62.8; menggunakan 0.4 (kN/m) memberikan 0.05 Hz.
7Rupa soalan peperiksaan
Mudah: frekuensi tabii. Jisim pada pegas: cari ωn dalam rad/s atau fn dalam Hz. Sesetengah soalan hanya memberikan pesongan statik mesin pada penyangganya.
Sederhana: nisbah redaman. Cari ζ daripada m, k dan c, atau cari frekuensi teredam fd daripada ζ yang diberi. Yang lain memberikan dua puncak daripada ujian getaran bebas.
Sukar: pegas dalam siri dan selari, kadangkala kedua-duanya (dua pegas bersebelahan memegang bar, dengan pegas ketiga di bawah). Cari keq dahulu, kemudian fn.
Untuk dua puncak x0 dan xn yang berjarak n kitaran, gunakan penyusutan logaritma:
Jisim 40 kg tergantung pada spring berkekakuan 15 kN/m. Abaikan redaman. Cari frekuensi tabii fn dalam Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Cari nilai fn(Hz)
Tunjukkan petunjuk
Bekerja dalam unit SI: k dalam N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi bulat tabii
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19.36 rad/s
Dalam hertz
fn = ωn/(2π) = 19.36/(2π) = 3.082 Hz
Jawapan
fn = 3.082 Hz
Contoh 2Sederhana
Jisim 10 kg pada spring berkekakuan 50 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.4. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0.4
Cari nilai fd(Hz)
Tunjukkan petunjuk
Cari frekuensi tabii tanpa redaman dahulu.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi tabii tanpa redaman
ωn = √(50000/10) = 70.71 rad/s
fn = 70.71/(2π) = 11.25 Hz
Frekuensi tabii teredam
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11.25·√(1 − 0.4²) = 10.31 Hz
Jawapan
fd = 10.31 Hz
Contoh 3Sukar
Jisim 5 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 80 kN/m dan spring bawah k₂ = 20 kN/m. Cari kekakuan setara keq sistem spring dalam kN/m.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
Cari nilai keq(kN/m)
Tunjukkan petunjuk
Spring selari berkongsi pesongan: kekakuan ditambah. Spring bersiri berkongsi daya: kebolehlenturan 1/k ditambah.
1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
keq < 20 kN/m.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Gantungkan jisim pada pegas, tarik sedikit ke bawah dan lepaskan. Ia melantun naik dan turun di sekitar kedudukan rehatnya. Gerakan berulang itu ialah getaran.
Setiap sistem sedemikian mempunyai rentak kegemarannya sendiri, frekuensi tabii. Ia hanya bergantung pada kekakuan pegas dan berat jisim, bukan pada seberapa jauh anda menariknya.
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Apakah kesilapan lazim dalam Getaran mekanikal?
Itu ialah ωn dalam rad/s. Bahagi dengan 2π untuk mendapatkan frekuensi dalam Hz.
Tukar kN/m kepada N/m (darab 1000) sebelum menggunakan ωn = √(k/m).
Bahagi ωn dengan 2π untuk mendapatkan Hz; jangan darab.
Apakah yang diliputi oleh latihan Getaran mekanikal?
Mudah: frekuensi tabii
Sederhana: nisbah redaman
Sukar: spring secara siri dan selari
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Cara latihan berfungsi
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.