Gerakan peluru: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah
Soalan latihan Gerakan peluru percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: pelancaran mengufuk, pelancaran dari tanah, pelancaran dari ketinggian.
Soalan latihan percumaMudah
Sebiji batu dilontar secara mengufuk dari puncak dinding setinggi 20 m dan mendarat 22 m dari kaki dinding. Abaikan rintangan udara dan gunakan g = 9.81 m/s². Cari laju lontaran v0.
Projektil ialah objek yang terbang melalui udara dengan hanya graviti bertindak ke atasnya. Bola yang ditendang, batu yang dilempar dari jambatan dan air dari hos semuanya projektil.
Dalam topik ini anda mengabaikan rintangan udara. Maka lintasan sentiasa lengkung licin yang dipanggil parabola.
Idea utama: gerakan dibahagikan kepada dua bahagian berasingan. Ke sisi, tiada apa yang menolak atau memperlahankan objek. Ke atas dan ke bawah, graviti menariknya pada g = 9.81 m/s².
Maka laju mengufuk kekal sama sepanjang masa, manakala laju menegak berubah setiap saat. Kedua-dua bahagian hanya berkongsi satu perkara: masa.
Semakan kendiri Sebiji bola terbang melalui udara tanpa rintangan udara. Kuantiti manakah yang kekal malar semasa penerbangan?
Halaju menegak
Halaju mengufuk
Ketinggian
Laju keseluruhan
Jawapan: Halaju mengufuk. Tiada daya bertindak ke sisi, maka halaju mengufuk tidak pernah berubah. Graviti mengubah halaju menegak, dan bersamanya laju keseluruhan dan ketinggian.
2Dua gerakan, satu jam
Letakkan asalan pada titik lancaran, dengan x mengufuk dan y menegak (atas ialah positif). Selepas masa t:
x = vx · t
y = h + vy · t − ½ · g · t²
Di sini h ialah ketinggian lancaran di atas tanah, vx ialah halaju mengufuk dan vy ialah halaju menegak permulaan.
Bola menyentuh tanah apabila y = 0. Anda menyelesaikan persamaan menegak untuk masa itu, kemudian memasukkan masa yang sama ke dalam persamaan mengufuk.
Bagi lancaran mengufuk, vy = 0. Persamaan menegak menjadi h = ½ · g · t², maka masa jatuh ialah:
t = √(2h / g)
Masa jatuh ini tidak bergantung langsung pada laju mengufuk.
Semakan kendiri Daripada jadual yang sama, bola A bergolek dari tepi pada 1 m/s dan bola B pada 3 m/s. Yang manakah mendarat dahulu?
Bola A
Bola B
Ia bergantung pada jisim mereka
Kedua-duanya mendarat pada masa yang sama
Jawapan: Kedua-duanya mendarat pada masa yang sama. Kedua-duanya bermula dengan halaju menegak sifar dan jatuh dengan ketinggian yang sama, maka t = √(2h/g) adalah sama. Bola B hanya mendarat lebih jauh.
3Melancar pada sudut
Apabila bola dilancarkan pada laju v0 dan sudut θ di atas ufuk, pecahkan dahulu halaju kepada dua bahagiannya, iaitu komponen:
vx = v0 · cos θ vy = v0 · sin θ
Dari tanah rata, bola naik sehingga halaju menegaknya sifar, kemudian jatuh kembali. Kenaikan dan kejatuhan mengambil masa yang sama. Ini memberi tiga keputusan yang berguna:
ttop = vy / g t = 2 · vy / g
H = vy² / (2g) R = v0² · sin 2θ / g
Rumus julat untuk R hanya sah apabila bola mendarat pada ketinggian yang sama dengan ketinggian lancarannya.
Semakan kendiri Sebiji bola dilancarkan pada 20 m/s dan 30° di atas ufuk. Apakah komponen halajunya?
vx = 10 m/s dan vy = 10 m/s
vx = 10 m/s dan vy = 17.3 m/s
vx = 17.3 m/s dan vy = 10 m/s
vx = 20 m/s dan vy = 20 m/s
Jawapan: vx = 17.3 m/s dan vy = 10 m/s. vx = 20 · cos 30° = 17.3 m/s dan vy = 20 · sin 30° = 10 m/s. Menukar tempatnya menggunakan sin untuk bahagian mengufuk, yang merupakan kekeliruan klasik.
4Kaedah langkah demi langkah
Lukis lintasan. Tandakan ketinggian lancaran h, laju lancaran v0, sudut θ dan apa yang anda perlu cari.
Pecahkan halaju lancaran kepada komponen: vx = v0 · cos θ dan vy = v0 · sin θ. Lancaran mengufuk mempunyai vy = 0.
Gunakan gerakan menegak untuk mencari masa penerbangan: tetapkan y = 0 dalam y = h + vy·t − ½·g·t² dan selesaikan untuk t.
Gunakan masa itu dalam gerakan mengufuk: x = vx · t.
Untuk laju pada bila-bila masa, gabungkan komponen: v = √(vx² + (vy − g·t)²).
Semak bahawa kalkulator anda ditetapkan kepada darjah sebelum anda mengambil sin atau cos bagi sudut yang diberi dalam darjah.
5Contoh terselesai
Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.
Contoh terselesai
Sebiji bola dilempar secara mengufuk pada 12 m/s dari puncak tebing 45 m. Abaikan rintangan udara dan gunakan g = 9.81 m/s². Sejauh mana dari kaki tebing ia mendarat?
1
Lukis situasi itu
Lancaran ini mengufuk, maka vx = 12 m/s dan vy = 0. Bola mesti jatuh h = 45 m.
2
Cari masa penerbangan
Gerakan menegak ialah kejatuhan dari rehat sejauh 45 m:
t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9.81) = √9.174 = 3.03 s
3
Gunakan masa itu ke sisi
Dalam 3.03 s itu bola terus bergerak ke sisi pada 12 m/s:
x = vx · t = 12 · 3.029 = 36.3 m
4
Semak jawapan
Masukkan masa itu kembali ke dalam gerakan menegak: ½ · 9.81 · 3.029² = 45.0 m. Itu tepat ketinggian tebing, maka masanya betul.
Jarak kira-kira 36 m untuk lemparan 12 m/s selama 3 s juga bersaiz munasabah.
5
Seterusnya: laju hentaman
Sejurus sebelum mendarat, vy = g · t = 9.81 · 3.029 = 29.7 m/s ke bawah, manakala vx masih 12 m/s.
v = √(12² + 29.7²) = 32.0 m/s
Jawapan
Bola mendarat x ≈ 36.3 m dari kaki tebing, selepas 3.03 s.
6Kesilapan lazim
Menggunakan laju penuh v0 di mana komponen sepatutnya digunakan. Masa penerbangan datang daripada vy sahaja, julat daripada vx sahaja.
Mengelirukan sin dan cos. Komponen mengufuk berpasangan dengan cos θ apabila θ diukur dari ufuk.
Kalkulator dalam radian sedangkan sudut dalam darjah.
Menggunakan R = v0² · sin 2θ / g apabila bola mendarat lebih rendah atau lebih tinggi daripada tempat ia bermula. Anda mesti menyelesaikan persamaan menegak sebaliknya.
Memberi pecutan kepada gerakan mengufuk. Ke sisi, lajunya malar.
Semakan kendiri Sebiji bola ditendang dari tanah rata pada 20 m/s dan 30° di atas ufuk. Berapa lama ia berada di udara? (g = 9.81 m/s²)
1.02 s
2.04 s
3.53 s
4.08 s
Jawapan: 2.04 s. vy = 20 · sin 30° = 10 m/s, maka t = 2 · 10 / 9.81 = 2.04 s. Menggunakan 20 m/s penuh memberi 4.08 s, dan 1.02 s hanyalah masa ke titik tertinggi.
7Rupa soalan peperiksaan
Mudah: lancaran mengufuk dari tebing atau dinding. Cari masa penerbangan, jarak pendaratan, laju lancaran daripada jarak pendaratan yang diberi, atau laju hentaman. Sesetengah soalan mudah meminta masa ke titik tertinggi bagi lancaran dari tanah.
Sederhana: lancaran dari tanah rata pada suatu sudut. Cari masa penerbangan, ketinggian maksimum atau julat. Variasinya meminta laju atau sudut lancaran yang memberi julat tertentu, atau ketinggian di mana bola melepasi dinding.
Sukar: lancaran pada sudut dari puncak tebing, atau pendaratan di atas bumbung. Menetapkan y = 0 (atau ketinggian bumbung) memberi persamaan kuadratik dalam t: ambil punca positif.
Dalam kes sukar, sudut pendaratan di bawah ufuk diperoleh daripada komponen akhir: tan α = |vy − g·t| / vx.
Sebiji bola dilancarkan secara mengufuk dari puncak tebing 55 m. Abaikan rintangan udara. Cari jarak mengufuk x yang dilalui sebelum bola menyentuh tanah.
v0 = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9.81 m/s²
Cari nilai x(m)
Tunjukkan petunjuk
Anggap gerakan mengufuk dan menegak secara berasingan. Kedua-duanya hanya berkongsi masa t.
Bola mendarat apabila ketinggiannya y(t) mencapai 0. Tulis y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 0 m/s, dan penerbangan berlangsung 3.349 s.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Gerakan peluru: tanpa rintangan udara, x = vxt dan y = h + vyt − ½gt². Kedua-dua arah adalah bebas kecuali kedua-duanya berkongsi masa yang sama.
Pecahkan halaju pelancaran
Halaju mengufuk kekal malar; gerakan menegak mempunyai pecutan malar g = 9.81 m/s² ke bawah.
vx = v0·cos θ = 10·cos 0° = 10 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 0° = 0 m/s
Masa di udara
Selesaikan y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 untuk punca positif.
t = √(2h/g) = √(2·55/9.81) = 3.349 s
Jarak mengufuk
x = vx·t = 10·3.349 = 33.49 m
Jawapan
x = 33.49 m
Contoh 2Sederhana
Sebiji bola dilancarkan pada 60° di atas ufuk dari tanah rata. Abaikan rintangan udara. Cari masa penerbangan t sehingga bola menyentuh tanah.
v0 = 26 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²
Cari nilai t(s)
Tunjukkan petunjuk
Anggap gerakan mengufuk dan menegak secara berasingan. Kedua-duanya hanya berkongsi masa t.
Secara simetri, masa naik sama dengan masa turun.
vy = 22.52 m/s.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Gerakan peluru: tanpa rintangan udara, x = vxt dan y = h + vyt − ½gt². Kedua-dua arah adalah bebas kecuali kedua-duanya berkongsi masa yang sama.
Pecahkan halaju pelancaran
Halaju mengufuk kekal malar; gerakan menegak mempunyai pecutan malar g = 9.81 m/s² ke bawah.
vx = v0·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 60° = 22.52 m/s
Masa di udara
Bermula dan mendarat pada ketinggian yang sama: t = 2vy/g.
t = 2·22.52/9.81 = 4.591 s
Jawapan
t = 4.591 s
Contoh 3Sukar
Sebiji bola dilancarkan pada 25° di atas ufuk dari puncak tebing 55 m. Abaikan rintangan udara. Cari masa penerbangan t sehingga bola menyentuh tanah.
v0 = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9.81 m/s²
Cari nilai t(s)
Tunjukkan petunjuk
Anggap gerakan mengufuk dan menegak secara berasingan. Kedua-duanya hanya berkongsi masa t.
Bola mendarat apabila ketinggiannya y(t) mencapai 0. Tulis y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 13.95 m/s.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Gerakan peluru: tanpa rintangan udara, x = vxt dan y = h + vyt − ½gt². Kedua-dua arah adalah bebas kecuali kedua-duanya berkongsi masa yang sama.
Pecahkan halaju pelancaran
Halaju mengufuk kekal malar; gerakan menegak mempunyai pecutan malar g = 9.81 m/s² ke bawah.
vx = v0·cos θ = 33·cos 25° = 29.91 m/s
vy = v0·sin θ = 33·sin 25° = 13.95 m/s
Masa di udara
Selesaikan y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 untuk punca positif.
0 = 55 + 13.95·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (13.95 + √(194.5 + 1079))/9.81 = 5.06 s
Jawapan
t = 5.06 s
Soalan dan jawapan
Apakah Gerakan peluru?
Dalam topik ini anda mengabaikan rintangan udara. Maka lintasan sentiasa lengkung licin yang dipanggil parabola.
Idea utama: gerakan dibahagikan kepada dua bahagian berasingan. Ke sisi, tiada apa yang menolak atau memperlahankan objek. Ke atas dan ke bawah, graviti menariknya pada g = 9.81 m/s².
Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Gerakan peluru langkah demi langkah?
Pecahkan halaju pelancaran kepada komponen: vx = v₀·cos θ dan vy = v₀·sin θ.
Gerakan mengufuk mempunyai laju malar; gerakan menegak mempunyai pecutan −g.
Cari masa penerbangan daripada gerakan menegak.
Gunakan masa itu dalam gerakan mengufuk untuk mencari julat.
Apakah kesilapan lazim dalam Gerakan peluru?
Menggunakan v₀ dan bukannya komponen.
Kalkulator dalam radian apabila sudut dalam darjah.
Menggunakan formula julat v₀²·sin 2θ/g apabila ketinggian pelancaran dan pendaratan berbeza.
Apakah yang diliputi oleh latihan Gerakan peluru?
Mudah: pelancaran mengufuk
Sederhana: pelancaran dari tanah
Sukar: pelancaran dari ketinggian
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Cara latihan berfungsi
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.