Keselanjaran & Bernoulli: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah
Soalan latihan Keselanjaran & Bernoulli percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: keselanjaran, penurun mengufuk, paip menaik.
Soalan latihan percumaMudah
Air mengalir pada 0.75 m/s melalui bahagian lebar paip, yang mempunyai diameter 75 mm. Cari kadar alir isi padu Q.
Tutup hujung hos taman dengan ibu jari anda dan air memancut keluar lebih laju. Jumlah air yang sama mesti melalui bukaan yang lebih kecil, maka ia mesti bergerak lebih laju.
Idea itu ialah kesinambungan: dalam paip yang penuh, air tidak boleh bertimbun atau hilang. Apa yang masuk setiap saat mesti keluar setiap saat.
Idea kedua, persamaan Bernoulli, mengaitkan laju, tekanan dan ketinggian. Di tempat air bertambah laju, tekanannya turun. Di tempat air naik, tekanannya juga turun.
Bersama-sama, dua idea ini membolehkan anda meramalkan laju dan tekanan di mana-mana sepanjang paip. Dalam topik ini bendalir tidak boleh mampat (seperti air) dan kehilangan akibat geseran diabaikan.
Semakan kendiri Air mengalir melalui paip yang semakin sempit. Apakah yang berlaku kepada lajunya di bahagian yang sempit?
Air berhenti
Berkurang
Bertambah
Ia kekal sama
Jawapan: Bertambah. Isi padu yang sama sesaat mesti melalui luas yang lebih kecil, jadi air mesti bergerak lebih laju.
2Kadar alir dan kesinambungan
Kadar alir isi paduQ ialah isi padu bendalir yang melalui sesaat, dalam m³/s. Satu liter sesaat (L/s) ialah 0.001 m³/s.
Bagi bendalir yang bergerak pada laju purata v melalui keratan rentas berluas A:
Q = A · v A = π · d² / 4
Kadar alir jisim ialah ṁ = ρ · Q, dalam kg/s, dengan ρ ialah ketumpatan (1000 kg/m³ bagi air).
Kesinambungan menyatakan bahawa Q adalah sama pada setiap keratan paip:
A1 · v1 = A2 · v2
Bagi paip bulat, π/4 saling batal, jadi v2 = v1 · (d1 / d2)². Jika diameter dikurangkan separuh, air menjadi empat kali lebih laju.
Semakan kendiri Sebuah paip mengecil daripada 80 mm kepada 40 mm. Air bergerak pada 1 m/s di bahagian lebar. Berapakah lajunya di bahagian sempit?
0.25 m/s
2 m/s
4 m/s
8 m/s
Jawapan: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. Luas bergantung pada kuasa dua diameter. Menggunakan nisbah diameter tanpa kuasa dua memberikan 2 m/s.
3Persamaan Bernoulli
Sepanjang garis arus tanpa kehilangan, tenaga bagi setiap meter padu bendalir kekal sama. Ia mempunyai tiga bahagian: tekanan, gerakan dan ketinggian.
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
p: tekanan, dalam Pa.
½ρv²: tenaga kinetik bagi setiap m³, juga dalam Pa.
ρgz: tenaga ketinggian bagi setiap m³, dengan z ialah ketinggian di atas sebarang aras rujukan yang anda pilih.
Jadi jika satu bahagian bertambah, yang lain mesti berkurang. Air yang lebih laju mempunyai tekanan yang lebih rendah. Air yang lebih tinggi mempunyai tekanan yang lebih rendah.
Satu kes khas yang berguna ialah tangki yang disalirkan keluar melalui lubang kecil pada kedalaman h di bawah permukaan terbuka. Permukaan hampir tidak bergerak dan kedua-dua titik berada pada tekanan udara, lalu memberikan hukum Torricelli:
v = √(2gh)
Semakan kendiri Sebuah tangki air terbuka disalirkan keluar melalui lubang kecil 5 m di bawah permukaan air. Dengan mengabaikan kehilangan, berapakah laju pancutan yang meninggalkan lubang? (g = 9.81 m/s²)
49.1 m/s
7.00 m/s
9.90 m/s
98.1 m/s
Jawapan: 9.90 m/s. v = √(2 · 9.81 · 5) = √98.1 = 9.90 m/s. Jika terlupa 2, hasilnya 7.00 m/s, dan jika terlupa punca kuasa dua, hasilnya 98.1.
4Kaedah langkah demi langkah
Lakarkan paip dan nomborkan dua keratan: 1 di tempat anda tahu paling banyak, 2 di tempat nilai yang dicari.
Tukar unit: mm kepada m, kPa kepada Pa, L/s kepada m³/s.
Cari luas A = π·d²/4 dan gunakan kesinambungan untuk mendapatkan halaju yang tiada.
Tulis Bernoulli antara keratan 1 dan 2. Bagi paip mengufuk z1 = z2, jadi sebutan ketinggian saling batal.
Selesaikan untuk nilai yang dicari, kemudian tukar semula kepada kPa jika perlu.
Pastikan unit konsisten. Dengan ρ dalam kg/m³ dan v dalam m/s, sebutan ½ρv² diperoleh dalam Pa, bukan kPa.
5Contoh terselesai
Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.
Contoh terselesai
Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir melalui paip mengufuk yang mengecil daripada 100 mm kepada 50 mm. Pada keratan lebar, tekanannya 200 kPa dan halajunya 1.5 m/s. Dengan mengabaikan kehilangan, cari tekanan pada keratan sempit.
1
Lukis paip
Keratan 1 ialah bahagian lebar, tempat semuanya diketahui. Keratan 2 ialah bahagian sempit.
2
Halaju di bahagian sempit
Diameter menjadi separuh, jadi laju bertambah sebanyak (100/50)² = 4:
v2 = 1.5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3
Tulis Bernoulli
Paip adalah mengufuk, jadi sebutan ketinggian saling batal:
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4
Gantikan nilai, dalam pascal
½ · 1000 · (1.5² − 6²) = 500 · (2.25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183.1 kPa
5
Semak jawapan
Air lebih laju di bahagian sempit, jadi tekanannya mesti lebih rendah. 183.1 kPa lebih rendah daripada 200 kPa, seperti yang dijangka.
Kadar alir ialah Q = 0.007854 · 1.5 = 11.8 L/s pada kedua-dua keratan.
Jawapan
p2 ≈ 183.1 kPa pada keratan sempit (v2 = 6 m/s).
6Kesilapan lazim
Menggunakan nisbah diameter dan bukan nisbah luas: laju berubah mengikut kuasa dua diameter.
Menggunakan jejari seolah-olah ia diameter dalam A = π·d²/4, atau terlupa /4.
Mencampurkan kPa dan Pa. Bekerja dalam Pa dalam Bernoulli, kemudian tukar pada akhir.
Melaporkan m³/s sebagai L/s. Darabkan m³/s dengan 1000 untuk mendapat L/s.
Terlupa sebutan ketinggian ρ·g·Δz apabila paip naik atau turun.
Semakan kendiri Air mengalir pada 2 m/s melalui paip berdiameter dalam 100 mm. Berapakah kadar alir isi padu?
0.0157 L/s
15.7 L/s
20 L/s
62.8 L/s
Jawapan: 15.7 L/s. A = π · 0.1²/4 = 0.007854 m², jadi Q = 0.007854 · 2 = 0.0157 m³/s = 15.7 L/s. Jika terlupa /4, hasilnya 62.8, dan jika terlupa π/4, hasilnya 20.
7Rupa soalan peperiksaan
Mudah: kesinambungan. Cari kadar alir, kadar alir jisim, halaju pada keratan yang lebih sempit, atau diameter paip yang diperlukan bagi alir tertentu. Sesetengah soalan menggunakan hukum Torricelli untuk tangki yang disalirkan keluar.
Sederhana: penurun mengufuk. Cari tekanan pada satu keratan daripada keratan yang satu lagi. Variasi menggunakan meter venturi, tiub pitot (v = √(2Δp/ρ)) atau orifis dengan pekali discas.
Sukar: paip menaik. Sebutan ketinggian penting: setiap satu meter kenaikan menurunkan tekanan sebanyak ρ·g·1 = 9.81 kPa bagi air. Variasi termasuk sifon, tangki bertekanan dan air pancut.
Dalam contoh di atas, kenaikan 5 m antara keratan akan menurunkan p2 lagi sebanyak 1000 · 9.81 · 5 = 49 050 Pa, kepada 134.1 kPa.
Air mengalir melalui paip yang mengecil daripada 100 mm kepada 50 mm diameter. Halaju pada bahagian lebar ialah 2.75 m/s. Cari halaju v2 pada bahagian sempit.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2.75 m/s
Cari nilai v2(m/s)
Tunjukkan petunjuk
Isi padu air yang sama melalui setiap keratan setiap saat: Q = A·v.
A₁v₁ = A₂v₂, dan luas berskala dengan d², jadi v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
A1 = 0.007854 m².
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Keselanjaran dan Bernoulli: bagi bendalir tak boleh mampat, kadar alir adalah sama pada setiap keratan, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Sepanjang garis arus tanpa kehilangan, p + ½ρv² + ρgz adalah malar, jadi di tempat bendalir lebih laju atau lebih tinggi, tekanannya lebih rendah.
Keselanjaran
Kadar alir adalah sama pada kedua-dua keratan.
A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(100/50)² = 11 m/s
Jawapan
v2 = 11 m/s
Contoh 2Sederhana
Air mengalir melalui paip mengufuk yang mengecil daripada 150 mm kepada 50 mm. Pada bahagian lebar tekanan ialah 250 kPa dan halaju ialah 0.5 m/s. Abaikan kehilangan, cari tekanan p2 pada bahagian sempit.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Keselanjaran dan Bernoulli: bagi bendalir tak boleh mampat, kadar alir adalah sama pada setiap keratan, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Sepanjang garis arus tanpa kehilangan, p + ½ρv² + ρgz adalah malar, jadi di tempat bendalir lebih laju atau lebih tinggi, tekanannya lebih rendah.
Keselanjaran dan Bernoulli
Bekerja dalam Pa, kemudian bahagi dengan 1000 untuk mendapatkan kPa.
Satu tangki air tertutup mempunyai udara termampat di atas air pada tekanan tolok 190 kPa. Air keluar melalui bukaan berdiameter 25 mm, 4 m di bawah permukaan air, ke udara terbuka. Dengan mengabaikan kehilangan, cari kadar aliran Q. Gunakan g = 9.81 m/s².
Bernoulli dari permukaan air (tekanan tolok p, pegun) ke pancutan (atmosfera).
p/ρ + gh = ½v², maka v = √(2(p/ρ + gh)) dengan p dalam Pa.
p/ρ + gh = 229.2 m²/s².
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Tutup hujung hos taman dengan ibu jari anda dan air memancut keluar lebih laju. Jumlah air yang sama mesti melalui bukaan yang lebih kecil, maka ia mesti bergerak lebih laju.
Idea itu ialah kesinambungan: dalam paip yang penuh, air tidak boleh bertimbun atau hilang. Apa yang masuk setiap saat mesti keluar setiap saat.
Keselanjaran dan Bernoulli: bagi bendalir tak boleh mampat, kadar alir adalah sama pada setiap keratan, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Sepanjang garis arus tanpa kehilangan, p + ½ρv² + ρgz adalah malar, jadi di tempat bendalir lebih laju atau lebih tinggi, tekanannya lebih rendah.
Apakah kesilapan lazim dalam Keselanjaran & Bernoulli?
Tekanan udara juga menolak air keluar: sertakan p/ρ dalam persamaan Bernoulli.
Ketinggian air juga menambah halaju: v = √(2(p/ρ + gh)).
Apakah yang diliputi oleh latihan Keselanjaran & Bernoulli?
Mudah: keselanjaran
Sederhana: penurun mengufuk
Sukar: paip menaik
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Cara latihan berfungsi
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.