Putaran jasad tegar: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Putaran jasad tegar percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: momen inersia, ΣM = Iα, kerja dan kuasa, golekan dan momentum sudut.

Soalan latihan percumaMudah
L = 2.1 mGOd = 0.5 mm = 4 kg

Satu rod langsing seragam berjisim 4 kg dan panjang 2.1 m berputar pada paksi O yang berserenjang dengan rod, 0.5 m dari pusatnya G. Cari momen inersia jisimnya IO pada paksi itu.

m = 4 kgL = 2.1 md = 0.5 m
kg·m²
Soalan seterusnya →
Berlatih Putaran jasad tegar secara percumaBerlatih Putaran jasad tegar sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahmomen inersia
  2. SederhanaΣM = Iα, kerja dan kuasa
  3. Sukargolekan dan momentum sudut

Cara menyelesaikan soalan Putaran jasad tegar

  1. Pilih paksi: pangsi tetap, atau pusat jisim bagi jasad yang bergolek.
  2. Cari momen inersia pada paksi itu daripada keputusan piawai, dengan I = IG + m·d² untuk paksi yang beralih.
  3. Pilih kaedah: ΣM = I·α untuk pecutan dan daya, tenaga (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) untuk laju, momentum sudut untuk hentaman dan perubahan mengejut.
  4. Hubungkan gerakan linear dan sudut dengan v = ω·r dan a = α·r, dan tukar rpm kepada rad/s.

Kesilapan lazim

  • Menggunakan momen inersia pada pusat bagi jasad yang berputar pada hujungnya.
  • Melupakan tenaga kinetik putaran bagi jasad yang bergolek atau takal.
  • Membiarkan laju dalam rpm dalam formula ω, E atau P.
  • Menganggap tenaga kinetik terabadi apabila jasad mencengkam atau melekat bersama.

Formula utama

Momen inersia pada G
rod mL²/12, cakera ½mR², gelang mR², sfera pepejal (2/5)mR², sfera berongga (2/3)mR²
Teorem paksi selari
I = IG + m·d²
Jejari legaran
I = m·k²
Rod pada hujungnya
I = mL²/3
Persamaan gerakan
ΣM = I·α
Laju dalam rad/s
ω = 2π·n/60
Tenaga kinetik
E = ½·I·ω²
Kerja dan kuasa
W = T·θ, P = T·ω
Golekan tanpa gelinciran
v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Momentum sudut
L = I·ω, I1ω1 = I2ω2
Hentaman pada pangsi
m·v·d = I·ω

Pelajari Putaran jasad tegar dari awal

Sebelum ini: Hukum Newton, Kerja & tenaga

1Apakah putaran jasad tegar

Jasad tegar ialah objek yang mengekalkan bentuknya: roda tenaga, takal, pintu atau roda yang bergolek. Dalam topik ini jasad berputar pada satu paksi.

Setiap titik jasad berputar melalui sudut yang sama dalam masa yang sama. Maka anda menerangkan gerakan dengan kuantiti sudut dan bukannya jarak:

  • θ: sudut yang diputar, dalam radian (rad). Satu pusingan ialah 2π rad.
  • ω: halaju sudut, dalam rad/s.
  • α: pecutan sudut, dalam rad/s².

Mesin memberi laju dalam pusingan seminit (rpm). Tukarkannya sebelum anda mengira:

ω = 2π·n / 60

Titik pada jarak r dari paksi bergerak dengan laju v = ω·r dan mempunyai pecutan a = α·r sepanjang lintasannya.

Segala yang anda tahu tentang gerakan garis lurus mempunyai kembarnya yang berputar: daya menjadi momen, jisim menjadi momen inersia, dan ΣF = m·a menjadi ΣM = I·α.

Semakan kendiri Roda berputar pada 600 rpm. Berapakah halaju sudutnya dalam rad/s?
  1. 10 rad/s
  2. 3770 rad/s
  3. 600 rad/s
  4. 62.8 rad/s

Jawapan: 62.8 rad/s. ω = 2π·600/60 = 2π·10 ≈ 62.8 rad/s. 10 ialah pusingan sesaat (2π tiada), 3770 terlupa membahagi dengan 60, dan 600 masih dalam rpm.

2Momen inersia

Jisim memberitahu anda betapa sukar mempercepatkan jasad dalam garis lurus. Momen inersia jisim I memberitahu anda betapa sukar menyebabkannya berputar.

Jisim yang jauh dari paksi dikira jauh lebih banyak daripada yang dekat dengannya, kerana ia dikira dengan kuasa dua jaraknya:

I = Σ m·r² (unit: kg·m²)

Anda tidak perlu menjumlahkan bahagian-bahagiannya sendiri. Pelajari keputusan piawai ini tentang pusat jisim G:

  • Rod langsing berpanjang L, paksi melalui tengah: m·L²/12.
  • Cakera atau silinder pepejal berjejari R: ½·m·R².
  • Gelang nipis atau gelung: m·R².
  • Sfera pepejal: (2/5)·m·R². Sfera berongga: (2/3)·m·R².
  • Jisim titik pada jarak r: m·r².

Apabila paksi O tidak melalui G, gunakan teorem paksi selari. Di sini d ialah jarak antara O dan G:

IO = IG + m·d²
GOdL

Rod yang berputar pada hujungnya mempunyai d = L/2, maka IO = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.

Sesetengah soalan memberi jejari legaran k dan bukannya bentuk. Maka I = m·k². Bagi jasad yang terdiri daripada beberapa bahagian, cari I setiap bahagian pada paksi yang sama dan tambahkan.

Semakan kendiri Rod seragam berjisim 3 kg dan panjang 2 m berputar pada salah satu hujungnya. Apakah momen inersianya?
  1. 1 kg·m²
  2. 12 kg·m²
  3. 3 kg·m²
  4. 4 kg·m²

Jawapan: 4 kg·m². I = m·L²/3 = 3·4/3 = 4 kg·m², atau IG + m·d² = 1 + 3·1² = 4. 1 kg·m² ialah nilai pada pusat, 3 kg·m² hanya bahagian m·d², dan 12 kg·m² ialah m·L² tanpa sebarang faktor.

3Momen, tenaga dan momentum sudut

Tiga alat menyelesaikan hampir setiap masalah putaran. Pilih yang sepadan dengan soalan.

1. Momen. Hasil tambah momen pada paksi sama dengan I·α. Gunakannya untuk pecutan dan daya.

ΣM = I·α

Dengan tork malar gerakan sudut mempunyai α malar, dan persamaan kinematik mempunyai kembar berputar: ω = ω₀ + α·t dan ω² = ω₀² + 2·α·θ.

2. Tenaga. Jasad yang berputar menyimpan tenaga kinetik. Tork T yang memutar melalui sudut θ melakukan kerja, dan kuasa aci yang berputar ialah tork darab halaju sudut:

E = ½·I·ω² W = T·θ P = T·ω

Jasad yang bergolek tanpa tergelincir bergerak dan berputar pada masa yang sama, dengan v = ω·r. Ia mempunyai kedua-dua jenis tenaga kinetik:

E = ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + c) c = I/(m·r²)

Nombor c bergantung hanya pada bentuk: 0.4 untuk sfera pepejal, 0.5 untuk silinder pepejal, 2/3 untuk sfera berongga dan 1 untuk gelung. Pada cerun, a = g·sin θ / (1 + c).

3. Momentum sudut. L = I·ω. Apabila tiada momen luar bertindak pada paksi, L kekal sama, walaupun jasad melekat bersama dan tenaga kinetik hilang:

I1·ω1 = I2·ω2
Semakan kendiri Motor menghantar tork 100 N·m pada 600 rpm. Berapakah kuasanya?
  1. 1 kW
  2. 377 kW
  3. 6.28 kW
  4. 60 kW

Jawapan: 6.28 kW. ω = 2π·600/60 = 62.8 rad/s, maka P = T·ω = 100·62.8 ≈ 6283 W = 6.28 kW. 60 kW menggunakan rpm sebagai ω, 1 kW menggunakan pusingan sesaat, dan 377 kW terlupa membahagi dengan 60.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Lukis jasad dan pilih paksi: pangsi atau aci tetap, atau pusat bagi jasad yang bergolek.
  2. Cari momen inersia pada paksi itu. Gunakan keputusan piawai dan tambah m·d² apabila paksi dianjak.
  3. Tukar setiap laju dalam rpm kepada rad/s dengan ω = 2π·n/60.
  4. Pilih alat. Pecutan dan daya: ΣM = I·α (dengan ΣF = m·a untuk bahagian yang bergerak dalam garis lurus). Laju selepas jarak atau sudut: tenaga. Hentaman, cengkaman mendadak dan jasad yang menarik jisimnya ke dalam: momentum sudut.
  5. Hubungkan gerakan lurus dan berputar di mana tali atau sentuhan bergolek menyambungkannya: v = ω·r dan a = α·r.
  6. Selesaikan, dan semak keputusan dengan alat kedua jika boleh.

Bagi jasad yang tergantung pada tali mengelilingi takal, lukis dua gambar rajah jasad bebas: satu untuk blok (daya) dan satu untuk takal (momen). Tegangan tali muncul dalam kedua-duanya.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Blok 2 kg tergantung pada tali ringan yang dililit mengelilingi takal. Takal ialah cakera pepejal seragam berjisim 4 kg dan berjejari 0.2 m pada gandar tanpa geseran. Blok dilepaskan dari rehat. Gunakan g = 9.81 m/s². Cari pecutan blok, tegangan dalam tali dan laju blok selepas jatuh 1 m.

1

Momen inersia takal

RM = 4 kgam

Takal ialah cakera pepejal yang berputar pada pusatnya.

I = ½·M·R² = ½ · 4 · 0.2² = 0.08 kg·m²
2

Persamaan untuk blok

RM = 4 kgTαTm·gam

Ambil ke bawah sebagai positif untuk blok. Graviti menariknya ke bawah dan tegangan tali T menariknya ke atas.

m·g − T = m·a ⇒ 19.62 − T = 2·a
3

Persamaan untuk takal

Hanya tegangan mempunyai momen pada gandar, dengan lengan R. Tali tidak tergelincir, maka α = a/R.

T·R = I·α = I·a/R ⇒ T = I·a/R² = 0.08·a/0.04 = 2·a
4

Selesaikan untuk a dan T

Masukkan T = 2·a ke dalam persamaan blok.

19.62 − 2·a = 2·a ⇒ a = 19.62/4 = 4.905 m/s²
T = 2 · 4.905 = 9.81 N

Takal berputar dengan α = a/R = 4.905/0.2 ≈ 24.5 rad/s².

5

Laju selepas 1 m

Pecutan malar dan blok bermula dari rehat, maka gunakan v² = 2·a·s.

v = √(2 · 4.905 · 1) = √9.81 ≈ 3.13 m/s
6

Semak jawapan

Gunakan tenaga sebaliknya. Tenaga keupayaan yang hilang menjadi tenaga kinetik blok dan takal, dengan ω = v/R.

m·g·h = ½·m·v² + ½·I·(v/R)² ⇒ 19.62 = v² + v²

Maka v² = 9.81 dan v ≈ 3.13 m/s, sama seperti sebelumnya.

Jawapan

a ≈ 4.91 m/s², T ≈ 9.81 N dan v ≈ 3.13 m/s selepas 1 m.

6Kesilapan lazim

  • Membiarkan laju dalam rpm dalam ω, E = ½·I·ω² atau P = T·ω. Tukar kepada rad/s dahulu.
  • Menggunakan momen inersia pada pusat bagi jasad yang berputar pada hujungnya. Tambah m·d².
  • Melupakan tenaga kinetik putaran bagi jasad yang bergolek atau takal.
  • Menganggap sfera atau cakera di hujung rod sebagai jisim titik. Tambah juga I-nya sendiri pada pusatnya.
  • Menganggap tenaga kinetik kekal apabila jasad mencengkam atau melekat bersama. Gunakan momentum sudut sebaliknya.
  • Mengira pusingan dalam radian: N = θ/(2π).
Semakan kendiri Silinder pepejal berjisim 2 kg bergolek tanpa tergelincir pada 3 m/s. Berapakah jumlah tenaga kinetiknya?
  1. 13.5 J
  2. 18 J
  3. 4.5 J
  4. 9 J

Jawapan: 13.5 J. E = ½·m·v²·(1 + c) = ½·2·3²·1.5 = 13.5 J, dengan c = 0.5 untuk silinder pepejal. 9 J hanya bahagian yang bergerak, 4.5 J hanya bahagian yang berputar, dan 18 J menggunakan c = 1, nilai untuk gelung.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: momen inersia. Rod pada paksi teranjak, bandul yang terdiri daripada rod dan sfera atau cakera, tenaga kinetik roda tenaga, atau tork atau masa yang diperlukan untuk memutarkan roda tenaga.
  • Sederhana: ΣM = I·α, kerja dan kuasa. Rod yang dilepaskan dari kedudukan mengufuk, blok pada takal, pusingan yang dibuat oleh roda tenaga yang dibrek, tork atau kuasa aci, atau laju rod yang berayun.
  • Sukar: bergolek dan momentum sudut. Sfera, silinder atau gelung yang bergolek menuruni cerun, geseran yang diperlukan untuk bergolek, bahagian tenaga putaran, gelang yang dijatuhkan pada cakera berputar, orang yang menarik dumbel ke dalam, atau peluru yang mengenai rod tergantung.

Bagi roda tenaga yang dibrek, brek melakukan kerja sama dengan tenaga yang disimpan: T·θ = ½·I·ω². Bahagikan θ dengan 2π untuk mendapat pusingan.

Rod yang dipin pada satu hujung dan dilepaskan dari kedudukan mengufuk mempunyai α = 3·g/(2·L) sejurus selepas dilepaskan. Hujung bebasnya memecut pada 1.5·g.

Bagi peluru yang tertanam dalam rod, momentum sudut pada pangsi dikekalkan: m·v·d = (Irod + m·d²)·ω.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
Or = 0.05 mL = 1.5 m1.55 m0.5 kg4.5 kg

Satu bandul dibuat daripada rod langsing seragam (0.5 kg, panjang 1.5 m) yang berpangsi pada hujung atasnya O, dengan sfera pepejal berjisim 4.5 kg dan berjejari 0.05 m dipasang pada hujung bawahnya. Pusat sfera berada 1.55 m di bawah O. Cari momen inersia jisim IO bandul itu pada O.

mrod = 0.5 kgL = 1.5 mmsphere = 4.5 kgr = 0.05 md = 1.55 m

Cari nilai IO (kg·m²)

Tunjukkan petunjuk
  1. Tambah momen inersia setiap bahagian, masing-masing pada paksi O yang sama.
  2. Rod pada hujungnya: m·L²/3. Jasad: I-nya sendiri pada pusatnya ditambah m·d² (teorem paksi selari).
  3. rod: 0.375 kg·m², jasad: 10.82 kg·m².
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Mass moment of inertia: I = Σm·r² measures how hard a body is to set spinning. Standard results about the centre of mass G: slender rod m·L²/12, solid disc or cylinder ½·m·R², thin ring m·R², solid sphere (2/5)·m·R². The parallel-axis theorem moves the axis a distance d away from G: I = IG + m·d². With a radius of gyration k, I = m·k². A spinning body has kinetic energy ½·I·ω², and a constant torque gives T = I·α. Convert speeds with ω = 2π·n/60 for n in rpm.

Rod pada hujungnya

Irod = m·L²/3 = 0.5·1.5²/3 = 0.375 kg·m²

Jasad pada pangsi

Momen inersianya sendiri pada pusatnya, dialihkan ke O dengan teorem paksi selari.

Ic = (2/5)·m·r² = (2/5)·4.5·0.05² = 0.0045 kg·m²
Ibody = 0.0045 + 4.5·1.55² = 10.82 kg·m²

Jumlah

IO = 0.375 + 10.82 = 11.19 kg·m²

Jawapan

IO = 11.19 kg·m²
Contoh 2Sederhana
9.5 kgaαM = 12.5 kgR = 0.45 m

Satu blok 9.5 kg tergantung pada tali ringan yang dililit pada takal, iaitu cakera pepejal seragam berjisim 12.5 kg dan berjejari 0.45 m yang berputar pada gandar mengufuk tanpa geseran. Blok dilepaskan daripada rehat. Gunakan g = 9.81 m/s². Cari laju v blok selepas ia jatuh 3.5 m.

m = 9.5 kgM = 12.5 kgR = 0.45 mg = 9.81 m/s²h = 3.5 m

Cari nilai v (m/s)

Tunjukkan petunjuk
  1. Lukis dua gambar rajah jasad bebas: blok (m·g − T = m·a) dan takal (T·R = I·α).
  2. Tali tidak tergelincir, maka a = α·R. Dengan I = ½·M·R² jejari terbatal: a = m·g/(m + M/2).
  3. a = 5.917 m/s².
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Blok dan takal

bongkah: m·g − T = m·a
takal: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Pecutan

a = m·g/(m + M/2) = 9.5·9.81/(9.5 + 6.25) = 5.917 m/s²

Laju selepas jatuh

v = √(2·a·h) = √(2·5.917·3.5) = 6.436 m/s

Jawapan

v = 6.436 m/s
Contoh 3Sukar
θ = 35°vs = 6.5 m

gelung nipis bermula daripada rehat dan bergolek tanpa gelinciran menuruni cerun yang condong pada 35° kepada ufuk. Gunakan g = 9.81 m/s². Jejarinya ialah 0.15 m. Cari halaju sudutnya ω selepas ia bergolek 6.5 m di sepanjang cerun.

θ = 35°s = 6.5 mI = m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.15 m

Cari nilai ω (rad/s)

Tunjukkan petunjuk
  1. Tenaga: m·g·h = ½·m·v² + ½·I·ω², dengan ω = v/r bagi golekan tanpa gelinciran.
  2. Dengan I = c·m·r², ini memberikan v = √(2·g·h/(1 + c)); jisim dan jejari terbatal.
  3. h = s·sin θ = 3.728 m, c = 1.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Ketinggian yang jatuh

h = s·sin θ = 6.5·sin 35° = 3.728 m

Imbangan tenaga dengan golekan

Golekan tanpa gelinciran: ω = v/r, dan geseran tidak melakukan kerja pada titik sentuhan.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)
v = √(2·9.81·3.728/2) = 6.048 m/s
ω = v/r = 6.048/0.15 = 40.32 rad/s

Jawapan

ω = 40.32 rad/s

Soalan dan jawapan

Apakah Putaran jasad tegar?

Setiap titik jasad berputar melalui sudut yang sama dalam masa yang sama. Maka anda menerangkan gerakan dengan kuantiti sudut dan bukannya jarak:

Mesin memberi laju dalam pusingan seminit (rpm). Tukarkannya sebelum anda mengira:

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Putaran jasad tegar langkah demi langkah?
  1. Pilih paksi: pangsi tetap, atau pusat jisim bagi jasad yang bergolek.
  2. Cari momen inersia pada paksi itu daripada keputusan piawai, dengan I = IG + m·d² untuk paksi yang beralih.
  3. Pilih kaedah: ΣM = I·α untuk pecutan dan daya, tenaga (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) untuk laju, momentum sudut untuk hentaman dan perubahan mengejut.
  4. Hubungkan gerakan linear dan sudut dengan v = ω·r dan a = α·r, dan tukar rpm kepada rad/s.
Apakah kesilapan lazim dalam Putaran jasad tegar?
  • Menggunakan momen inersia pada pusat bagi jasad yang berputar pada hujungnya.
  • Melupakan tenaga kinetik putaran bagi jasad yang bergolek atau takal.
  • Membiarkan laju dalam rpm dalam formula ω, E atau P.
  • Menganggap tenaga kinetik terabadi apabila jasad mencengkam atau melekat bersama.
Apakah yang diliputi oleh latihan Putaran jasad tegar?
  • Mudah: momen inersia
  • Sederhana: ΣM = Iα, kerja dan kuasa
  • Sukar: golekan dan momentum sudut

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Hukum NewtonKerja & tenaga

Kalkulator

Kalkulator tork (daya, kuasa dan rpm)

Kursus dengan topik ini

Dinamik

Lebih banyak topik dalam Mekanikal

Tindak balas penyokong rasukRangka & mesinTegasan & terikan paksiKilasan aciBulatan Mohr & transformasi tegasanGerakan peluruKerja & tenagaGetaran mekanikalEnjin haba & peti sejukKitaran kuasa gasKeselanjaran & BernoulliGeseran paip & kehilangan turusPam & kuasa pamPengaliran habaGear & rangkaian gear

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Putaran jasad tegar dengan jawapan
Berlatih Putaran jasad tegar secara percumaBerlatih Putaran jasad tegar sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.