Bulatan Mohr & transformasi tegasan: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Bulatan Mohr & transformasi tegasan percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: tegasan utama, ricih maksimum dan arah utama, tegasan pada satah condong.

Soalan latihan percumaMudah
σx​ = 90σy​ = −20MPaunsur utama

Pada satu titik dalam bahagian yang dibebani, tegasan utama dalam satah ialah σ₁ = 90 MPa dan σ₂ = −20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σavg yang bertindak pada satah tegasan ricih dalam satah maksimum.

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
Soalan seterusnya →
Berlatih Bulatan Mohr & transformasi tegasan secara percumaBerlatih Bulatan Mohr & transformasi tegasan sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahtegasan utama
  2. Sederhanaricih maksimum dan arah utama
  3. Sukartegasan pada satah condong

Cara menyelesaikan soalan Bulatan Mohr & transformasi tegasan

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kesilapan lazim

  • Menggunakan θ dan bukannya 2θ dalam persamaan transformasi.
  • Menambah (σx − σy)/2 dan τxy dan bukannya menggabungkannya dengan Pythagoras.
  • Tersalah konvensyen tanda untuk tegasan ricih.

Formula utama

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Pelajari Bulatan Mohr & transformasi tegasan dari awal

Sebelum ini: Tegasan & terikan paksi

1Mengapa tegasan bergantung pada arah

Dalam pelajaran paksi, tegasan ialah satu nombor: daya per luas. Tetapi tegasan pada suatu titik bergantung pada arah potongan yang anda lihat.

Pulas sebatang kapur tulis sehingga patah. Ia patah mengikut lingkaran pada 45°, bukan lurus melintang. Pada satah 45° itu tegangan adalah paling besar, dan kapur tulis lemah terhadap tegangan.

Untuk menerangkan tegasan pada satu titik, jurutera melukis segi empat sama yang kecil, iaitu unsur tegasan, dengan tegasan pada mukanya:

σx​σy​τxy​xy
  • σx dan σy ialah tegasan normal, bersudut tegak dengan muka. Positif bermaksud tegangan (anak panah menghala keluar), negatif bermaksud mampatan.
  • τxy ialah tegasan ricih, sepanjang muka. Ia cuba menjadikan segi empat sama itu berbentuk berlian.

Putarkan segi empat sama itu, dan tegasan pada mukanya berubah. Pelajaran ini menunjukkan cara mencarinya untuk setiap arah, dan arah mana yang paling berbahaya.

Semakan kendiri Pada suatu titik, σx = −40 MPa. Apakah maksudnya?
  1. Mampatan 40 MPa dalam arah x
  2. Mampatan 40 MPa dalam arah y
  3. Tegangan 40 MPa dalam arah x
  4. Tegasan ricih 40 MPa

Jawapan: Mampatan 40 MPa dalam arah x. Dengan peraturan tanda yang lazim, tegangan adalah positif, jadi σx yang negatif ialah mampatan, bertindak pada muka yang normal kepada x.

2Bulatan Mohr

Bulatan Mohr ialah gambar bagi semua arah serentak. Setiap titik pada bulatan ialah satu potongan yang mungkin melalui titik dalam bahagian itu.

Lukis tegasan normal σ ke kanan dan tegasan ricih τ ke atas. Kemudian plot dua titik:

  • titik x pada (σx, τxy): tegasan pada muka yang normal kepada x,
  • titik y pada (σy, −τxy): tegasan pada muka yang normal kepada y.

Bulatan itu melalui kedua-dua titik. Pusatnya C terletak pada paksi-σ, di tengah-tengah antara keduanya. Jejarinya R diperoleh daripada Pythagoras:

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

Di tempat bulatan memotong paksi-σ, tegasan ricih ialah sifar. Kedua-dua nilai ini ialah tegasan utama, tegasan normal terbesar dan terkecil pada titik itu. Puncak bulatan ialah tegasan ricih dalam satah yang terbesar:

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Semakan kendiri σx = 50 MPa, σy = 10 MPa dan τxy = 15 MPa. Berapakah σ1?
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

Jawapan: 55 MPa. C = 30 MPa dan R = √(20² + 15²) = 25 MPa, jadi σ1 = 55 MPa. 65 menambah 20 + 15 dan bukannya menggunakan Pythagoras; 50 mengabaikan tegasan ricih.

3Sudut: berganda pada bulatan

Memutar unsur itu sebanyak sudut θ menggerakkan titiknya pada bulatan Mohr sebanyak 2θ, dalam arah yang sama. Lawan arah jam ialah positif.

Arah σ1 ialah sudut θp daripada paksi-x, yang diperoleh daripada:

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

Perhatikan sukuan. Jika σx − σy negatif, tambah 180° kepada 2θp apabila τxy > 0, atau tolak 180° apabila τxy < 0. Kemudian bahagi dua.

Satah ricih maksimum terletak 45° daripada arah utama (90° pada bulatan).

Bagi satah yang normalnya diputar θ daripada paksi-x, tegasannya ialah:

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Semakan kendiri Pada suatu titik, tan 2θp = 1 dan σx − σy adalah positif. Berapakah θp?
  1. 22.5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67.5°

Jawapan: 22.5°. 2θp = 45°, jadi θp = 22.5°. Menjawab 45° terlupa membahagi dua sudut daripada bulatan. −67.5° ialah arah σ2, 90° jauhnya.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Tuliskan σx, σy dan τxy beserta tandanya: tegangan positif, mampatan negatif.
  2. Cari pusat C = (σx + σy)/2.
  3. Cari jejari R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  4. Tegasan utama: σ1 = C + R dan σ2 = C − R. Ricih dalam satah terbesar: τmax = R.
  5. Arah: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), semak sukuan, kemudian bahagi dua.
  6. Bagi satah θ yang diberi: gunakan persamaan σθ dan τθ dengan 2θ.

Lakaran pantas bulatan itu, walaupun kasar, menunjukkan tanda dan titik mana yang σ1.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Suatu titik mempunyai σx = 80 MPa, σy = 20 MPa dan τxy = 40 MPa. Cari tegasan utama, τmax, arah θp bagi σ1, dan tegasan normal pada satah yang diputar 45° lawan arah jam.

1

Lihat unsur itu

xy

Kedua-dua tegasan normal ialah tegangan. Tegasan ricih adalah positif.

2

Pusat dan jejari

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

Tegasan utama dan ricih maksimum

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

Arah utama

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1.333

σx − σy adalah positif, jadi tiada pembetulan diperlukan: 2θp = 53.1° dan θp = 26.6° lawan arah jam daripada x.

5

Satah diputar 45°

Dengan θ = 45°, 2θ = 90°: cos 2θ = 0 dan sin 2θ = 1.

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

Semak jawapan

Hasil tambah σx + σy = 100 MPa sama dengan σ1 + σ2 = 100 MPa. Hasil tambah ini sama bagi setiap putaran, jadi ia semakan pantas.

Juga, 90 MPa terletak antara σ2 = 0 dan σ1 = 100 MPa, seperti yang mesti dipenuhi oleh setiap tegasan normal.

Jawapan

σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26.6° dan σ45° = 90 MPa.

6Kesilapan lazim

  • Menambah (σx − σy)/2 dan τxy secara terus. Jejari menggabungkan keduanya dengan Pythagoras.
  • Menggunakan θ dan bukannya 2θ dalam persamaan transformasi, atau terlupa membahagi dua sudut yang dibaca daripada bulatan.
  • Tertinggal tanda tolak: tegasan mampatan mesti dimasukkan sebagai nombor negatif.
  • Memplot titik y pada (σy, +τxy). Ia berada pada −τxy, di sebelah pusat yang bertentangan dengan x.
  • Terlepas pandang sukuan bagi 2θp apabila σx < σy.
Semakan kendiri σx = 60 MPa, σy = 0 dan τxy = 40 MPa. Apakah tegasan ricih dalam satah yang maksimum?
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

Jawapan: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70 menambah 30 + 40; 30 mengabaikan tegasan ricih; 40 hanyalah τxy.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: tegasan utama. Diberi σx, σy dan τxy, cari σ1 atau σ2. Variasi: ricih tulen, atau rod paksi yang dipotong pada suatu sudut.
  • Sederhana: ricih maksimum dan arah utama. Cari τmax = R atau sudut θp, antara −90° dan 90°.
  • Sukar: tegasan pada satah condong. Gunakan persamaan σθ atau τθ dengan 2θ. Variasi menggabungkan beban paksi dan kilasan, atau menggunakan tegasan utama dalam semakan kegagalan seperti von Mises atau Tresca.

Tuliskan C dan R dahulu. Hampir setiap soalan dalam topik ini dijawab daripada dua nombor itu.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

Satu titik mempunyai σₓ = 30 MPa dan σᵧ = 50 MPa, ditambah sedikit tegasan ricih. Pada unsur yang diputar sebanyak 30° tegasan normal dalam arah x′ yang diputar ialah 87 MPa. Cari tegasan normal σy′ dalam arah y′ yang diputar.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

Cari nilai σy′ (MPa)

Tunjukkan petunjuk
  1. Anda tidak memerlukan τₓᵧ atau persamaan transformasi.
  2. Hasil tambah tegasan normal pada dua satah berserenjang adalah sama bagi setiap orientasi (pusat bulatan Mohr tidak bergerak).
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Tak varian tegasan pertama

Titik x′ dan y′ berada di hujung bertentangan sebuah diameter, maka puratanya sentiasa pusat C.

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

Jawapan

σy′ = −7 MPa
Contoh 2Sederhana
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θp dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

Cari nilai θp (°)

Tunjukkan petunjuk
  1. Lukis bulatan Mohr: titik x pada (σₓ, τₓᵧ), titik y pada (σᵧ, −τₓᵧ), pusat C di pertengahan.
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). Perhatikan sukuan.
  3. C = 10 MPa, R = 31.62 MPa.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108.4°

Sudut pada unsur

θp = −54.22°

Jawapan

θp = −54.22°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

Contoh 3Sukar
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2.5 MPap

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 500 mm dan ketebalan dinding 5 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 2.5 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 60° kepada paksi silinder. Cari magnitud tegasan ricih |τn| yang bertindak di sepanjang kelim kimpalan.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2.5 MPaα = 60°

Cari nilai |τn| (MPa)

Tunjukkan petunjuk
  1. Tegasan lingkar σh = pr/t, tegasan paksi σa = pr/(2t). Tiada ricih pada satah paksi dan lingkar.
  2. Ricih di sepanjang kelim: |τn| = (σh − σa)·sin α·cos α.
  3. σh = 125 MPa, σa = 62.5 MPa.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Silinder berdinding nipis: tegasan lingkar σh = pr/t dan tegasan paksi σa = pr/(2t); inilah tegasan utama dalam dinding.

Tegasan dinding

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2.5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62.5 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σa) dan y di sekeliling lingkar (σh). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

|τn| = (125 − 62.5)·sin 60°·cos 60° = 27.06 MPa

Jawapan

|τn| = 27.06 MPa

Soalan dan jawapan

Apakah Bulatan Mohr & transformasi tegasan?

Dalam pelajaran paksi, tegasan ialah satu nombor: daya per luas. Tetapi tegasan pada suatu titik bergantung pada arah potongan yang anda lihat.

Pulas sebatang kapur tulis sehingga patah. Ia patah mengikut lingkaran pada 45°, bukan lurus melintang. Pada satah 45° itu tegangan adalah paling besar, dan kapur tulis lemah terhadap tegangan.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Bulatan Mohr & transformasi tegasan langkah demi langkah?
  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Apakah kesilapan lazim dalam Bulatan Mohr & transformasi tegasan?
  • Menggunakan θ dan bukannya 2θ dalam persamaan transformasi.
  • Menambah (σx − σy)/2 dan τxy dan bukannya menggabungkannya dengan Pythagoras.
  • Tersalah konvensyen tanda untuk tegasan ricih.
Apakah yang diliputi oleh latihan Bulatan Mohr & transformasi tegasan?
  • Mudah: tegasan utama
  • Sederhana: ricih maksimum dan arah utama
  • Sukar: tegasan pada satah condong

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Tegasan & terikan paksi

Kalkulator

Kalkulator bulatan Mohr

Kursus dengan topik ini

Mekanik BahanReka Bentuk MesinLatihan peperiksaan FE Mekanikal

Lebih banyak topik dalam Mekanikal

Tindak balas penyokong rasukRangka & mesinTegasan & terikan paksiKilasan aciGerakan peluruKerja & tenagaPutaran jasad tegarGetaran mekanikalEnjin haba & peti sejukKitaran kuasa gasKeselanjaran & BernoulliGeseran paip & kehilangan turusPam & kuasa pamPengaliran habaGear & rangkaian gear

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Bulatan Mohr & transformasi tegasan dengan jawapan
Berlatih Bulatan Mohr & transformasi tegasan secara percumaBerlatih Bulatan Mohr & transformasi tegasan sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.