Magnetische velden & inductie: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Gratis oefenopgaven over Magnetische velden & inductie met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: velden van stromen en magnetische krachten, geladen deeltjes, Faraday en Lenz, generatoren, inductie en deeltjesbundels.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Een platte cirkelvormige spoel met 100 windingen en straal 2 cm voert een stroom van 0,5 A. Bepaal de magnetische fluxdichtheid B in het midden.
Makkelijkvelden van stromen en magnetische krachten
Gemiddeldgeladen deeltjes, Faraday en Lenz
Moeilijkgeneratoren, inductie en deeltjesbundels
Zo los je opgaven over Magnetische velden & inductie op
Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.
Veelgemaakte fouten
Lengtes in cm of oppervlakten in cm² laten staan.
De draadformule gebruiken voor een lus of een solenoïde.
De hoek met het vlak gebruiken in Φ = BA·cos θ, terwijl de hoek met de normaal nodig is.
Vergeten de richting van de kracht om te keren voor een negatieve lading.
Piek- en effectieve waarden van een generator door elkaar halen.
Elke elektrische stroom is omgeven door een magnetisch veld B, gemeten in tesla (T). Het veld van de aarde is ongeveer 50 µT; een koelkastmagneet enkele mT.
Rond een lange rechte draad zijn de veldlijnen cirkels. Wijs met de duim van je rechterhand in de richting van de stroom: je vingers krullen in de richting van B (de rechterhandgreepregel). In tekeningen betekent ⊗ een veld het papier in en ⊙ het papier uit.
draad: B = μ₀I/(2πr) middelpunt van een winding: B = μ₀NI/(2R) spoel: B = μ₀(N/L)·I
μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Gebruik altijd meters: 5 cm is 0,05 m. In een lange solenoïde is het veld homogeen en hangt het niet af van de straal.
Zelftoets De afstand tot een lange rechte draad wordt twee keer zo groot. Wat gebeurt er met B?
Het wordt een kwart
Hij halveert
Hij verdubbelt
Ze blijft gelijk
Antwoord: Hij halveert. B = μ₀I/(2πr) neemt af met 1/r, dus bij tweemaal de afstand is het veld de helft. De 1/r²-wet hoort bij puntladingen, niet bij draden.
2Magnetische krachten
Een veld oefent een kracht uit op bewegende ladingen. Op een recht stuk draad met lengte L en stroom I, en op een enkele lading q met snelheid v:
F = BIL·sin θ F = |q|vB·sin θ
θ is de hoek tussen de stroom (of snelheid) en het veld: een draad evenwijdig aan B voelt geen kracht. De kracht staat loodrecht op beide. Vingers van de rechterhand langs v, krul ze naar B: de duim geeft F voor een positieve lading. Voor een elektron keer je het om.
Omdat de kracht altijd loodrecht op de snelheid staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich in een cirkel. Uit |q|vB = mv²/r volgt r = mv/(|q|B). De tijd voor één omloop, T = 2πm/(|q|B), hangt niet af van de snelheid.
Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan als hun stromen dezelfde kant op lopen en stoten elkaar af als ze tegengesteld lopen, met F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Zelftoets Een proton en een elektron bewegen met dezelfde snelheid dwars door hetzelfde veld. Welke beweegt op de grotere cirkel?
Beide cirkels zijn even groot
Geen van beide: ze bewegen in rechte lijnen
Het elektron
Het proton
Antwoord: Het proton. r = mv/(|q|B). Beide hebben dezelfde ladingsgrootte, maar het proton is ongeveer 1836 keer zwaarder, dus zijn cirkel is 1836 keer groter. Ze buigen ook in tegengestelde richting af.
3Flux en de wet van Faraday
De magnetische flux door een lus telt hoeveel veld erdoorheen gaat: Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Eenheid: weber (Wb = T·m²).
Als de flux door een spoel verandert, wordt een EMK geïnduceerd (wet van Faraday). De geïnduceerde stroom loopt zo dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt (wet van Lenz):
ε = −N·ΔΦ/Δt
De flux kan veranderen doordat B verandert, doordat de oppervlakte verandert, of doordat de spoel draait. Een spoel omdraaien in een veld keert de flux om, dus ΔΦ = 2BA.
Een staaf met lengte L die met snelheid v door een veld beweegt, bestrijkt oppervlakte, dus ε = BLv. Met een weerstand R is de stroom I = ε/R, en het veld duwt tegen die stroom in met F = BIL: je moet blijven trekken om de staaf in beweging te houden.
Zelftoets Het veld het papier in door een lus neemt toe. In welke richting loopt de geïnduceerde stroom, gezien van voren?
Dat hangt af van de grootte van de lus
Er is geen stroom
Met de klok mee
Tegen de klok in
Antwoord: Tegen de klok in. De geïnduceerde stroom werkt de toename van de flux het papier in tegen, dus zijn eigen veld binnen de lus wijst het papier uit. Volgens de greepregel is daarvoor een stroom tegen de klok in nodig.
4Generatoren en inductie
Een spoel met N windingen en oppervlakte A die met hoeksnelheid ω draait in een veld B geeft een sinusvormige EMK met piekwaarde E₀ = NBAω. De effectieve waarde is E₀/√2, en ω = 2π·n/60 voor n in rpm.
Een veranderende stroom in een spoel verandert zijn eigen flux, wat een EMK induceert die de verandering tegenwerkt: dit is zelfinductie L, in henry (H).
ε = L·ΔI/Δt lange spoel: L = μ₀N²A/l energie: W = ½LI²
Twee spoelen die flux delen hebben een wederzijdse inductie M: een veranderende stroom in de ene induceert ε₂ = M·di₁/dt in de andere, met M = k√(L₁L₂) en 0 ≤ k ≤ 1. Transformatoren gebruiken dit.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
Een metalen staaf van 40 cm lang schuift met 5 m/s over rails in een veld van 0,5 T. De rails zijn verbonden door een weerstand van 2 Ω. Bepaal de stroom en de kracht die nodig is om de staaf met constante snelheid te laten bewegen.
1
Geïnduceerde EMK
ε = BLv = 0,5 · 0,40 · 5 = 1,0 V
2
Stroom
I = ε/R = 1,0/2 = 0,5 A
3
Remkracht
De stroom in de staaf zit in het veld, dus de staaf voelt F = BIL, tegengesteld aan zijn beweging (Lenz).
F = 0,5 · 0,5 · 0,40 = 0,10 N
4
Controleer met energie
Het trekvermogen F·v = 0,10 · 5 = 0,5 W is gelijk aan de warmte in de weerstand, I²R = 0,25 · 2 = 0,5 W. Energie blijft behouden.
Antwoord
I = 0,5 A en F = 0,10 N.
6Veelgemaakte fouten
Afstanden in cm of oppervlakten in cm² laten staan. 1 cm² = 10⁻⁴ m².
De formules door elkaar halen: μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een lus, μ₀nI voor een solenoïde.
De hoek met het vlak gebruiken in Φ = BA·cos θ in plaats van de hoek met de normaal.
Het eindveld gebruiken in plaats van de verandering van het veld in de wet van Faraday.
Vergeten de richting van de kracht om te keren voor een negatieve lading.
Piek- en effectieve waarden door elkaar halen bij een generator.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: B van een draad, een lus of een solenoïde, de kracht op een draad of een bewegende lading, en de flux door een lus.
Gemiddeld: de straal en omlooptijd van een lading in een veld, de wet van Faraday voor een spoel, een staaf op rails, evenwijdige draden, en de richting van een kracht of een geïnduceerde stroom.
Moeilijk: generatoren, zelfinductie en opgeslagen energie, wederzijdse inductie, massaspectrometers en snelheidsselectoren.
Schets voor richtingen de veldsymbolen en gebruik elke keer de rechterhand; schrijf voor groottes eerst de formule op en reken alle grootheden om naar SI-eenheden.
Een lange rechte draad voert 8 A. Op welke afstand r van de draad is de magnetische fluxdichtheid 32 µT?
I = 8 AB = 32 µTμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Gevraagd: r(cm)
Hints tonen
Herschrijf B = μ₀I/(2πr) naar r.
r = μ₀I/(2πB).
Reken het resultaat om van meters naar centimeters.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Magnetisch veld van stromen: rond een lange rechte draad zijn de veldlijnen cirkels (rechterhandgreepregel) met B = μ₀I/(2πr). In het midden van een platte cirkelvormige spoel met N windingen is B = μ₀NI/(2R). In een lange solenoïde is het veld homogeen, B = μ₀nI met n = N/L windingen per meter, ongeacht de straal. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Werk in SI-eenheden (meters en ampère) en tel de velden van meerdere bronnen op als vectoren.
Afstand uit het veld
r = μ₀I/(2πB) = 4π × 10⁻⁷·8/(2π·32 × 10⁻⁶) = 0,05 m = 5 cm
Antwoord
r = 5 cm
Voorbeeld 2Gemiddeld
Een spoel met 50 windingen heeft een oppervlakte van 80 cm². Een homogeen veld loodrecht op de spoel neemt in 100 ms gelijkmatig toe van 0,2 T tot 1 T. Bepaal de gemiddelde geïnduceerde EMK ε.
N = 50A = 80 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 100 ms
Gevraagd: ε(V)
Hints tonen
Wet van Faraday: ε = N·ΔΦ/Δt.
ΔΦ = ΔB·A.
A = 0,008 m² en Δt = 0,1 s.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).
Fluxverandering per winding
ΔΦ = (1 − 0,2)·0,008 = 0,0064 Wb
Gemiddelde EMK
ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0064/0,1 = 3,2 V
Antwoord
ε = 3,2 V
Voorbeeld 3Moeilijk
Twee spoelen met zelfinducties van 50 mH en 50 mH hebben een koppelingscoëfficiënt van 0,3. De stroom in de eerste spoel verandert met 1000 A/s. Bepaal de EMK ε die in de tweede spoel wordt geïnduceerd.
L1 = 50 mHL2 = 50 mHk = 0,3di/dt = 1000 A/s
Gevraagd: ε(V)
Hints tonen
M = k√(L₁L₂).
ε₂ = M·di₁/dt.
Reken M om naar henry.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).
Wederzijdse inductie
M = 0,3·√(50·50) = 15 mH
Geïnduceerde EMK
ε = M·di/dt = 0,015·1000 = 15 V
Antwoord
ε = 15 V
Vragen en antwoorden
Magnetische velden & inductie: wat is het?
Elke elektrische stroom is omgeven door een magnetisch veld B, gemeten in tesla (T). Het veld van de aarde is ongeveer 50 µT; een koelkastmagneet enkele mT.
Rond een lange rechte draad zijn de veldlijnen cirkels. Wijs met de duim van je rechterhand in de richting van de stroom: je vingers krullen in de richting van B (de rechterhandgreepregel). In tekeningen betekent ⊗ een veld het papier in en ⊙ het papier uit.
Magnetische velden & inductie: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.
Magnetische velden & inductie: wat zijn veelgemaakte fouten?
Lengtes in cm of oppervlakten in cm² laten staan.
De draadformule gebruiken voor een lus of een solenoïde.
De hoek met het vlak gebruiken in Φ = BA·cos θ, terwijl de hoek met de normaal nodig is.
Vergeten de richting van de kracht om te keren voor een negatieve lading.
Piek- en effectieve waarden van een generator door elkaar halen.
Magnetische velden & inductie: wat oefen je?
Makkelijk: velden van stromen en magnetische krachten
Gemiddeld: geladen deeltjes, Faraday en Lenz
Moeilijk: generatoren, inductie en deeltjesbundels
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.