Veren en slingers: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Gratis oefenopgaven over Veren en slingers met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: massa aan een veer, slinger, snelheid, versnelling en energie.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
4,8 kgk = ?

Een massa van 4,8 kg aan een veer trilt met een trillingstijd van 2,5 s. Vind de veerconstante k.

m = 4,8 kgT = 2,5 s
N/m
Volgende opgave →
Oefen Veren en slingers gratisOefen nu Veren en slingersElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkmassa aan een veer
  2. Gemiddeldslinger
  3. Moeilijksnelheid, versnelling en energie

Belangrijke formules

Massa aan een veer
T = 2π·√(m/k)
Slinger
T = 2π·√(L/g)
Hoekfrequentie
ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale snelheid en versnelling
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energie
E = ½·k·A²

Leer Veren en slingers vanaf nul

Hiervoor: Wetten van Newton

1Wat een trilling is

Trek een massa aan een veer opzij en laat los. Hij zwaait terug voorbij het midden, naar de andere kant, en weer terug. Een kind op een schommel en een gitaarsnaar doen hetzelfde.

Deze zich herhalende beweging is een trilling. Het middelpunt, waar de massa zou rusten, is de evenwichtsstand.

m0−A+Axk
  • De amplitude A is de grootste afstand tot het evenwicht, in m.
  • De periode T is de tijd voor één volledige trilling, heen en terug, in s.
  • De frequentie f is het aantal trillingen per seconde, in hertz (Hz).
f = 1 / T
Zelftoets Een massa aan een veer maakt 20 volledige trillingen in 10 s. Wat is de periode?
  1. 0,5 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 200 s

Antwoord: 0,5 s. T = tijd / aantal trillingen = 10/20 = 0,5 s. 2 is de frequentie in Hz (20/10), het aantal trillingen per seconde.

2Harmonische trilling

Een veer trekt terug met een kracht evenredig met de uitrekking: F = −k·x. De stijfheid k is in N/m. Het minteken betekent dat de kracht altijd naar het evenwicht wijst.

Zo’n terugdrijvende kracht geeft een harmonische trilling. De positie volgt in de tijd een cosinuskromme:

txA−AT
x = A · cos(ω·t)

De hoekfrequentie ω (omega), in rad/s, bepaalt hoe snel de beweging zich herhaalt. Eén periode is 2π rad.

ω = 2π / T = 2π · f

De amplitude verandert de periode niet. Een grotere uitwijking legt meer afstand af maar beweegt ook sneller.

3Formules voor veer en slinger

Bij een massa aan een veer trilt een zwaardere massa langzamer en een stijvere veer sneller:

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

Bij een enkelvoudige slinger met lengte L maakt bij kleine uitwijkingen de massa helemaal niets uit:

T = 2π · √(L / g)

Als een veer verticaal hangt, rekt het gewicht haar uit tot een nieuwe evenwichtsstand: k·x = m·g. Gebruik dit om k te vinden uit een gemeten uitrekking.

De snelheid is het grootst in het evenwicht en nul aan de uiteinden. De versnelling is het grootst aan de uiteinden, waar de veerkracht het grootst is:

vmax = A · ω amax = A · ω²

De totale energie blijft gelijk: E = ½·k·A². Op een positie x is ze verdeeld als ½·k·x² + ½·m·v².

Zelftoets Je vervangt de massa aan een veer door een twee keer zo zware. Wat gebeurt er met de periode?
  1. Hij verdubbelt
  2. Hij wordt 1,41 keer korter
  3. Hij wordt 4 keer langer
  4. Hij wordt √2 ≈ 1,41 keer langer

Antwoord: Hij wordt √2 ≈ 1,41 keer langer. T = 2π·√(m/k), dus T groeit met de wortel van m. Als je m verdubbelt, wordt T met √2 vermenigvuldigd. Zeggen dat hij verdubbelt vergeet de wortel.

4De methode stap voor stap

  1. Reken alles om naar SI-eenheden: gram naar kg, centimeter naar m.
  2. Bepaal welk systeem het is: een massa aan een veer (gebruik k en m) of een slinger (gebruik L en g).
  3. Als de periode of het aantal trillingen gegeven is, bepaal dan eerst T: T = tijd / aantal.
  4. Bepaal ω uit het systeem: ω = √(k/m) of ω = 2π/T.
  5. Gebruik de formule voor wat gevraagd wordt: T, f, vmax = A·ω, amax = A·ω² of de energie ½·k·A².
  6. Controleer of het antwoord redelijk is: een periode van een fractie van een seconde voor een stijve veer, een paar seconden voor een lange slinger.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een massa van 0,5 kg aan een veer met k = 200 N/m wordt 5 cm uit het evenwicht getrokken en losgelaten. Bepaal de periode T, de frequentie f, de maximale snelheid vmax en de maximale versnelling amax.

1

Eenheden

A = 5 cm = 0,05 m m = 0,5 kg k = 200 N/m
2

Hoekfrequentie

ω = √(k / m) = √(200 / 0,5) = √400 = 20 rad/s
3

Periode en frequentie

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0,314 s
f = 1 / T = 3,18 Hz
4

Maximale snelheid

De massa gaat het snelst als hij door het evenwicht gaat.

vmax = A · ω = 0,05 · 20 = 1 m/s
5

Maximale versnelling

De versnelling is het grootst aan de uiteinden, waar de massa omkeert.

amax = A · ω² = 0,05 · 400 = 20 m/s²
6

Controleer het antwoord

Energiecontrole: ½·k·A² = ½ · 200 · 0,05² = 0,25 J, en ½·m·vmax² = ½ · 0,5 · 1² = 0,25 J. Alle veerenergie wordt kinetische energie in het evenwicht.

Antwoord

T ≈ 0,314 s, f ≈ 3,18 Hz, vmax = 1 m/s en amax = 20 m/s².

6Veelgemaakte fouten

  • De amplitude in cm gebruiken in plaats van in m.
  • De breuk omdraaien: T = 2π·√(m/k), niet √(k/m). Voor een slinger is het √(L/g).
  • De 2π vergeten, of ω (rad/s) en f (Hz) door elkaar halen.
  • Denken dat de massa de periode van een slinger verandert, of dat de amplitude een periode verandert.
  • vmax = A·ω en amax = A·ω² door elkaar halen.
Zelftoets Een massa trilt met amplitude 10 cm en ω = 10 rad/s. Wat is zijn maximale versnelling?
  1. 1 m/s²
  2. 10 m/s²
  3. 100 m/s²
  4. 1000 m/s²

Antwoord: 10 m/s². amax = A·ω² = 0,1 · 100 = 10 m/s². A = 10 (cm) gebruiken geeft 1000. 1 m/s is A·ω, de maximale snelheid, niet de versnelling.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: een massa aan een veer. Bepaal T, f of k, soms uit een telling van trillingen of uit hoe ver de massa een hangende veer uitrekt.
  • Gemiddeld: de slinger. Bepaal zijn periode, de lengte bij een gegeven periode, of g op een andere planeet. Bij sommige vragen wordt de snelheid op een positie of op een bepaald moment gevraagd.
  • Moeilijk: snelheid, versnelling en energie: vmax, amax, de kinetische energie op een positie, of de amplitude nadat een kogel een blok aan een veer raakt.

Een snelle controle voor elke slinger: een slinger van 1 m op aarde heeft een periode van ongeveer 2 s.

Zelftoets Een slinger is 2,45 m lang. Met g = 9,81 m/s², wat is zijn periode bij kleine uitwijkingen?
  1. 0,50 s
  2. 1,57 s
  3. 12,6 s
  4. 3,14 s

Antwoord: 3,14 s. T = 2π·√(2,45/9,81) = 2π · 0,5 = 3,14 s. √(g/L) omgekeerd geeft 12,6 s, de wortel vergeten geeft 1,57 s, en 2π vergeten geeft 0,50 s.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
3,2 kgk = 210 N/m

Een massa van 3,2 kg aan een veer met veerconstante 210 N/m trilt op een wrijvingsloos oppervlak. Bereken de trillingstijd T.

m = 3,2 kgk = 210 N/m

Gevraagd: T (s)

Hints tonen
  1. De trillingstijd van een massa-veersysteem hangt niet af van de amplitude.
  2. T = 2π·√(m/k).
  3. √(m/k) = 0,1234 s.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².

Trillingstijd

T = 2π·√(3,2/210) = 0,7756 s

Antwoord

T = 0,7756 s
Voorbeeld 2Gemiddeld
1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Een massa van 1,1 kg aan een veer met k = 120 N/m trilt op een wrijvingsloos oppervlak met een amplitude van 7 cm. Vind de snelheid v als de massa 6 cm van de evenwichtsstand is.

m = 1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Gevraagd: v (m/s)

Hints tonen
  1. De energie is behouden: ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v².
  2. Dus v = ω·√(A² − x²) met ω = √(k/m).
  3. ω = 10,44 rad/s.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Hoekfrequentie

ω = √(120/1,1) = 10,44 rad/s

Snelheid bij x

v = ω·√(A² − x²) = 10,44·√(0,07² − 0,06²) = 0,3766 m/s

Antwoord

v = 0,3766 m/s
Voorbeeld 3Moeilijk
1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Een massa van 1,7 kg aan een veer met k = 380 N/m wordt 11 cm uit de evenwichtsstand getrokken en losgelaten. Bereken de maximale versnelling amax.

m = 1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Gevraagd: amax (m/s²)

Hints tonen
  1. ω = √(k/m).
  2. De versnelling is het grootst in de uiterste standen: amax = A·ω².
  3. ω = 14,95 rad/s, A = 0,11 m.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².

Hoekfrequentie

ω = √(380/1,7) = 14,95 rad/s

Maximale versnelling

amax = A·ω² = 0,11·14,95² = 24,59 m/s²

Antwoord

amax = 24,59 m/s²

Vragen en antwoorden

Veren en slingers: wat is het?

Trek een massa aan een veer opzij en laat los. Hij zwaait terug voorbij het midden, naar de andere kant, en weer terug. Een kind op een schommel en een gitaarsnaar doen hetzelfde.

Deze zich herhalende beweging is een trilling. Het middelpunt, waar de massa zou rusten, is de evenwichtsstand.

Veren en slingers: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².

Veren en slingers: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • Neem 2π mee: T = 2π·√(m/k) en f = 1/T.
  • Controleer de breuk onder de wortel: T = 2π·√(m/k), massa boven de breukstreep.
  • Dat is de maximale snelheid, in de evenwichtsstand. Bij x is de snelheid lager: v = ω·√(A² − x²).
Veren en slingers: wat oefen je?
  • Makkelijk: massa aan een veer
  • Gemiddeld: slinger
  • Moeilijk: snelheid, versnelling en energie

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Wetten van Newton

Daarna verder met

Mechanische trillingenGolven, geluid & optica

Calculators

Calculator voor de periode van slinger en veerVeerconstante berekenen (wet van Hooke)

Vakken met dit onderwerp

DynamicaNatuurkunde 1: MechanicaGolven en opticaOefenopgaven AP Physics 1

Meer onderwerpen in Natuurkunde

KinematicaWetten van NewtonCirkelbewegingImpuls en botsingenWet van Coulomb en elektrische veldenMagnetische velden & inductieGolven, geluid & optica

Printbaar werkblad

Werkblad Veren en slingers met antwoorden
Oefen Veren en slingers gratisOefen nu Veren en slingersElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.