Mechanische trillingen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Gratis oefenopgaven over Mechanische trillingen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: eigenfrequentie, dempingsverhouding, veren in serie en parallel.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Een machine staat op veerelementen die onder haar gewicht 15 mm indrukken. Beschouw haar als een ongedempt systeem met één vrijheidsgraad en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Hang een massa aan een veer, trek hem een beetje omlaag en laat los. Hij stuitert op en neer rond zijn rustpositie. Die zich herhalende beweging is een trilling.
Elk zo’n systeem heeft zijn eigen favoriete ritme, de eigenfrequentie. Die hangt alleen af van hoe stijf de veer is en hoe zwaar de massa is, niet van hoe ver je hebt getrokken.
Ingenieurs geven erom omdat een machine die met zijn eigenfrequentie wordt geschud hevig kan trillen. Dit heet resonantie. Motorophangingen, wasmachines en bruggen worden er allemaal rekening mee houdend ontworpen.
Een stijvere veer maakt de trilling sneller. Een zwaardere massa maakt hem langzamer.
Zelftoets Je vervangt de massa aan een veer door een die vier keer zwaarder is. Wat gebeurt er met de eigenfrequentie?
Hij halveert
Hij verdubbelt
Ze blijft gelijk
Ze wordt vier keer lager
Antwoord: Hij halveert. De frequentie hangt af van √(k/m). Vier keer de massa deelt de wortel door √4 = 2, dus de frequentie halveert.
2Eigenfrequentie en veercombinaties
Voor een massa m (kg) aan een veer met stijfheid k (N/m) is de cirkelfrequentie van de eigentrilling in rad/s:
ωn = √(k / m)
Eén volledige cyclus is 2π radialen. Dus de eigenfrequentie in hertz (cycli per seconde) en de periode (seconden per cyclus) zijn:
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
Soms weet je alleen hoe ver de veer doorzakt onder het gewicht, de statische doorbuiging δst = m·g/k. Dan is ωn = √(g / δst), met δst in meter.
Als er meerdere veren zijn, vervang je ze eerst door één equivalente veer:
Naast elkaar (parallel) delen de veren de belasting en tellen de stijfheden op.
Achter elkaar (in serie) draagt elke veer de volledige belasting, en de equivalente veer is zachter dan elk van beide.
Zelftoets Twee veren van elk 10 kN/m zijn achter elkaar (in serie) verbonden. Wat is de equivalente stijfheid?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Antwoord: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, dus k = 5 kN/m. Ze optellen tot 20 kN/m is de regel voor veren in parallel.
3Demping
Echte trillingen sterven uit. Een demper (een zuiger die door olie beweegt, zoals een schokdemper van een auto) onttrekt energie. De sterkte ervan is de dempingscoëfficiënt c in N·s/m.
De kritische demping is de hoeveelheid demping die de massa net niet meer laat stuiteren:
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
De dempingsverhouding vergelijkt de werkelijke demping met die kritische waarde:
ζ = c / cc
ζ < 1: onderkritisch gedempt. De massa trilt nog, maar de uitslagen worden kleiner.
ζ = 1: kritisch gedempt. Hij keert zo snel mogelijk terug in rust zonder door te schieten.
ζ > 1: overgedempt. Hij kruipt langzaam terug zonder te trillen.
Een onderkritisch gedempt systeem trilt iets langzamer dan het ongedempte, met de gedempte eigenfrequentie:
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Zelftoets Een massa van 10 kg zit op een veer van 1000 N/m met een demper van c = 50 N·s/m. Wat is de dempingsverhouding?
0,25
0,5
2,5
4
Antwoord: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, dus ζ = 50/200 = 0,25. De factor 2 vergeten geeft 0,5, en andersom delen geeft 4.
4De methode stap voor stap
Reken alles om naar SI-eenheden: kN/m naar N/m (× 1000), mm naar m, gram naar kg.
Als er meerdere veren zijn, combineer ze tot één k: tel ze op bij parallel, tel hun omgekeerde waarden op bij serie.
Bepaal ωn = √(k/m) in rad/s.
Als de vraag om hertz vraagt, deel dan door 2π: fn = ωn/(2π). Voor de periode neem je T = 1/fn.
Bepaal bij demping cc = 2·√(k·m), dan ζ = c/cc en, als erom gevraagd wordt, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Houd ω (rad/s) en f (Hz) uit elkaar. Ze verschillen een factor 2π ≈ 6,28, en ze door elkaar halen is de meest voorkomende manier om punten te verliezen.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
Een massa van 50 kg hangt aan een veer met een stijfheid van 20 kN/m. Verwaarloos demping. Bepaal de eigenfrequentie fn in Hz en de trillingstijd.
1
Tekenen en omrekenen
De stijfheid moet in N/m zijn: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. De massa is al in kg.
2
Eigenhoekfrequentie
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
Reken om naar hertz
Deel door 2π om volledige cycli per seconde te tellen:
fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4
De periode
T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s
De massa maakt iets meer dan drie volledige op-en-neercycli per seconde.
5
Controleer het antwoord
De statische doorbuiging is δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.
ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s
Dezelfde 20 rad/s, op een andere manier gevonden. Het antwoord klopt.
6
Verder gaan: voeg een demper toe
Met een demper van c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, dus ζ = 400/2000 = 0,2.
ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Antwoord
fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), en de periode is T ≈ 0,314 s.
6Veelgemaakte fouten
ωn in rad/s geven als de vraag om fn in Hz vraagt, of andersom.
De stijfheid in kN/m laten staan. De formule heeft N/m nodig.
Veren in serie optellen alsof ze parallel staan.
De 2 vergeten in cc = 2·√(k·m).
Het gewicht m·g gebruiken in plaats van de massa m in ωn = √(k/m).
Zelftoets Een massa van 4 kg hangt aan een veer van 400 N/m. Wat is zijn eigenfrequentie in Hz?
0,05 Hz
1,59 Hz
10 Hz
62,8 Hz
Antwoord: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, en fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. Stoppen bij 10 geeft rad/s, niet Hz; vermenigvuldigen met 2π geeft 62,8; 0,4 (kN/m) gebruiken geeft 0,05 Hz.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: eigenfrequentie. Een massa aan een veer: bepaal ωn in rad/s of fn in Hz. Bij sommige vragen is alleen de statische doorbuiging van een machine op zijn ophanging gegeven.
Gemiddeld: dempingsverhouding. Bepaal ζ uit m, k en c, of bepaal de gedempte frequentie fd uit een gegeven ζ. Andere geven twee pieken uit een vrije-trillingsproef.
Moeilijk: veren in serie en parallel, soms allebei (twee veren naast elkaar die een balk dragen, met een derde veer eronder). Bepaal eerst keq, dan fn.
Gebruik voor twee pieken x0 en xn die n cycli uit elkaar liggen het logaritmisch decrement:
Een massa van 40 kg hangt aan een veer met een stijfheid van 15 kN/m. Verwaarloos demping. Vind de eigenfrequentie fn in Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Gevraagd: fn(Hz)
Hints tonen
Werk in SI-eenheden: k in N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eigenhoekfrequentie
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s
In hertz
fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Antwoord
fn = 3,082 Hz
Voorbeeld 2Gemiddeld
Een massa van 10 kg aan een veer met een stijfheid van 50 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,4 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
Gevraagd: fd(Hz)
Hints tonen
Bepaal eerst de ongedempte eigenfrequentie.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ongedempte eigenfrequentie
ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Gedempte eigenfrequentie
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz
Antwoord
fd = 10,31 Hz
Voorbeeld 3Moeilijk
Een massa van 5 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 80 kN/m en de onderste k₂ = 20 kN/m. Vind de vervangende stijfheid keq van het verensysteem in kN/m.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
Gevraagd: keq(kN/m)
Hints tonen
Parallelle veren hebben dezelfde doorbuiging: stijfheden tellen op. Veren in serie dragen dezelfde kracht: de flexibiliteiten 1/k tellen op.
1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
keq < 20 kN/m.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vervangende stijfheid
Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Hang een massa aan een veer, trek hem een beetje omlaag en laat los. Hij stuitert op en neer rond zijn rustpositie. Die zich herhalende beweging is een trilling.
Elk zo’n systeem heeft zijn eigen favoriete ritme, de eigenfrequentie. Die hangt alleen af van hoe stijf de veer is en hoe zwaar de massa is, niet van hoe ver je hebt getrokken.
Mechanische trillingen: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Mechanische trillingen: wat zijn veelgemaakte fouten?
Dat is ωn in rad/s. Deel door 2π om de frequentie in Hz te krijgen.
Reken kN/m om naar N/m (vermenigvuldig met 1000) voordat je ωn = √(k/m) gebruikt.
Deel ωn door 2π om Hz te krijgen; niet vermenigvuldigen.
Mechanische trillingen: wat oefen je?
Makkelijk: eigenfrequentie
Gemiddeld: dempingsverhouding
Moeilijk: veren in serie en parallel
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.