Oplegreacties van balken: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: oplegreacties · oplegkrachten · reactiekrachten
Gratis oefenopgaven over Oplegreacties van balken met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: 1 puntlast, 2 puntlasten, puntlast + verdeelde belasting.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
Zo los je opgaven over Oplegreacties van balken op
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Veelgemaakte fouten
De arm van het moment vanaf het verkeerde punt nemen.
Vergeten een verdeelde belasting om te zetten in haar resultante.
Door elkaar halen welke oplegging welke reactiekracht levert.
Belangrijke formules
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Leer Oplegreacties van balken vanaf nul
1Wat oplegreacties zijn
Een balk is een lang recht element dat belastingen over een opening draagt, zoals een plank, een vloerbalk of een kleine brug.
De balk rust op steunpunten (oplegpunten). Als belastingen de balk omlaag duwen, duwen de steunpunten omhoog terug. Deze opwaartse krachten zijn de oplegreacties.
Hier zit een last van 10 kN precies in het midden. Door symmetrie draagt elk steunpunt de helft: RA = RB = 5 kN.
Als de last niet in het midden zit, draagt het dichtstbijzijnde steunpunt meer. Precies uitzoeken hoeveel is het onderwerp van deze les.
Je hebt de reacties eerst nodig voor bijna elke andere balkvraag: dwarskracht, buigend moment, spanning en doorbuiging.
Zelftoets Een balk op twee steunpunten draagt 10 kN precies in het midden van de overspanning. Wat is de reactie bij elk steunpunt?
10 kN
2,5 kN
20 kN
5 kN
Antwoord: 5 kN. De twee reacties samen moeten de hele 10 kN dragen, en door symmetrie zijn ze gelijk: 10/2 = 5 kN. 10 kN bij elk steunpunt zou de last tweemaal dragen.
2Opleggingen, momenten en evenwicht
Elk type oplegging kan op zijn eigen manier terugduwen.
Een rolscharnier (B in de figuur) kan alleen loodrecht op het oppervlak duwen waarop het rolt. Het geeft één verticale reactie.
Een scharnier (pin, A) belet de balk in elke richting te bewegen. Het geeft een verticale en een horizontale reactie. Bij alleen verticale belastingen is de horizontale nul.
Een inklemming, zoals een muur, belet de balk ook te draaien. Ze geeft een verticale kracht en een reactiemoment.
Een moment is het draaiende effect van een kracht om een punt. Het is de kracht maal zijn loodrechte afstand tot dat punt:
M = F · d
Een balk in rust beweegt niet en draait niet. Dus gelden drie evenwichtsvergelijkingen:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
De momentenvergelijking geldt om elk punt. Kies een oplegging als dat punt: haar reactie heeft afstand nul, dus valt ze uit de vergelijking.
Zelftoets Een kracht van 6 kN werkt op 2 m van punt A. Wat is haar moment om A?
12 kN·m
3 kN·m
6 kN·m
8 kN·m
Antwoord: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m. De kracht en afstand delen (3) of optellen (8) zijn de gebruikelijke slippers.
3Verdeelde belastingen
Sommige belastingen zijn over de balk verdeeld, zoals het gewicht van een vloer of van sneeuw. Een gelijkmatig verdeelde belasting (UDL) heeft op elke meter dezelfde waarde w, in kN/m.
Voor de reacties kun je een UDL door één enkele kracht vervangen. Haar grootte is de belasting per meter maal de belaste lengte, en ze werkt in het midden van het belaste deel:
W = w · ℓ
In de figuur is ℓ = 3 m, dus W = 4 · 3 = 12 kN. Ze werkt in het midden van de belasting, op x = 1 + 1,5 = 2,5 m van A.
Een console (cantilever) is maar aan één uiteinde ingeklemd, zoals een balkon. De muur geeft een opwaartse kracht en een moment. Voor een eindlast P op afstand L: RA = P en MA = P·L.
In deze console is RA = 5 kN en MA = 5 · 3 = 15 kN·m.
Zelftoets Een UDL van 4 kN/m werkt van x = 1 m tot x = 4 m. Welke enkele kracht vervangt haar, en waar?
12 kN bij x = 1,5 m
12 kN bij x = 2 m
12 kN bij x = 2,5 m
4 kN bij x = 2,5 m
Antwoord: 12 kN bij x = 2,5 m. W = 4·3 = 12 kN in het midden van de belasting, 1 + 1,5 = 2,5 m van A. 1,5 m is gemeten vanaf het begin van de belasting, niet vanaf A. 2 m is het midden van de hele overspanning, niet van het belaste deel.
4De methode stap voor stap
Teken de balk en vervang elke oplegging door haar reacties: RA bij het scharnier en RB bij het rolscharnier.
Vervang elke UDL door één kracht w·ℓ in het midden van het belaste deel.
Neem momenten om A. RA valt weg, dus je krijgt RB rechtstreeks: RB·L = Σ(elke last × zijn afstand tot A).
Gebruik ΣFy = 0: RA = (totale last) − RB.
Controle: neem momenten om B. Dit moet dezelfde RA geven.
Tekenregel voor stap 3: de reactie RB draait de balk de ene kant op om A, de neerwaartse lasten draaien hem de andere kant op. Hun momenten moeten in evenwicht zijn.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
Een vrij opgelegde balk met overspanning 6 m draagt P1 = 12 kN op 2 m van A en P2 = 6 kN op 4 m van A. Bepaal RA en RB.
1
Teken het vrijlichaamsschema
Het scharnier bij A en het rolscharnier bij B geven elk één opwaartse reactie. Er zijn twee onbekenden, dus twee vergelijkingen zijn genoeg.
2
Momenten om A
RA gaat door A, dus heeft geen moment om A. De lasten draaien de balk met de klok mee, RB draait hem tegen de klok in:
RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3
Verticaal krachtenevenwicht
De twee reacties samen dragen de totale last van 12 + 6 = 18 kN.
RA = 18 − 8 = 10 kN
4
Controleer het antwoord
Neem in plaats daarvan momenten om B. De afstanden tot B zijn 4 m voor P1 en 2 m voor P2.
RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN
Beide wegen komen overeen. RA is de grotere, wat logisch is: de zwaardere last ligt dichter bij A.
Antwoord
RA = 10 kN en RB = 8 kN.
6Veelgemaakte fouten
Een afstand vanaf het verkeerde punt meten. In een momentenvergelijking om A wordt elke afstand vanaf A gemeten.
De reacties verwisselen. Momenten om A nemen geeft RB, niet RA.
Vergeten een UDL om te zetten in één kracht w·ℓ, of die kracht in het midden van de overspanning plaatsen in plaats van in het midden van de belasting.
De draairichtingen door elkaar halen, zodat een last en een reactie hetzelfde teken krijgen in de momentenvergelijking.
Niet controleren. Een tweede momentenvergelijking om B vangt de meeste slippers in een paar seconden op.
Zelftoets Een balk van 4 m op twee steunpunten draagt 8 kN op 1 m van A. Wat is RA?
2 kN
4 kN
6 kN
8 kN
Antwoord: 6 kN. Momenten om A: RB·4 = 8·1, dus RB = 2 kN en RA = 8 − 2 = 6 kN. 2 kN is RB: het steunpunt dichter bij de last draagt meer.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: een vrij opgelegde balk met één puntlast. Je bepaalt RA of RB.
Gemiddeld: twee puntlasten, zoals in het uitgewerkte voorbeeld.
Moeilijk: een puntlast samen met een UDL over een deel van of de hele overspanning. Vervang eerst de UDL door w·ℓ in haar midden.
Andere versies gebruiken dezelfde drie vergelijkingen: een console (bepaal het inklemmingsmoment MA), een schuine last (gebruik alleen haar verticale component, P·sin θ), een aangebracht koppel, een balk die over een oplegging uitsteekt, of een driehoekige belasting (resultante ½·w·ℓ op een derde van haar lengte vanaf het hoge uiteinde).
Lees de maten onder de balk zorgvuldig en schrijf elke afstand vanaf A op voordat je begint.
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
L = 4 mP = 55 kN op 2 m
Gevraagd: RB(kN)
Hints tonen
Gebruik statisch evenwicht: ΣFy = 0 en ΣM = 0. Twee onbekenden, twee vergelijkingen.
Neem momenten om A. RA gaat door A, dus valt weg en je krijgt RB direct.
De totale neerwaartse belasting is 55 kN, dus RA + RB = 55 kN.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN
Antwoord
RB = 27,5 kN
Voorbeeld 2Gemiddeld
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
L = 6 mP1 = 15 kN op 2 mP2 = 30 kN op 3 m
Gevraagd: RB(kN)
Hints tonen
Gebruik statisch evenwicht: ΣFy = 0 en ΣM = 0. Twee onbekenden, twee vergelijkingen.
Neem momenten om A. RA gaat door A, dus valt weg en je krijgt RB direct.
De totale neerwaartse belasting is 45 kN, dus RA + RB = 45 kN.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN
Antwoord
RB = 20 kN
Voorbeeld 3Moeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Een last P werkt op 3 m van A, onder een hoek van 30° met de horizontaal, en een verticale last Q werkt op 2 m van A. Vind de grootte van de totale reactiekracht RA in het scharnier A.
L = 4 mP = 25 kN op 3 m, θ = 30°Q = 25 kN op 2 m
Gevraagd: RA(kN)
Hints tonen
Ontbind P in P·cos θ (horizontaal) en P·sin θ (verticaal). De rol neemt geen horizontale kracht op.
Bepaal RB uit momenten om A, daarna Ay uit ΣFy = 0 en Ax uit ΣFx = 0.
Ax = 21,65 kN, Ay = 15,63 kN.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Componenten van P
Pv = 25·sin 30° = 12,5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21,65 kN
Reacties
ΣMA = 0: RB·4 = 12,5·3 + 25·2 → RB = 21,88 kN
Ay = 12,5 + 25 − 21,88 = 15,63 kN
Ax = Ph = 21,65 kN
Resultante in A
RA = √(21,65² + 15,63²) = 26,7 kN
Antwoord
RA = 26,7 kN
Vragen en antwoorden
Oplegreacties van balken: wat is het?
Een balk is een lang recht element dat belastingen over een opening draagt, zoals een plank, een vloerbalk of een kleine brug.
De balk rust op steunpunten (oplegpunten). Als belastingen de balk omlaag duwen, duwen de steunpunten omhoog terug. Deze opwaartse krachten zijn de oplegreacties.
Oplegreacties van balken: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Oplegreacties van balken: wat zijn veelgemaakte fouten?
De arm van het moment vanaf het verkeerde punt nemen.
Vergeten een verdeelde belasting om te zetten in haar resultante.
Door elkaar halen welke oplegging welke reactiekracht levert.
Oplegreacties van balken: wat oefen je?
Makkelijk: 1 puntlast
Gemiddeld: 2 puntlasten
Moeilijk: puntlast + verdeelde belasting
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.