Rotatie van een star lichaam: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

1Wat rotatie van een star lichaam is

Een star lichaam is een voorwerp dat zijn vorm behoudt: een vliegwiel, een katrol, een deur of een rollend wiel. In dit onderwerp draait het lichaam om een as.

Elk punt van het lichaam draait in dezelfde tijd door dezelfde hoek. Je beschrijft de beweging dus met hoekgrootheden in plaats van afstanden:

• θ: de gedraaide hoek, in radialen (rad). Eén omwenteling is 2π rad.
• ω: de hoeksnelheid, in rad/s.
• α: de hoekversnelling, in rad/s².

Machines geven snelheden in omwentelingen per minuut (rpm). Reken ze om voordat je gaat rekenen:

Een punt op afstand r van de as beweegt met snelheid v = ω·r en heeft langs zijn baan een versnelling a = α·r.

Alles wat je weet over beweging langs een rechte lijn heeft een draaiende tweeling: kracht wordt moment, massa wordt massatraagheidsmoment, en ΣF = m·a wordt ΣM = I·α.

2Het massatraagheidsmoment

Massa vertelt je hoe moeilijk het is een lichaam in een rechte lijn te versnellen. Het massatraagheidsmoment I vertelt je hoe moeilijk het is het aan het draaien te krijgen.

Massa ver van de as telt veel zwaarder dan massa dichtbij, omdat ze met het kwadraat van haar afstand meetelt:

Je hoeft de stukjes niet zelf op te tellen. Leer deze standaardresultaten om het massamiddelpunt G:

• Slanke staaf met lengte L, as door het midden: m·L²/12.
• Massieve schijf of cilinder met straal R: ½·m·R².
• Dunne ring of hoepel: m·R².
• Massieve bol: (2/5)·m·R². Holle bol: (2/3)·m·R².
• Puntmassa op afstand r: m·r².

Als de as O niet door G gaat, gebruik je de stelling van Steiner (parallelle-assenstelling). Hier is d de afstand tussen O en G:

Een staaf die om zijn uiteinde draait, heeft d = L/2, dus I_O = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.

Sommige vragen geven een traagheidsstraal k in plaats van een vorm. Dan is I = m·k². Bepaal bij een lichaam dat uit delen bestaat het I van elk deel om dezelfde as en tel ze op.

3Momenten, energie en impulsmoment

Drie gereedschappen lossen bijna elk rotatieprobleem op. Kies degene die bij de vraag past.

1. Momenten. De som van de momenten om de as is gelijk aan I·α. Gebruik het voor versnellingen en krachten.

Bij een constant koppel heeft de hoekbeweging constante α, en de kinematicavergelijkingen hebben draaiende tweelingen: ω = ω₀ + α·t en ω² = ω₀² + 2·α·θ.

2. Energie. Een draaiend lichaam slaat kinetische energie op. Een koppel T dat door een hoek θ draait, verricht arbeid, en het vermogen van een draaiende as is koppel maal hoeksnelheid:

Een lichaam dat rolt zonder te slippen beweegt en draait tegelijk, met v = ω·r. Het heeft beide soorten kinetische energie:

Het getal c hangt alleen van de vorm af: 0,4 voor een massieve bol, 0,5 voor een massieve cilinder, 2/3 voor een holle bol en 1 voor een hoepel. Op een helling is a = g·sin θ / (1 + c).

3. Impulsmoment. L = I·ω. Als er geen uitwendig moment om de as werkt, blijft L gelijk, ook als lichamen aan elkaar blijven kleven en kinetische energie verloren gaat:

4De methode stap voor stap

1. Teken het lichaam en kies de as: het vaste draaipunt of de as, of het middelpunt bij een rollend lichaam.
2. Bepaal het traagheidsmoment om die as. Gebruik de standaardresultaten en tel m·d² erbij als de as verschoven is.
3. Reken elke snelheid in rpm om naar rad/s met ω = 2π·n/60.
4. Kies het gereedschap. Versnellingen en krachten: ΣM = I·α (met ΣF = m·a voor delen die langs een lijn bewegen). Snelheden na een afstand of hoek: energie. Botsingen, plotselinge grepen en lichamen die hun massa naar binnen trekken: impulsmoment.
5. Koppel de rechte en de draaiende beweging waar een koord of een rollend contact ze verbindt: v = ω·r en a = α·r.
6. Los op, en controleer het resultaat met een tweede gereedschap als dat kan.

Teken bij een lichaam dat aan een koord om een katrol hangt twee vrijlichaamsschema’s: een voor het blok (krachten) en een voor de katrol (momenten). De spankracht in het koord komt in beide voor.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

6Veelgemaakte fouten

• Snelheden in rpm laten staan in ω, E = ½·I·ω² of P = T·ω. Reken eerst om naar rad/s.
• Het traagheidsmoment om het middelpunt gebruiken voor een lichaam dat om zijn uiteinde draait. Tel m·d² erbij.
• De rotatie-energie van een rollend lichaam of een katrol vergeten.
• Een bol of schijf aan het eind van een staaf als puntmassa behandelen. Tel ook zijn eigen I om zijn middelpunt erbij.
• Aannemen dat kinetische energie behouden blijft als lichamen grijpen of blijven kleven. Gebruik in plaats daarvan het impulsmoment.
• Omwentelingen in radialen tellen: N = θ/(2π).

7Hoe tentamenvragen eruitzien

• Makkelijk: traagheidsmoment. Een staaf om een verschoven as, een slinger van een staaf en een bol of schijf, de kinetische energie van een vliegwiel, of het koppel of de tijd die nodig is om een vliegwiel op te laten draaien.
• Gemiddeld: ΣM = I·α, arbeid en vermogen. Een staaf die uit de horizontale stand wordt losgelaten, een blok aan een katrol, de omwentelingen die een geremd vliegwiel maakt, het koppel of vermogen van een as, of de snelheid van een zwaaiende staaf.
• Moeilijk: rollen en impulsmoment. Een bol, cilinder of hoepel die een helling af rolt, de wrijving die nodig is om te rollen, het aandeel rotatie-energie, een ring die op een draaiende schijf valt, een persoon die halters naar binnen trekt, of een kogel die een hangende staaf raakt.

Bij een geremd vliegwiel verricht de rem arbeid gelijk aan de opgeslagen energie: T·θ = ½·I·ω². Deel θ door 2π om de omwentelingen te krijgen.

Een staaf die aan één uiteinde scharnierend is bevestigd en uit de horizontale stand wordt losgelaten, heeft vlak na het loslaten α = 3·g/(2·L). Zijn vrije uiteinde versnelt met 1,5·g.

Voor een kogel die in een staaf blijft steken blijft het impulsmoment om het draaipunt behouden: m·v·d = (I_staaf + m·d²)·ω.