Continuïteit en Bernoulli: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: wet van Bernoulli · continuïteitsvergelijking

Gratis oefenopgaven over Continuïteit en Bernoulli met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: continuïteit, horizontale vernauwing, stijgende leiding.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
12d1​ = 75 mm, v1​ = 0,75 m/sd2​ = 25 mm

Water stroomt met 0,75 m/s door het brede deel van de leiding, met een diameter van 75 mm. Vind het volumedebiet Q.

d1 = 75 mmd2 = 25 mmv1 = 0,75 m/s
L/s
Volgende opgave →
Oefen Continuïteit en Bernoulli gratisOefen nu Continuïteit en BernoulliElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkcontinuïteit
  2. Gemiddeldhorizontale vernauwing
  3. Moeilijkstijgende leiding

Belangrijke formules

Continuïteit
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Debiet
Q = A·v
Oppervlakte van een cirkel
A = πd²/4

Leer Continuïteit en Bernoulli vanaf nul

Hiervoor: Hydrostatische kracht

1Waar continuïteit en Bernoulli over gaan

Houd je duim over het uiteinde van een tuinslang en het water spuit er sneller uit. Dezelfde hoeveelheid water moet door een kleinere opening, dus het moet sneller bewegen.

Dat idee is continuïteit: in een volle leiding kan water zich niet ophopen of verdwijnen. Wat elke seconde binnenkomt, moet elke seconde weer naar buiten.

Het tweede idee, de vergelijking van Bernoulli, verbindt snelheid, druk en hoogte. Waar het water versnelt, daalt zijn druk. Waar het stijgt, daalt zijn druk ook.

Samen laten deze twee ideeën je de snelheid en de druk overal langs een leiding voorspellen. In dit onderwerp is de vloeistof onsamendrukbaar (zoals water) en wordt wrijvingsverlies genegeerd.

Zelftoets Water stroomt door een leiding die smaller wordt. Wat gebeurt er met de snelheid in het smalle deel?
  1. Het water stopt
  2. Ze blijft gelijk
  3. Ze neemt af
  4. Ze neemt toe

Antwoord: Ze neemt toe. Hetzelfde volume per seconde moet door een kleiner oppervlak, dus het water moet sneller bewegen.

2Debiet en continuïteit

Het volumedebiet Q is het volume vloeistof dat per seconde passeert, in m³/s. Eén liter per seconde (L/s) is 0,001 m³/s.

Voor een vloeistof die met een gemiddelde snelheid v door een doorsnede met oppervlak A beweegt:

Q = A · v A = π · d² / 4

Het massadebiet is ṁ = ρ · Q, in kg/s, waarbij ρ de dichtheid is (1000 kg/m³ voor water).

Continuïteit zegt dat Q in elke doorsnede van de leiding gelijk is:

12v1​v2​d1​d2​p1​p2​
A1 · v1 = A2 · v2

Bij ronde leidingen valt de π/4 weg, dus v2 = v1 · (d1 / d2)². Een halvering van de diameter maakt het water vier keer sneller.

Zelftoets Een leiding versmalt van 80 mm naar 40 mm. Het water beweegt in het brede deel met 1 m/s. Hoe snel beweegt het in het smalle deel?
  1. 0,25 m/s
  2. 2 m/s
  3. 4 m/s
  4. 8 m/s

Antwoord: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. Het oppervlak hangt af van de diameter in het kwadraat. De diameterverhouding gebruiken zonder te kwadrateren geeft 2 m/s.

3De vergelijking van Bernoulli

Langs een stroomlijn zonder verliezen blijft de energie per kubieke meter vloeistof gelijk. Ze heeft drie delen: druk, beweging en hoogte.

p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
  • p: de druk, in Pa.
  • ½ρv²: de kinetische energie per m³, ook in Pa.
  • ρgz: de hoogte-energie per m³, waarbij z de hoogte is boven een willekeurig gekozen referentieniveau.

Dus als het ene deel groter wordt, moet een ander kleiner worden. Sneller water heeft een lagere druk. Hoger water heeft een lagere druk.

Een nuttig speciaal geval is een tank die leegloopt door een klein gat op een diepte h onder het open oppervlak. Het oppervlak beweegt nauwelijks en beide punten staan onder luchtdruk, wat de wet van Torricelli geeft:

v = √(2gh)
Zelftoets Een open watertank loopt leeg door een klein gat 5 m onder het wateroppervlak. Hoe snel verlaat de straal het gat als je verliezen negeert? (g = 9,81 m/s²)
  1. 49,1 m/s
  2. 7,00 m/s
  3. 9,90 m/s
  4. 98,1 m/s

Antwoord: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. Als je de 2 vergeet, krijg je 7,00 m/s, en als je de wortel vergeet, krijg je 98,1.

4De methode stap voor stap

  1. Schets de leiding en nummer twee doorsneden: 1 waar je het meest weet, 2 waar de onbekende zit.
  2. Reken eenheden om: mm naar m, kPa naar Pa, L/s naar m³/s.
  3. Zoek de oppervlakken A = π·d²/4 en gebruik continuïteit om de ontbrekende snelheid te vinden.
  4. Schrijf Bernoulli tussen doorsneden 1 en 2. Voor een horizontale leiding is z1 = z2, dus de hoogtetermen vallen weg.
  5. Los de onbekende op en reken daarna zo nodig terug naar kPa.

Houd de eenheden consistent. Met ρ in kg/m³ en v in m/s komt de term ½ρv² uit in Pa, niet in kPa.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Water (ρ = 1000 kg/m³) stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 100 mm naar 50 mm. In het brede deel is de druk 200 kPa en de snelheid 1,5 m/s. Bepaal, zonder verliezen, de druk in het smalle deel.

1

Teken de leiding

121,5 m/sv2​100 mm50 mm200 kPap2​ = ?

Doorsnede 1 is het brede deel, waar alles bekend is. Doorsnede 2 is het smalle deel.

2

Snelheid in het smalle deel

De diameter halveert, dus de snelheid wordt (100/50)² = 4 keer zo groot:

v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3

Schrijf Bernoulli op

De leiding is horizontaal, dus de hoogtetermen vallen weg:

p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4

Vul in, in pascal

½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5

Controleer het antwoord

Het water is sneller in het smalle deel, dus de druk moet lager zijn. 183,1 kPa is lager dan 200 kPa, zoals verwacht.

Het debiet is Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s in beide doorsneden.

Antwoord

p2 ≈ 183,1 kPa in het smalle deel (v2 = 6 m/s).

6Veelgemaakte fouten

  • De diameterverhouding gebruiken in plaats van de oppervlakteverhouding: de snelheden veranderen met het kwadraat van de diameter.
  • De straal gebruiken alsof het de diameter is in A = π·d²/4, of de /4 vergeten.
  • kPa en Pa door elkaar halen. Werk in Bernoulli in Pa en reken pas aan het eind om.
  • m³/s opgeven als L/s. Vermenigvuldig m³/s met 1000 om L/s te krijgen.
  • De hoogteterm ρ·g·Δz vergeten als de leiding stijgt of daalt.
Zelftoets Water stroomt met 2 m/s door een leiding met een binnendiameter van 100 mm. Hoe groot is het volumedebiet?
  1. 0,0157 L/s
  2. 15,7 L/s
  3. 20 L/s
  4. 62,8 L/s

Antwoord: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m², dus Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. Als je de /4 vergeet, krijg je 62,8, en als je π/4 vergeet, krijg je 20.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: continuïteit. Zoek een debiet, een massadebiet, de snelheid in een smallere doorsnede of de leidingdiameter die nodig is voor een gegeven debiet. Sommige vragen gebruiken de wet van Torricelli voor een leeglopende tank.
  • Gemiddeld: een horizontale reductie. Zoek de druk in de ene doorsnede uit de andere. Varianten gebruiken een venturimeter, een pitotbuis (v = √(2Δp/ρ)) of een meetopening met een uitstroomcoëfficiënt.
  • Moeilijk: een stijgende leiding. De hoogteterm doet ertoe: elke meter stijging verlaagt de druk met ρ·g·1 = 9,81 kPa voor water. Varianten zijn een hevel, een tank onder druk en een fontein.

In het voorbeeld hierboven zou een stijging van 5 m tussen de doorsneden p2 nog eens met 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa verlagen, tot 134,1 kPa.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
12d1​ = 100 mm, v1​ = 2,75 m/sd2​ = 50 mm, v2​ = ?

Water stroomt door een leiding die versmalt van 100 mm naar 50 mm diameter. De snelheid in het brede deel is 2,75 m/s. Vind de snelheid v2 in het smalle deel.

d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s

Gevraagd: v2 (m/s)

Hints tonen
  1. Elke seconde gaat er door elke doorsnede hetzelfde volume water: Q = A·v.
  2. A₁v₁ = A₂v₂, en het oppervlak schaalt met d², dus v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
  3. A1 = 0,007854 m².
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.

Continuïteit

Het debiet is in beide doorsneden gelijk.

A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s

Antwoord

v2 = 11 m/s
Voorbeeld 2Gemiddeld
12d1​ = 150 mm, p1​ = 250 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 150 mm naar 50 mm. In het brede deel is de druk 250 kPa en de snelheid 0,5 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 250 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

Gevraagd: p2 (kPa)

Hints tonen
  1. Gebruik eerst continuïteit om de snelheid in het smalle deel te vinden.
  2. Bernoulli voor een horizontale leiding: p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂².
  3. v2 = 4,5 m/s.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.

Continuïteit en Bernoulli

Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/50)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−10) = 240 kPa

Antwoord

p2 = 240 kPa
Voorbeeld 3Moeilijk
pair​ = 190 kPaQ = ?d = 25 mmh = 4 m

Een gesloten watertank heeft boven het water perslucht met een overdruk van 190 kPa. Water stroomt via een opening met een diameter van 25 mm, 4 m onder het wateroppervlak, de buitenlucht in. Vind, zonder verliezen, het debiet Q. Gebruik g = 9,81 m/s².

pair = 190 kPa (overdruk)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Gevraagd: Q (L/s)

Hints tonen
  1. Bernoulli van het wateroppervlak (overdruk p, in rust) naar de straal (atmosferisch).
  2. p/ρ + gh = ½v², dus v = √(2(p/ρ + gh)) met p in Pa.
  3. p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli van het oppervlak naar de straal

v = √(2·(190000/1000 + 9,81·4)) = 21,41 m/s

Debiet

Q = A·v = 0,0004909·21,41 = 0,01051 m³/s = 10,51 L/s

Antwoord

Q = 10,51 L/s

Vragen en antwoorden

Continuïteit en Bernoulli: wat is het?

Houd je duim over het uiteinde van een tuinslang en het water spuit er sneller uit. Dezelfde hoeveelheid water moet door een kleinere opening, dus het moet sneller bewegen.

Dat idee is continuïteit: in een volle leiding kan water zich niet ophopen of verdwijnen. Wat elke seconde binnenkomt, moet elke seconde weer naar buiten.

Continuïteit en Bernoulli: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.

Continuïteit en Bernoulli: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • De luchtdruk duwt het water ook naar buiten: neem p/ρ mee in de vergelijking van Bernoulli.
  • De waterhoogte draagt ook bij aan de snelheid: v = √(2(p/ρ + gh)).
Continuïteit en Bernoulli: wat oefen je?
  • Makkelijk: continuïteit
  • Gemiddeld: horizontale vernauwing
  • Moeilijk: stijgende leiding

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Hydrostatische kracht

Daarna verder met

Leidingwrijving en drukhoogteverlies

Calculators

Calculator voor de vergelijking van Bernoulli

Vakken met dit onderwerp

StromingsleerNatuurkunde voor ingenieursWaterbouwkundeOefenen voor het FE Mechanical-examen

Meer onderwerpen in Werktuigbouwkunde

Oplegreacties van balkenRaamwerken en machinesAxiale spanning en rekTorsie van assenCirkel van Mohr en spanningstransformatieKogelbaanArbeid en energieRotatie van een star lichaamMechanische trillingenWarmtemotoren en koelmachinesGaskringprocessenLeidingwrijving en drukhoogteverliesPompen en pompvermogenWarmtegeleidingTandwielen en tandwieloverbrengingen

Printbaar werkblad

Werkblad Continuïteit en Bernoulli met antwoorden
Oefen Continuïteit en Bernoulli gratisOefen nu Continuïteit en BernoulliElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.