Axiale spanning en rek: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: normaalspanning · wet van Hooke · rek en spanning

Gratis oefenopgaven over Axiale spanning en rek met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: normaalspanning, rek en verlenging, getrapte staaf.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
80 kNØ30100 GPaØ100/50800 mmσr​ = ?

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 50 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 80 kN op druk belast. Bepaal de drukspanning σr in de staaf.

P = 80 kNstaaf: Ø30 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
MPa
Volgende opgave →
Oefen Axiale spanning en rek gratisOefen nu Axiale spanning en rekElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijknormaalspanning
  2. Gemiddeldrek en verlenging
  3. Moeilijkgetrapte staaf

Belangrijke formules

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Leer Axiale spanning en rek vanaf nul

1Wat spanning is

Trek aan een stalen staaf en hij biedt weerstand. Of hij breekt, hangt niet alleen van de kracht af, maar van hoeveel materiaal die kracht deelt.

Een dunne draad en een dikke kabel kunnen dezelfde belasting dragen. De dunne draad bezwijkt veel eerder, omdat elke vierkante millimeter ervan meer draagt.

dLP

Normaalspanning σ (sigma) is de kracht per oppervlakte-eenheid van de doorsnede. De kracht P werkt langs de as van de staaf, dus dit heet een axiale belasting.

σ = P / A

Ingenieurs werken met newton en millimeter. Eén newton per vierkante millimeter is één megapascal:

1 N/mm² = 1 MPa

Reken dus eerst kN om naar N (× 1000). Voor een ronde staaf met diameter d is de oppervlakte een cirkel:

A = π · d² / 4
Zelftoets Een staaf met een doorsnede van 100 mm² draagt 10 kN. Wat is de spanning?
  1. 0,1 MPa
  2. 10 MPa
  3. 100 MPa
  4. 1000 MPa

Antwoord: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0,1 MPa komt uit het vergeten kN om te rekenen naar N.

2Rek en de wet van Hooke

Onder belasting wordt de staaf ook een beetje langer. Deze verandering in lengte is de verlenging δ (delta).

dLδP

Rek ε (epsilon) is de verlenging gedeeld door de oorspronkelijke lengte. Ze heeft geen eenheid, omdat het mm per mm is:

ε = δ / L

Rekken in metalen zijn klein, dus ze worden vaak gegeven in microrek: 1 µε = 10⁻⁶. Een rek van 0,0008 is 800 µε.

Voor de meeste materialen zijn spanning en rek evenredig zolang de belasting niet te groot is. Dit is de wet van Hooke:

σ = E · ε

E is de elasticiteitsmodulus (E-modulus), de stijfheid van het materiaal. Staal heeft E ≈ 200 GPa, aluminium ongeveer 70 GPa. Omdat 1 GPa = 1000 MPa, heeft staal E = 200 000 MPa.

De drie formules samen geven direct de verlenging:

δ = P · L / (A · E)
Zelftoets Een stalen staaf (E = 200 GPa) heeft een spanning van 200 MPa. Wat is de rek?
  1. 0,001
  2. 0,1
  3. 1000
  4. 1

Antwoord: 0,001. Reken E om naar MPa: 200 GPa = 200 000 MPa. Dan is ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. 200 door 200 delen zonder om te rekenen geeft 1, wat veel te groot is.

3De methode stap voor stap

  1. Schrijf alle waarden in N en mm: P in N (kN × 1000), lengtes in mm (m × 1000), E in MPa (GPa × 1000).
  2. Bepaal de oppervlakte: A = π·d²/4 voor een ronde staaf.
  3. Bepaal de spanning: σ = P/A, in MPa.
  4. Bepaal de rek: ε = σ/E. Vermenigvuldig met 10⁶ als het antwoord in µε gevraagd wordt.
  5. Bepaal de verlenging: δ = ε·L, in mm.

Stop bij de stap waar de vraag om vraagt. De meeste vragen gebruiken alleen de eerste twee of drie stappen.

4Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een stalen staaf (E = 200 GPa) heeft een diameter van 20 mm en een lengte van 2 m. Hij draagt een axiale trekbelasting van 50 kN. Bepaal de spanning, de rek en de verlenging.

1

Bekijk de staaf en reken eenheden om

Ø 20 mm2 mP = 50 kN

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm en E = 200 GPa = 200 000 MPa.

2

Oppervlak

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²
3

Spanning

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

Dat is ruim onder de sterkte van gewoon staal (ongeveer 250 MPa), dus de wet van Hooke is van toepassing.

4

Rek

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε
5

Verlenging

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm
6

Controleer het antwoord

Gebruik de gecombineerde formule als tweede route:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

Een stalen staaf van 2 m die ongeveer 1,6 mm uitrekt is realistisch: rekken in staal blijven ruim onder 0,2 %.

Antwoord

σ = 159,2 MPa, ε = 796 µε en δ = 1,59 mm.

5Staven met meer dan één segment

Een getrapte staaf bestaat uit segmenten met verschillende diameters, en soms verschillende materialen.

A1​L1​A2​L2​P

Snijd de staaf ergens door en kijk naar het deel rechts van de snede. Alleen P trekt eraan, dus elk segment draagt dezelfde kracht P.

De oppervlakten verschillen, dus de spanningen verschillen. Het dunste segment heeft de grootste spanning.

Elk segment rekt op zichzelf uit, met zijn eigen A, L en E. De totale verlenging is de som:

δ = P·L1 / (A1·E1) + P·L2 / (A2·E2)
Zelftoets Een getrapte staaf draagt 20 kN. Segment 1 heeft A = 400 mm², segment 2 heeft A = 100 mm². Wat is de grootste spanning in de staaf?
  1. 200 MPa
  2. 250 MPa
  3. 40 MPa
  4. 50 MPa

Antwoord: 200 MPa. Beide segmenten dragen 20 kN. Het dunne segment heeft 20 000/100 = 200 MPa. 50 MPa is het dikke segment, 40 MPa telt ten onrechte de oppervlakten op, en 250 MPa telt ten onrechte de twee spanningen op.

6Veelgemaakte fouten

  • Vergeten kN om te rekenen naar N, waardoor de spanning 1000 keer te klein wordt.
  • E in GPa gebruiken naast een spanning in MPa. Schrijf E in MPa (GPa × 1000).
  • π·d² of π·d gebruiken in plaats van π·d²/4 voor de oppervlakte van een cirkel.
  • L in meters laten staan terwijl δ in millimeters moet uitkomen.
  • P verdelen over de segmenten van een getrapte staaf. Elk segment draagt de volledige P.
Zelftoets Een staaf met A = 30 mm² draagt P = 6 kN. Wat is de spanning?
  1. 0,2 MPa
  2. 180 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

Antwoord: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0,2 MPa gebruikt 6 in plaats van 6000 N; 5 MPa deelt de oppervlakte door de kracht; 180 vermenigvuldigt ze.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: normaalspanning. Een ronde staaf met diameter d draagt P; bepaal σ = P/A.
  • Gemiddeld: rek en verlenging. Je krijgt ook L en de E van het materiaal; bepaal ε (in µε) of δ (in mm).
  • Moeilijk: een getrapte staaf met twee segmenten, mogelijk van verschillende materialen. Bepaal de totale verlenging of de grootste spanning.

Schrijf de eenheden bij elk getal. Bijna alle foute antwoorden in dit onderwerp zijn een factor 1000 af.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 50 mm, E = 120 GPa). Beide zijn 500 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 300 kN op druk belast. Bepaal de drukspanning σr in de staaf.

P = 300 kNstaaf: Ø30 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Gevraagd: σr (MPa)

Hints tonen
  1. Stijve platen: staaf en buis worden evenveel korter, dus ε is in beide gelijk.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Gemeenschappelijke rek

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Spanning in de staaf

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Antwoord

σr = 70,74 MPa
Voorbeeld 2Gemiddeld
Ø 20 mmMessing2,5 mP = 10 kN

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

Gevraagd: ε (µε)

Hints tonen
  1. Koppel drie relaties: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
  2. Reken E om naar MPa (GPa × 1000) zodat die past bij de spanning in MPa, en L naar mm.
  3. σ = 31,83 MPa.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Antwoord

ε = 318,3 µε
Voorbeeld 3Moeilijk
40 kN12300 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ2 in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

Gevraagd: σ2 (MPa)

Hints tonen
  1. De verbinding verplaatst evenveel voor beide segmenten: het ene rekt uit, het andere wordt korter.
  2. k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
  3. k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Aandeel van segment 2

F2 = 40000·98960/570199 = 6942 N

Spanning

σ2 = 6942/706,9 = 9,821 MPa (druk)

Antwoord

σ2 = 9,821 MPa

Vragen en antwoorden

Axiale spanning en rek: wat is het?

Trek aan een stalen staaf en hij biedt weerstand. Of hij breekt, hangt niet alleen van de kracht af, maar van hoeveel materiaal die kracht deelt.

Een dunne draad en een dikke kabel kunnen dezelfde belasting dragen. De dunne draad bezwijkt veel eerder, omdat elke vierkante millimeter ervan meer draagt.

Axiale spanning en rek: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Axiale spanning en rek: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • De twee materialen delen de spanning niet gelijk: ze delen de rek. Het stijvere materiaal wordt zwaarder belast.
  • De buis draagt een deel van de belasting.
  • Dat is de spanning in de buis.
Axiale spanning en rek: wat oefen je?
  • Makkelijk: normaalspanning
  • Gemiddeld: rek en verlenging
  • Moeilijk: getrapte staaf

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Daarna verder met

Cirkel van Mohr en spanningstransformatieTorsie van assen

Calculators

Calculator voor normaalspanning en rekThermische uitzetting berekenen

Vakken met dit onderwerp

SterkteleerMachineontwerpOefenen voor het FE Mechanical-examen

Meer onderwerpen in Werktuigbouwkunde

Oplegreacties van balkenRaamwerken en machinesTorsie van assenCirkel van Mohr en spanningstransformatieKogelbaanArbeid en energieRotatie van een star lichaamMechanische trillingenWarmtemotoren en koelmachinesGaskringprocessenContinuïteit en BernoulliLeidingwrijving en drukhoogteverliesPompen en pompvermogenWarmtegeleidingTandwielen en tandwieloverbrengingen

Printbaar werkblad

Werkblad Axiale spanning en rek met antwoorden
Oefen Axiale spanning en rek gratisOefen nu Axiale spanning en rekElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.