Cirkel van Mohr en spanningstransformatie: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: cirkel van Mohr · hoofdspanningen

Gratis oefenopgaven over Cirkel van Mohr en spanningstransformatie met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: hoofdspanningen, maximale schuifspanning en hoofdrichting, spanning op een schuin vlak.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
σx​ = 90σy​ = −20MPahoofdelement

In een punt van een belast onderdeel zijn de hoofdspanningen in het vlak σ₁ = 90 MPa en σ₂ = −20 MPa (trek positief). Vind de normaalspanning σavg die werkt op de vlakken met de maximale schuifspanning in het vlak.

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
Volgende opgave →
Oefen Cirkel van Mohr en spanningstransformatie gratisOefen nu Cirkel van Mohr en spanningstransformatieElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkhoofdspanningen
  2. Gemiddeldmaximale schuifspanning en hoofdrichting
  3. Moeilijkspanning op een schuin vlak

Zo los je opgaven over Cirkel van Mohr en spanningstransformatie op

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Veelgemaakte fouten

  • θ gebruiken in plaats van 2θ in de transformatieformules.
  • (σx − σy)/2 en τxy optellen in plaats van ze met Pythagoras te combineren.
  • De tekenafspraak voor de schuifspanning verkeerd nemen.

Belangrijke formules

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Leer Cirkel van Mohr en spanningstransformatie vanaf nul

Hiervoor: Axiale spanning en rek

1Waarom spanning van de richting afhangt

In de les over axiale belasting was spanning één getal: kracht gedeeld door oppervlak. Maar de spanning in een punt hangt af van de richting van de snede die je bekijkt.

Draai een stuk krijt tot het breekt. Het breekt langs een spiraal van 45°, niet recht door. In dat vlak van 45° is de trekspanning het grootst, en krijt is zwak op trek.

Om de spanning in één punt te beschrijven, tekenen ingenieurs een klein vierkantje, het spanningselement, met de spanningen op de zijvlakken:

σx​σy​τxy​xy
  • σx en σy zijn normaalspanningen, loodrecht op de vlakken. Positief betekent trek (pijlen die naar buiten wijzen), negatief betekent druk.
  • τxy is de schuifspanning, langs de vlakken. Ze probeert het vierkant in een ruit te veranderen.

Draai het vierkant, en de spanningen op de zijvlakken veranderen. Deze les laat zien hoe je ze voor elke richting vindt, en welke richtingen het gevaarlijkst zijn.

Zelftoets In een punt is σx = −40 MPa. Wat betekent dit?
  1. Een drukspanning van 40 MPa in de x-richting
  2. Een drukspanning van 40 MPa in de y-richting
  3. Een schuifspanning van 40 MPa
  4. Een trekspanning van 40 MPa in de x-richting

Antwoord: Een drukspanning van 40 MPa in de x-richting. Met de gebruikelijke tekenregel is trek positief, dus een negatieve σx is druk, werkend op de vlakken loodrecht op x.

2Cirkel van Mohr

De cirkel van Mohr is een plaatje van alle richtingen tegelijk. Elk punt op de cirkel is één mogelijke snede door het punt in het onderdeel.

Teken de normaalspanning σ naar rechts en de schuifspanning τ omhoog. Zet dan twee punten uit:

  • punt x op (σx, τxy): de spanningen op het vlak loodrecht op x,
  • punt y op (σy, −τxy): de spanningen op het vlak loodrecht op y.

De cirkel gaat door beide punten. Zijn middelpunt C ligt op de σ-as, precies halverwege. Zijn straal R volgt uit Pythagoras:

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

Waar de cirkel de σ-as snijdt, is de schuifspanning nul. Deze twee waarden zijn de hoofdspanningen, de grootste en kleinste normaalspanning in het punt. De top van de cirkel is de grootste schuifspanning in het vlak:

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Zelftoets σx = 50 MPa, σy = 10 MPa en τxy = 15 MPa. Wat is σ1?
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

Antwoord: 55 MPa. C = 30 MPa en R = √(20² + 15²) = 25 MPa, dus σ1 = 55 MPa. 65 telt 20 + 15 op in plaats van Pythagoras te gebruiken; 50 negeert de schuifspanning.

3Hoeken: verdubbelen op de cirkel

Het element over een hoek θ draaien verplaatst zijn punt op de cirkel van Mohr over 2θ, in dezelfde richting. Tegen de klok in is positief.

De richting van σ1 is de hoek θp vanaf de x-as, te vinden uit:

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

Let op het kwadrant. Als σx − σy negatief is, tel dan 180° op bij 2θp als τxy > 0, of trek 180° af als τxy < 0. Halveer het daarna.

De vlakken van maximale schuifspanning liggen 45° van de hoofdrichtingen af (90° op de cirkel).

Voor een vlak waarvan de normaal θ gedraaid is ten opzichte van de x-as, zijn de spanningen:

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Zelftoets In een punt is tan 2θp = 1 en σx − σy is positief. Wat is θp?
  1. 22,5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67,5°

Antwoord: 22,5°. 2θp = 45°, dus θp = 22,5°. 45° antwoorden vergeet de hoek van de cirkel te halveren. −67,5° is de richting van σ2, 90° verderop.

4De methode stap voor stap

  1. Noteer σx, σy en τxy met hun tekens: trek positief, druk negatief.
  2. Bepaal het middelpunt C = (σx + σy)/2.
  3. Bepaal de straal R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  4. Hoofdspanningen: σ1 = C + R en σ2 = C − R. Grootste schuifspanning in het vlak: τmax = R.
  5. Richtingen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), controleer het kwadrant en halveer dan.
  6. Voor een gegeven vlak θ: gebruik de vergelijkingen voor σθ en τθ met 2θ.

Een snelle schets van de cirkel, ook een ruwe, laat je de tekens zien en welk punt σ1 is.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een punt heeft σx = 80 MPa, σy = 20 MPa en τxy = 40 MPa. Bepaal de hoofdspanningen, τmax, de richting θp van σ1, en de normaalspanning op een vlak dat 45° tegen de klok in gedraaid is.

1

Bekijk het element

xy

Beide normaalspanningen zijn trek. De schuifspanning is positief.

2

Middelpunt en straal

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

Hoofdspanningen en maximale schuifspanning

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

Hoofdrichting

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333

σx − σy is positief, dus er is geen correctie nodig: 2θp = 53,1° en θp = 26,6° tegen de klok in vanaf x.

5

Vlak 45° gedraaid

Met θ = 45° is 2θ = 90°: cos 2θ = 0 en sin 2θ = 1.

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

Controleer het antwoord

De som σx + σy = 100 MPa is gelijk aan σ1 + σ2 = 100 MPa. Deze som is bij elke draaiing hetzelfde, dus het is een snelle controle.

Ook ligt 90 MPa tussen σ2 = 0 en σ1 = 100 MPa, zoals elke normaalspanning moet.

Antwoord

σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26,6° en σ45° = 90 MPa.

6Veelgemaakte fouten

  • (σx − σy)/2 en τxy rechtstreeks optellen. De straal combineert ze met Pythagoras.
  • θ gebruiken in plaats van 2θ in de transformatievergelijkingen, of vergeten de hoek die je van de cirkel afleest te halveren.
  • Een minteken laten vallen: een drukspanning moet als negatief getal worden ingevuld.
  • Punt y uitzetten op (σy, +τxy). Het ligt op −τxy, aan de andere kant van het middelpunt dan x.
  • Het kwadrant van 2θp missen als σx < σy.
Zelftoets σx = 60 MPa, σy = 0 en τxy = 40 MPa. Wat is de maximale schuifspanning in het vlak?
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

Antwoord: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70 telt 30 + 40 op; 30 negeert de schuifspanning; 40 is alleen τxy.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: hoofdspanningen. Bepaal bij gegeven σx, σy en τxy het getal σ1 of σ2. Varianten: zuivere schuif, of een axiaal belaste staaf die onder een hoek is doorgesneden.
  • Gemiddeld: maximale schuifspanning en hoofdrichting. Bepaal τmax = R of de hoek θp, tussen −90° en 90°.
  • Moeilijk: spanning op een hellend vlak. Gebruik de vergelijking voor σθ of τθ met 2θ. Varianten combineren axiale belasting en torsie, of gebruiken de hoofdspanningen in een bezwijkcontrole zoals von Mises of Tresca.

Schrijf eerst C en R op. Bijna elke vraag in dit onderwerp wordt met die twee getallen beantwoord.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

In een punt is σₓ = 30 MPa en σᵧ = 50 MPa, plus een zekere schuifspanning. Op een element dat over 30° gedraaid is, is de normaalspanning in de gedraaide x′-richting 87 MPa. Vind de normaalspanning σy′ in de gedraaide y′-richting.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

Gevraagd: σy′ (MPa)

Hints tonen
  1. Je hebt τₓᵧ en de transformatievergelijkingen niet nodig.
  2. De som van de normaalspanningen op twee loodrechte vlakken is voor elke oriëntatie gelijk (het middelpunt van de cirkel van Mohr verschuift niet).
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Eerste spanningsinvariant

De punten x′ en y′ liggen aan de uiteinden van een middellijn, dus hun gemiddelde is altijd het middelpunt C.

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

Antwoord

σy′ = −7 MPa
Voorbeeld 2Gemiddeld
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de hoek θp van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

Gevraagd: θp (°)

Hints tonen
  1. Teken de cirkel van Mohr: punt x bij (σₓ, τₓᵧ), punt y bij (σᵧ, −τₓᵧ), middelpunt C halverwege.
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). Let op het kwadrant.
  3. C = 10 MPa, R = 31,62 MPa.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

στxyCσ1​σ2​

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108,4°

Hoek op het element

θp = −54,22°

Antwoord

θp = −54,22°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

Voorbeeld 3Moeilijk
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2,5 MPap

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 500 mm en wanddikte 5 mm bevat gas met een overdruk van 2,5 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 60° met de as van de cilinder. Vind de grootte van de schuifspanning |τn| die langs de lasnaad werkt.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

Gevraagd: |τn| (MPa)

Hints tonen
  1. Tangentiële spanning σh = pr/t, axiale spanning σa = pr/(2t). Op de axiale en tangentiële vlakken is er geen schuifspanning.
  2. Schuifspanning langs de naad: |τn| = (σh − σa)·sin α·cos α.
  3. σh = 125 MPa, σa = 62,5 MPa.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Dunwandige cilinder: tangentiële spanning σh = pr/t en axiale spanning σa = pr/(2t); dit zijn de hoofdspanningen in de wand.

Spanningen in de wand

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62,5 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σa) en y in omtreksrichting (σh). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

|τn| = (125 − 62,5)·sin 60°·cos 60° = 27,06 MPa

Antwoord

|τn| = 27,06 MPa

Vragen en antwoorden

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie: wat is het?

In de les over axiale belasting was spanning één getal: kracht gedeeld door oppervlak. Maar de spanning in een punt hangt af van de richting van de snede die je bekijkt.

Draai een stuk krijt tot het breekt. Het breekt langs een spiraal van 45°, niet recht door. In dat vlak van 45° is de trekspanning het grootst, en krijt is zwak op trek.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Cirkel van Mohr en spanningstransformatie: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • θ gebruiken in plaats van 2θ in de transformatieformules.
  • (σx − σy)/2 en τxy optellen in plaats van ze met Pythagoras te combineren.
  • De tekenafspraak voor de schuifspanning verkeerd nemen.
Cirkel van Mohr en spanningstransformatie: wat oefen je?
  • Makkelijk: hoofdspanningen
  • Gemiddeld: maximale schuifspanning en hoofdrichting
  • Moeilijk: spanning op een schuin vlak

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Axiale spanning en rek

Calculators

Calculator voor de cirkel van Mohr

Vakken met dit onderwerp

SterkteleerMachineontwerpOefenen voor het FE Mechanical-examen

Meer onderwerpen in Werktuigbouwkunde

Oplegreacties van balkenRaamwerken en machinesAxiale spanning en rekTorsie van assenKogelbaanArbeid en energieRotatie van een star lichaamMechanische trillingenWarmtemotoren en koelmachinesGaskringprocessenContinuïteit en BernoulliLeidingwrijving en drukhoogteverliesPompen en pompvermogenWarmtegeleidingTandwielen en tandwieloverbrengingen

Printbaar werkblad

Werkblad Cirkel van Mohr en spanningstransformatie met antwoorden
Oefen Cirkel van Mohr en spanningstransformatie gratisOefen nu Cirkel van Mohr en spanningstransformatieElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.