Warmtemotoren en koelmachines: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: carnotrendement · warmtepomp · COP
Gratis oefenopgaven over Warmtemotoren en koelmachines met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: eerste hoofdwet van een cyclus, Carnotgrens, koelkasten en warmtepompen.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Een warmtepomp met een prestatiecoëfficiënt van 2,9 levert 17 kW warmte aan een huis. Vind de warmtestroom Q̇L die hij aan de buitenlucht onttrekt.
Een warmtemotor zet warmte om in arbeid. Een automotor, een stoomturbine in een centrale en een straalmotor zijn allemaal warmtemotoren.
Elke warmtemotor werkt op dezelfde manier. Hij neemt warmte QH op van iets heets, zet een deel daarvan om in arbeid W, en stort de rest QC af in iets kouds.
De hete en koude plaatsen heten reservoirs: een vlam, een ketel, de buitenlucht, een rivier. Ze zijn zo groot dat hun temperatuur niet verandert.
Een motor werkt in een kringproces: na elke omloop is hij terug in dezelfde toestand. Er kan zich dus geen energie in ophopen. Wat erin gaat, moet eruit komen:
QH = W + QC
Zelftoets Een motor neemt per cyclus 100 kJ warmte op en levert 40 kJ arbeid. Hoeveel warmte voert hij af?
140 kJ
2,5 kJ
40 kJ
60 kJ
Antwoord: 60 kJ. Energie in is gelijk aan energie uit: QC = QH − W = 100 − 40 = 60 kJ. Ze optellen (140 kJ) rekent de arbeid als invoer.
2Rendement en de grens van Carnot
Het thermisch rendement is het deel van de toegevoerde warmte dat arbeid wordt:
η = W / QH = 1 − QC / QH
Geen enkele motor kan alle warmte in arbeid omzetten. Er moet altijd wat warmte worden afgevoerd. Dit is de tweede hoofdwet van de thermodynamica.
De best mogelijke motor tussen twee temperaturen is de ideale Carnotmotor. Zijn rendement hangt alleen af van de temperaturen van de reservoirs, in kelvin:
ηmax = 1 − TC / TH
Reken altijd eerst om naar kelvin: T(K) = T(°C) + 273,15. Met °C geeft de formule onzin.
Een echte motor heeft altijd η < ηmax. Een motor die meer beweert dan de grens van Carnot is onmogelijk.
Zelftoets Wat is het hoogst mogelijke rendement van een motor die werkt tussen 327 °C en 27 °C?
100%
50%
8,3%
91,7%
Antwoord: 50%. In kelvin: 600,15 K en 300,15 K, dus ηmax = 1 − 300,15/600,15 = 50%. De °C-waarden in de formule invullen geeft 1 − 27/327 = 91,7%, en dat is fout.
3Koelmachines en warmtepompen
Een koelmachine laat een motor achteruit lopen. Er gaat arbeid W in, en warmte wordt van de koude naar de warme kant gepompt.
Een warmtepomp is dezelfde machine, maar gebruikt om te verwarmen: hij haalt warmte uit de koude buitenlucht en levert die aan een warm huis. De energiebalans is nog steeds QH = W + QC.
In plaats van een rendement gebruiken we de prestatiecoëfficiënt (COP): wat je wilt hebben, gedeeld door de arbeid waarvoor je betaalt. Hij is meestal groter dan 1.
COPR = QC / W COPHP = QH / W = COPR + 1
De grenzen van Carnot, weer met temperaturen in kelvin:
Zelftoets Een warmtepomp levert 6 kW warmte aan een huis en gebruikt daarbij 2 kW elektriciteit. Hoeveel warmte haalt hij uit de buitenlucht?
12 kW
3 kW
4 kW
8 kW
Antwoord: 4 kW. QC = QH − W = 6 − 2 = 4 kW. De COP is 6/2 = 3, dus 3 kW is de COP, geen warmtestroom.
4De methode stap voor stap
Schets het apparaat tussen zijn twee reservoirs en teken pijlen voor QH, QC en W. Bepaal of het een motor of een koelmachine / warmtepomp is.
Schrijf de energiebalans QH = W + QC op. Hij geldt voor elk apparaat, ideaal of niet. Vermogens in kW werken net zo als hoeveelheden in kJ.
Als temperaturen gegeven zijn, reken ze om naar kelvin.
Gebruik de juiste maat: η = W/QH voor een motor, COPR = QC/W voor een koelmachine, COPHP = QH/W voor een warmtepomp.
Gebruik voor het best mogelijke apparaat de formule van Carnot. De onbekende warmte of arbeid volgt dan uit de energiebalans.
“Meeste arbeid”, “hoogst mogelijk rendement”, “minimaal ingaand vermogen” en “omkeerbaar” wijzen allemaal op de grens van Carnot.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
Een warmtemotor werkt tussen een heet reservoir van 500 °C en een koud reservoir van 25 °C. Hij neemt per cyclus 3000 kJ warmte op. Bepaal de meeste arbeid die hij ooit kan leveren. Een uitvinder beweert 2000 kJ per cyclus: is dat mogelijk?
1
Teken de motor
De meeste arbeid komt van een ideale Carnotmotor tussen dezelfde twee reservoirs.
2
Reken om naar kelvin
TH = 500 + 273,15 = 773,15 K
TC = 25 + 273,15 = 298,15 K
3
Het Carnotrendement
ηmax = 1 − 298,15 / 773,15 = 1 − 0,3856 = 0,614
In het beste geval kan 61,4% van de warmte arbeid worden.
4
De meeste arbeid
Wmax = ηmax · QH = 0,6144 · 3000 = 1843 kJ
5
Controleer het antwoord
De ideale motor voert QC = 3000 · 298,15/773,15 = 1157 kJ af. Dan geldt W + QC = 1843 + 1157 = 3000 kJ, wat overeenkomt met de toegevoerde warmte.
6
Beoordeel de bewering
2000 kJ is meer dan de 1843 kJ die zelfs een perfecte motor kan leveren. De bewering schendt de tweede hoofdwet, dus ze is onmogelijk.
Antwoord
Wmax ≈ 1843 kJ per cyclus (ηmax ≈ 61,4%), dus een bewering van 2000 kJ is onmogelijk.
6Veelgemaakte fouten
Temperaturen in °C invullen in de formules van Carnot. Gebruik altijd kelvin.
De twee COP’s door elkaar halen. Een koelmachine telt QC (afgevoerde warmte), een warmtepomp telt QH (geleverde warmte).
Het Carnotrendement gebruiken voor een echte motor als de warmtehoeveelheden gegeven zijn. Dan is η = W/QH met de werkelijke getallen.
Vergeten dat de arbeid ook als warmte wordt afgegeven door een koelmachine: QH = QC + W, dus de keuken krijgt meer warmte dan de koelkast afvoert.
Een rendement als 61,4 schrijven in plaats van 0,614 in een berekening.
Zelftoets Wat is de hoogst mogelijke COP van een koelkast die zijn binnenkant op 0 °C houdt in een keuken van 27 °C?
0,91
0
10,1
11,1
Antwoord: 10,1. COPR,max = TC/(TH − TC) = 273,15/27 = 10,1. TH bovenaan zetten geeft de waarde voor een warmtepomp, 11,1, en 0 °C direct gebruiken geeft 0.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: de eerste hoofdwet voor een kringproces. Bepaal uit twee van QH, W en QC de derde of het rendement. Varianten gebruiken centrales (MW), koelmachines en warmtepompen met een gegeven COP.
Gemiddeld: de grens van Carnot. Bepaal ηmax of Wmax uit de temperaturen van de reservoirs. Andere opgaven vragen om een rendement volgens de tweede hoofdwet (η/ηmax), de temperatuur van het koude reservoir van een omkeerbare motor, of de afgevoerde warmte van een omkeerbare koelmachine.
Moeilijk: koelmachines en warmtepompen op de grens van Carnot: bepaal COPmax of het minimale ingaande vermogen. Andere opgaven schakelen twee apparaten in serie, of vragen om de geproduceerde entropie van een echte motor.
Voor het minimale ingaande vermogen: eerst COPmax uit de temperaturen, daarna Wmin = QH/COPHP,max of QC/COPR,max.
Voor de geproduceerde entropie per cyclus: Sgen = QC/TC − QH/TH, wat nul of positief moet zijn.
Een warmtepomp met een prestatiecoëfficiënt van 5 levert 4 kW warmte aan een huis. Vind de warmtestroom Q̇L die hij aan de buitenlucht onttrekt.
COPHP = 5Q̇H = 4 kW
Gevraagd: Q̇L(kW)
Hints tonen
Het nuttig effect van een warmtepomp is de geleverde warmte: COPHP = Q̇H/Ẇ.
Energiebalans over het kringproces: Q̇L = Q̇H − Ẇ.
Ẇ = 0,8 kW.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Opgenomen vermogen
Ẇ = Q̇H/COP = 4/5 = 0,8 kW
Warmte van buiten
Q̇L = Q̇H − Ẇ = 4 − 0,8 = 3,2 kW
Antwoord
Q̇L = 3,2 kW
Voorbeeld 2Gemiddeld
Een omkeerbare (Carnot)warmtemotor neemt per cyclus 3100 kJ warmte op uit een reservoir op 625 °C en staat 977 kJ af. Vind de temperatuur TL van het koude reservoir in °C.
TH = 625 °CQH = 3100 kJQL = 977 kJ
Gevraagd: TL(°C)
Hints tonen
Voor een omkeerbaar kringproces staan de warmtehoeveelheden in de verhouding van de absolute temperaturen: QL/QH = TL/TH.
Gebruik absolute temperaturen: K = °C + 273,15.
TH = 898,1 K.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Absolute temperatuur van de bron
TH = 625 + 273,15 = 898,1 K
Warmteverhouding bij een omkeerbaar proces
TL = TH·QL/QH = 898,1·977/3100 = 283,1 K = 9,912 °C
Antwoord
TL = 9,912 °C
Voorbeeld 3Moeilijk
Een warmtepomp houdt een huis op 20 °C terwijl het buiten 2 °C is, en levert 14 kW warmte aan het huis. Vind het minimaal benodigde vermogen Ẇmin.
TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 14 kW
Gevraagd: Ẇmin(kW)
Hints tonen
De COP van een warmtepomp is de geleverde warmte gedeeld door de toegevoerde arbeid: COP = QH/W. De omkeerbare grens is TH/(TH − TL).
Gebruik absolute temperaturen: K = °C + 273,15.
COP = 16,29.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Grenzen van de tweede hoofdwet: geen kringproces tussen reservoirs op absolute temperaturen TH en TL kan beter zijn dan het omkeerbare (Carnot)proces: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) en COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie blijft altijd behouden: QH = W + QL.
Een omkeerbare machine, met de hoogste COP, heeft de minste arbeid nodig.
Ẇmin = Q̇H/COP = 14/16,29 = 0,8596 kW
Antwoord
Ẇmin = 0,8596 kW
Vragen en antwoorden
Warmtemotoren en koelmachines: wat is het?
Een warmtemotor zet warmte om in arbeid. Een automotor, een stoomturbine in een centrale en een straalmotor zijn allemaal warmtemotoren.
Elke warmtemotor werkt op dezelfde manier. Hij neemt warmte QH op van iets heets, zet een deel daarvan om in arbeid W, en stort de rest QC af in iets kouds.
Warmtemotoren en koelmachines: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Warmtemotoren en koelmachines: wat zijn veelgemaakte fouten?
COP = Q<sub>H</sub>/W geeft de arbeid; de warmte van buiten is dan Q<sub>L</sub> = QH − W.
Dat is de toegevoerde arbeid. De warmte van buiten is Q<sub>L</sub> = Q<sub>H</sub> − W.
Voor een omkeerbaar kringproces geldt Q<sub>L</sub>/Q<sub>H</sub> = T<sub>L</sub>/T<sub>H</sub> alleen met absolute temperaturen. Reken eerst om naar kelvin en daarna terug naar °C.
Warmtemotoren en koelmachines: wat oefen je?
Makkelijk: eerste hoofdwet van een cyclus
Gemiddeld: Carnotgrens
Moeilijk: koelkasten en warmtepompen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.