Torsie van assen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: wringing · wringspanning
Gratis oefenopgaven over Torsie van assen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: schuifspanning, wringhoek, vermogensoverdracht.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Een massieve ronde as draagt een koppel T. Vind de maximale schuifspanning τmax in de as.
Een as is een draaiende staaf die een draaiende kracht doorgeeft: de aandrijfas van een auto, de spil van een boor, de as van een pomp.
De draaiende kracht is het koppel T. Het is een kracht maal de arm waarop ze werkt, in N·m. 200 N duwen op het uiteinde van een sleutel van 0,5 m geeft T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Een as die door een koppel wordt belast, staat op torsie. Hij draait een beetje, en zijn materiaal draagt schuifspanning τ (tau): naburige plakken van de as proberen langs elkaar te schuiven.
Twee vragen tellen bij het ontwerp: is de schuifspanning laag genoeg (sterkte), en is de draaiing klein genoeg (stijfheid)?
Zelftoets Je duwt met 200 N op het uiteinde van een sleutel van 0,5 m, loodrecht. Welk koppel oefen je uit?
100 N·m
200 N·m
400 N·m
50 N·m
Antwoord: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0,5 = 100 N·m. Delen door 0,5 geeft 400; de arm vergeten geeft 200.
2Schuifspanning en het poolmoment
Het midden van de as vervormt nauwelijks. Hoe verder een punt van het midden ligt, hoe meer het wordt afgeschoven. De schuifspanning groeit dus lineair met de straal, van nul in het midden tot het maximum aan het oppervlak.
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J
Hier is ρ (rho) de afstand tot het midden, r = d/2 de buitenstraal, en J het polair kwadratisch oppervlaktemoment. J meet hoe goed de doorsnede draaiing weerstaat:
Voor een massieve as met diameter d, en voor een holle as met buitendiameter do en binnendiameter di:
J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32
Voor een massieve as combineren de twee formules tot één korte:
τmax = 16 · T / (π · d³)
Werk in N·mm en mm, zodat de spanning in N/mm² = MPa uitkomt. 1 N·m = 1000 N·mm.
Zelftoets In een massieve as is τmax = 60 MPa. Wat is de schuifspanning halverwege het midden en het oppervlak?
0 MPa
15 MPa
30 MPa
60 MPa
Antwoord: 30 MPa. De spanning groeit lineair met ρ, dus bij ρ = r/2 is ze de helft van τmax: 30 MPa. Ze is niet overal gelijk, en alleen in het midden nul.
3Draaiingshoek en vermogen
Het vrije uiteinde van de as draait over de draaiingshoek φ (phi). Een langere of dunnere as draait meer; een stijver materiaal draait minder:
φ = T · L / (G · J)
G is de glijdingsmodulus van het materiaal: ongeveer 80 GPa voor staal en 26 GPa voor aluminium. De formule geeft φ in radialen. Vermenigvuldig met 180/π voor graden.
Assen voeren vaak vermogen van een motor over. Vermogen is koppel maal hoeksnelheid, waarbij de snelheid in rpm eerst in rad/s moet worden omgerekend:
P = T · ω ω = 2π · N / 60
Een vraag die kW en rpm geeft, begint dus met T = P/ω, met P in watt.
Zelftoets Een as draait met ω = 100 rad/s en brengt 5 kW over. Welk koppel draagt hij?
0,05 N·m
20 N·m
50 N·m
500 000 N·m
Antwoord: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m. 0,05 komt van 5 gebruiken in plaats van 5000 W; 20 deelt ω door P.
4De methode stap voor stap
Als vermogen en snelheid gegeven zijn, bepaal dan eerst het koppel: ω = 2πN/60, dan T = P/ω.
Reken om naar N en mm: T in N·mm (N·m × 1000), L in mm, G in MPa (GPa × 1000).
Bepaal J: π·d⁴/32 voor een massieve as, π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle.
Schuifspanning: τmax = T·r/J met r de buitenstraal.
Draaiing: φ = TL/(GJ) in radialen, dan × 180/π als graden gevraagd worden.
Voor een ontwerpvraag (bepaal d) stel je τmax = 16T/(πd³) gelijk aan de toelaatbare spanning en los je op voor d.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
Een massieve stalen as (G = 80 GPa) met een diameter van 40 mm en een lengte van 1 m is aan één uiteinde ingeklemd. Aan het vrije uiteinde werkt een koppel van 500 N·m. Bepaal τmax en de draaiingshoek φ in graden.
1
Bekijk de as en reken de eenheden om
T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm.
2
Polair traagheidsmoment
J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3
Maximale schuifspanning
τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39,8 MPa
De korte formule geeft hetzelfde: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39,8 MPa.
Iets minder dan anderhalve graad over een meter stalen as is een redelijke grootte.
Antwoord
τmax = 39,8 MPa en φ = 1,42°.
6Veelgemaakte fouten
De diameter gebruiken in plaats van de straal in τ = T·r/J. Dat verdubbelt de spanning.
Vergeten N·m om te rekenen naar N·mm, waardoor de spanning 1000 keer te klein wordt.
rpm direct gebruiken in P = T·ω. Reken eerst om naar rad/s met ω = 2πN/60.
φ in radialen geven als graden gevraagd worden, of andersom.
Bij een holle as: de diameters aftrekken voordat je tot de vierde macht verheft. Gebruik do⁴ − di⁴.
Zelftoets Een holle as met buitendiameter 40 mm heeft J = 200 000 mm⁴. Hij draagt T = 1000 N·m. Wat is τmax?
0,1 MPa
100 MPa
200 MPa
5 MPa
Antwoord: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa. r = 40 mm (de diameter) gebruiken geeft 200 MPa; T in N·m laten staan geeft 0,1 MPa; r vergeten geeft 5.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: schuifspanning. Een massieve as met diameter d draagt T; bepaal τmax. Varianten vragen om de spanning op een gegeven straal of het toelaatbare koppel.
Gemiddeld: draaiingshoek. Je krijgt ook L en G; bepaal φ in graden. Varianten gebruiken een holle of getrapte as.
Moeilijk: vermogensoverdracht. Vermogen in kW en snelheid in rpm zijn gegeven; bepaal het koppel, dan τmax in een holle as of de kleinste diameter voor een toelaatbare spanning.
Schrijf het koppel in N·mm naast de opgave voordat je iets anders doet. Het is het getal dat elke volgende stap gebruikt.
Een massieve as met diameter 40 mm draagt een wringend moment van 750 N·m. Vind de schuifspanning τρ op een straal van 15 mm vanaf het midden.
T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm
Gevraagd: τρ(MPa)
Hints tonen
De schuifspanning in een ronde as is evenredig met de afstand tot het midden: τ = T·ρ/J.
Gebruik overal N en mm: T in N·mm, L in mm, G in MPa (GPa × 1000), J in mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Polair traagheidsmoment
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Schuifspanning op ρ
Ter vergelijking: aan het oppervlak is τmax = 59,68 MPa.
T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44,76 MPa
Antwoord
τρ = 44,76 MPa
Voorbeeld 2Gemiddeld
Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
Gevraagd: φ(°)
Hints tonen
Gebruik φ = TL/(GJ), wat radialen geeft.
Gebruik overal N en mm: T in N·mm, L in mm, G in MPa (GPa × 1000), J in mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Polair traagheidsmoment
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Wringhoek
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°
Antwoord
φ = 6,576°
Voorbeeld 3Moeilijk
Een massieve as moet 15 kW overbrengen bij 1000 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 75 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
Gevraagd: d(mm)
Hints tonen
Koppel uit vermogen: T = P/ω met ω = 2πN/60 in rad/s.
Stel τmax = 16T/(πd³) gelijk aan de toelaatbare spanning en los op naar d.
T = 143,2 N·m.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Koppel
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Diameter uit de toelaatbare spanning
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm
Antwoord
d = 21,35 mm
In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.
Vragen en antwoorden
Torsie van assen: wat is het?
Een as is een draaiende staaf die een draaiende kracht doorgeeft: de aandrijfas van een auto, de spil van een boor, de as van een pomp.
De draaiende kracht is het koppel T. Het is een kracht maal de arm waarop ze werkt, in N·m. 200 N duwen op het uiteinde van een sleutel van 0,5 m geeft T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Torsie van assen: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.
Torsie van assen: wat zijn veelgemaakte fouten?
De diameter gebruiken in plaats van de straal in τ = T·r/J.
Vergeten rpm om te rekenen naar rad/s.
De wringhoek in radialen geven als er naar graden wordt gevraagd.
Torsie van assen: wat oefen je?
Makkelijk: schuifspanning
Gemiddeld: wringhoek
Moeilijk: vermogensoverdracht
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.