Warmtegeleiding: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: wet van Fourier · warmteweerstand · warmteoverdracht
Gratis oefenopgaven over Warmtegeleiding met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: enkele wand, samengestelde wand, wand met convectie.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Een wand van geëxpandeerd polystyreen is 10 mm dik en heeft een oppervlak van 6 m². De zijden worden op 24 °C en -11 °C gehouden. Vind de warmtestroom door geleiding Q̇ door de wand.
k = 0,035 W/(m·K)L = 10 mmA = 6 m²T1 = 24 °CT2 = -11 °C
Warmte stroomt altijd van warm naar koud. In een vaste stof gaat ze door geleiding: snel trillende deeltjes aan de warme kant geven hun energie door aan hun buren.
Op een winterdag verlaat warmte op deze manier een warme kamer door de muren. Hoeveel er weglekt, hangt af van het temperatuurverschil, het muuroppervlak, de dikte en het materiaal.
Materialen verschillen enorm. De warmtegeleidingscoëfficiëntk, in W/(m·K), geeft aan hoe makkelijk warmte erdoorheen gaat:
Beton: ongeveer 1,4 W/(m·K). Baksteen: ongeveer 0,72.
Hout: ongeveer 0,17.
Steenwol: ongeveer 0,04. Geëxpandeerd polystyreen: ongeveer 0,035.
Een lage k betekent een goede isolator. Daarom hebben huizen een laag wol of schuim in de muur.
In dit onderwerp veranderen de temperaturen niet met de tijd. Dit heet stationaire geleiding.
Zelftoets Welke muur laat de minste warmte door, als ze allemaal 100 mm dik zijn?
Baksteen (k = 0,72)
Beton (k = 1,4)
Hout (k = 0,17)
Steenwol (k = 0,04)
Antwoord: Steenwol (k = 0,04). De warmtestroom is evenredig met k. Steenwol heeft veruit de laagste geleidbaarheid, dus isoleert het het best.
2De wet van Fourier en thermische weerstand
Voor een vlakke muur met dikte L en oppervlak A, waarvan de vlakken op T1 en T2 liggen, wordt het warmtedebiet in watt gegeven door de wet van Fourier:
Q̇ = k · A · (T1 − T2) / L
De temperatuur daalt langs een rechte lijn door de muur. De warmteflux is de stroom per vierkante meter: q″ = Q̇ / A, in W/m².
Het helpt om de muur als een weerstand te zien, net als in een elektrische schakeling. Het temperatuurverschil drijft de warmte aan, en de muur biedt weerstand:
Q̇ = ΔT / R R = L / (k · A)
De thermische weerstand R is in K/W. Een dikkere muur of een lagere k geeft een hogere weerstand en minder warmteverlies. Een temperatuurverschil in °C is hetzelfde getal in K.
Zelftoets Een betonnen muur (k = 1,4 W/(m·K)) is 200 mm dik met een oppervlak van 10 m². De vlakken liggen op 20 °C en 0 °C. Hoe groot is de warmtestroom?
0,0007 W
1,4 W
140 W
1400 W
Antwoord: 1400 W. Q̇ = 1,4 · 10 · 20 / 0,2 = 1400 W. L = 200 (mm) gebruiken geeft 1,4 W, en het oppervlak vergeten geeft 140 W.
3Muren met meerdere lagen
Een echte muur heeft lagen: baksteen, isolatie, gipsplaat. Dezelfde warmte gaat achter elkaar door elke laag, dus de lagen zijn weerstanden in serie. Tel ze op:
Rtotal = R1 + R2 + … Q̇ = (Tin − Tout) / Rtotal
Elke laag neemt een deel van de totale temperatuurdaling voor zijn rekening, evenredig met zijn weerstand: ΔT1 = Q̇ · R1. De isolatielaag neemt de grootste daling.
Lucht naast een muur biedt ook weerstand tegen warmte. Deze convectieweerstand is R = 1/(h · A), waarbij h de convectiecoëfficiënt is in W/(m²·K). Tel ze in serie op zoals een laag.
De U-waarde vat een hele muur samen, inclusief de luchtlagen, als warmtestroom per m² per kelvin:
U = 1 / (Rtotal · A) Q̇ = U · A · ΔT
4De methode stap voor stap
Teken de muur met zijn lagen. Schrijf elke dikte in meters en elke k ernaast.
Bereken de weerstand van elke laag: R = L/(k·A). Voeg bij lucht aan een kant R = 1/(h·A) voor die kant toe.
Tel alle weerstanden in serie op.
Zoek de warmtestroom: Q̇ = (totale temperatuurverschil) / Rtotaal.
Begin voor een temperatuur in de muur bij een bekende temperatuur en trek voor elke laag die je oversteekt Q̇ · R af.
Een goede controle: de temperatuurdalingen over alle lagen moeten optellen tot het totale temperatuurverschil.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
Een muur bestaat uit 200 mm baksteen (k = 0,72 W/(m·K)) en 50 mm steenwol (k = 0,04 W/(m·K)), met een oppervlak van 10 m². De buitenvlakken liggen op 20 °C en 0 °C. Zoek de warmtestroom door de muur en de temperatuur op het scheidingsvlak tussen de lagen.
1
Teken de muur
Warmte stroomt van de kant van 20 °C door de baksteen, dan door de wol, naar de kant van 0 °C.
2
Weerstand van elke laag
R1 = 0,200 / (0,72 · 10) = 0,0278 K/W
R2 = 0,050 / (0,04 · 10) = 0,125 K/W
De dunne wollaag biedt veel meer weerstand dan de dikke baksteen.
3
Totale weerstand en warmtestroom
Rtotal = 0,0278 + 0,125 = 0,1528 K/W
Q̇ = (20 − 0) / 0,1528 = 130,9 W
4
Temperatuur op het grensvlak
Begin bij het warme vlak en steek de baksteen over:
Ti = 20 − Q̇ · R1 = 20 − 130,9 · 0,0278 = 16,4 °C
5
Controleer het antwoord
De daling over de wol is 130,9 · 0,125 = 16,4 K, van 16,4 °C naar 0 °C. De twee dalingen, 3,6 K + 16,4 K, tellen op tot de volledige 20 K.
Antwoord
Q̇ ≈ 131 W, en het scheidingsvlak ligt op Ti ≈ 16,4 °C.
6Veelgemaakte fouten
De dikte in mm laten staan. De k-waarden zijn per meter, dus L moet in meters zijn.
De k-waarden van twee lagen middelen of optellen. Tel in plaats daarvan de weerstanden L/(k·A) op.
Het oppervlak vergeten: R = L/(k·A) voor de hele muur, R = L/k voor één vierkante meter.
Bij het zoeken van een temperatuur op een scheidingsvlak aan de verkeerde kant beginnen. De temperatuur daalt altijd in de richting van de warmtestroom.
De luchtlagen (1/(h·A)) weglaten als de binnen- en buitenluchttemperaturen gegeven zijn.
Zelftoets Eén vierkante meter muur heeft 100 mm steenwol (k = 0,04) en 100 mm baksteen (k = 0,72). De vlakken liggen 20 K uit elkaar. Hoe groot is de warmtestroom?
152 W
38 W
7,6 W
8 W
Antwoord: 7,6 W. R = 0,1/0,04 + 0,1/0,72 = 2,5 + 0,139 = 2,64 K/W, dus Q̇ = 20/2,64 = 7,6 W. Middelen van k geeft 38 W, en de baksteen negeren geeft 8 W.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
Makkelijk: een enkele muur. Zoek de warmtestroom Q̇ of de warmteflux q″ met de wet van Fourier.
Gemiddeld: een samengestelde muur van twee lagen. Zoek de warmtestroom, of de temperatuur Ti op het scheidingsvlak tussen de lagen.
Moeilijk: een muur met convectie aan beide kanten, tussen kamerlucht en buitenlucht. Zoek de U-waarde, het warmteverlies of de temperatuur Ts van het binnenoppervlak.
Begin voor de temperatuur van het binnenoppervlak bij de kamerlucht en steek alleen de binnenste luchtlaag over: Ts = Tkamer − Q̇ / (hi · A).
Voorbeeld: de muur hierboven met h = 8 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten heeft Rtotaal = 0,0125 + 0,1528 + 0,004 = 0,1693 K/W, dus U = 1/(0,1693 · 10) = 0,59 W/(m²·K).
Een wand van hout is 150 mm dik en heeft een oppervlak van 6 m². De zijden worden op 20 °C en -9 °C gehouden. Vind de warmtestroom door geleiding Q̇ door de wand.
k = 0,17 W/(m·K)L = 150 mmA = 6 m²T1 = 20 °CT2 = -9 °C
Gevraagd: Q̇(W)
Hints tonen
Wet van Fourier voor een vlakke wand: Q̇ = k·A·ΔT/L.
Reken de dikte om naar meters zodat de eenheden van k kloppen.
ΔT = 29 K.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Wet van Fourier
ΔT = 20 − (-9) = 29 K
Q̇ = kAΔT/L = 0,17·6·29/(150/1000) = 197,2 W
Antwoord
Q̇ = 197,2 W
Voorbeeld 2Gemiddeld
Een wand bestaat uit 50 mm minerale wol en 50 mm hout, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 25 °C en 5 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = 5 °C
Gevraagd: Ti(°C)
Hints tonen
Elke laag is een warmteweerstand R = L/(kA). In serie tellen ze op.
Door beide lagen gaat dezelfde Q̇, dus Ti = T₁ − Q̇·R₁.
R1 + R2 = 0,1287 K/W.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,1287 = 155,4 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 155,4·0,1042 = 8,81 °C
Antwoord
Ti = 8,81 °C
Voorbeeld 3Moeilijk
Een wand van 100 mm minerale wol en 25 mm gipsplaat scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -7 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 8 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
Gevraagd: U(W/(m²·K))
Hints tonen
Tel vier weerstanden in serie op: convectie binnen, twee geleidende lagen, convectie buiten.
U is de warmtestroom per oppervlakte-eenheid per graad: U = 1/(A·ΣR).
ΣR = 0,358 K/W.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,358 K/W
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,358) = 0,3492 W/(m²·K)
Antwoord
U = 0,3492 W/(m²·K)
Vragen en antwoorden
Warmtegeleiding: wat is het?
Warmte stroomt altijd van warm naar koud. In een vaste stof gaat ze door geleiding: snel trillende deeltjes aan de warme kant geven hun energie door aan hun buren.
Op een winterdag verlaat warmte op deze manier een warme kamer door de muren. Hoeveel er weglekt, hangt af van het temperatuurverschil, het muuroppervlak, de dikte en het materiaal.
Warmtegeleiding: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Warmtegeleiding: wat oefen je?
Makkelijk: enkele wand
Gemiddeld: samengestelde wand
Moeilijk: wand met convectie
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.