Dwarskracht en buigend moment: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Q: Dwarskracht en buigend moment: wat oefen je?

Makkelijk: puntlast Gemiddeld: verdeelde belasting over de hele overspanning Moeilijk: puntlast + verdeelde belasting Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Ook wel: D-lijn · M-lijn · momentenlijn · dwarskrachtenlijn

Gratis oefenopgaven over Dwarskracht en buigend moment met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: puntlast, verdeelde belasting over de hele overspanning, puntlast + verdeelde belasting.

Gratis oefenopgaveMakkelijk

De vrij opgelegde balk draagt één puntlast P. Vind de dwarskracht V_x net rechts van de last. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 60 kN op 2,5 m

Volgende opgave →

Oefen Dwarskracht en buigend moment gratis Oefen nu Dwarskracht en buigend momentElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

Makkelijkpuntlast
Gemiddeldverdeelde belasting over de hele overspanning
Moeilijkpuntlast + verdeelde belasting

Zo los je opgaven over Dwarskracht en buigend moment op

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Veelgemaakte fouten

Belastingen van beide kanten van de snede meenemen.
De verkeerde tekenafspraak gebruiken voor doorbuigende (sagging) en opbuigende (hogging) momenten.
Antwoorden met de dwarskracht als naar het buigend moment wordt gevraagd.

Belangrijke formules

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Leer Dwarskracht en buigend moment vanaf nul

Hiervoor: Oplegreacties van balken

1Wat er in een balk gebeurt

In de les over reacties heb je de krachten op een balk van buitenaf gevonden. Kijk nu naar binnen: wat moet het materiaal in één punt van de balk dragen?

Stel je voor dat je de balk op een bepaalde plek in tweeën zaagt. Elke helft zou vallen. Om hem op zijn plaats te houden, moet de andere helft hem vasthouden met twee inwendige krachtswerkingen:

de dwarskracht V, die voorkomt dat de ene kant omhoog of omlaag langs de andere schuift (in kN);
het buigend moment M, dat voorkomt dat de ene kant ten opzichte van de andere draait (in kN·m).

Een balk die doorbuigt als een lach, met een uitgerekte onderkant, is doorbuigend (sagging). Een balk die buigt als een frons, zoals een balkon, is opbuigend (hogging).

Ingenieurs hebben M nodig omdat de buigspanning in de balk ermee toeneemt, en V omdat de balk bij de oplegging niet mag afschuiven.

Zelftoets Een vrij opgelegde balk draagt een belasting naar beneden. Welke kant van de balk wordt uitgerekt?

Beide kanten evenveel
De bovenkant: de balk buigt op
De onderkant: de balk buigt door
Geen van beide, de balk wordt alleen korter

Antwoord: De onderkant: de balk buigt door. Een balk op twee steunpunten buigt onder een neerwaartse belasting door als een lach. De onderste vezels worden langer (trek), de bovenste korter (druk).

2De snedemethode

Om V en M op een afstand x van A te vinden, snijd je de balk daar door en houd je alleen het deel links van de snede. Dat deel is op zichzelf in evenwicht.

De gebruikelijke tekenregels: een opwaartse kracht op het linkerdeel telt als positieve dwarskracht, en een doorbuigend moment is positief. Dit geeft twee korte recepten:

Dwarskracht: V = R_A min alle neerwaartse belastingen links van de snede.
Buigend moment: M = R_A·x min, voor elke belasting links van de snede, de belasting maal haar afstand tot de snede.

Een deel van een gelijkmatig verdeelde belasting links van de snede werkt als één kracht w·ℓ in het midden ervan, net als in de les over reacties.

Je mag ook het rechterdeel houden. Je krijgt dezelfde V en M, wat een handige controle is.

Zelftoets R_A = 10 kN. De eerste belasting ligt 5 m van A. Hoe groot is het buigend moment bij x = 3 m?

10 kN·m
13 kN·m
3,3 kN·m
30 kN·m

Antwoord: 30 kN·m. Links van de snede ligt geen belasting, dus M = R_A·x = 10·3 = 30 kN·m. 10 kN is daar de dwarskracht, niet het moment.

3Diagrammen en het maximale moment

Als je V en M bij elke x berekent, krijg je het dwarskrachtendiagram en het momentendiagram. Hun vormen volgen eenvoudige regels:

Tussen puntlasten is V constant en is M een rechte lijn.
Onder een gelijkmatig verdeelde belasting loopt V in een rechte lijn schuin af en is M een kromme (een parabool).
Een puntlast laat V springen met de grootte van de last.
M is het grootst waar V van teken wisselt en door nul gaat.

Twee resultaten komen zo vaak voor dat ze het waard zijn om te kennen:

Puntlast P in het midden van de overspanning: M_max = P·L / 4
Gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning: M_max = w·L² / 8

Zelftoets Een vrij opgelegde balk van 6 m draagt over de hele overspanning een gelijkmatig verdeelde belasting van 4 kN/m. Hoe groot is het grootste buigend moment?

12 kN·m
144 kN·m
18 kN·m
36 kN·m

Antwoord: 18 kN·m. M_max = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m in het midden van de overspanning. 36 gebruikt /4 (de regel voor een puntlast); 12 kN is de reactiekracht wL/2.

4De methode stap voor stap

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door op de doorsnede x en houd het linkerdeel.
Dwarskracht: V = R_A min alle neerwaartse belastingen op het linkerdeel.
Buigend moment: M = R_A·x min elke belasting op het linkerdeel maal haar afstand tot de snede.
Voor het maximale moment: zoek waar V = 0 en bereken daar M.

Teken het linkerdeel als een klein apart schetsje. Dan is het meteen duidelijk welke belastingen je moet meenemen.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een vrij opgelegde balk met een overspanning van 6 m draagt over de hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 4 kN/m. Zoek de dwarskracht V en het buigend moment M op x = 2 m vanaf A.

Bekijk de balk

Oplegreacties

De totale belasting is 4 · 6 = 24 kN, in het midden. Door symmetrie draagt elke oplegging de helft:

R_A = R_B = 12 kN

Houd het linkerdeel

De gelijkmatig verdeelde belasting op het linkerdeel is 4 · 2 = 8 kN. Ze werkt in haar eigen midden, 1 m van de snede.

Dwarskracht

V = 12 − 8 = 4 kN

Buigend moment

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

Het is positief, dus de balk buigt hier door.

Controleer het antwoord

Gebruik in plaats daarvan het rechterdeel: dat is 4 m lang, met R_B = 12 kN en een gelijkmatig verdeelde belasting van 16 kN op 2 m van de snede.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

Het volledige diagram is een parabool met zijn top wL²/8 = 18 kN·m in het midden van de overspanning. 16 kN·m bij x = 2 m past daarbij.

Antwoord

V = 4 kN en M = 16 kN·m (doorbuigend).

6Veelgemaakte fouten

Belastingen van beide kanten van de snede meenemen. Gebruik alleen het deel dat je hebt gehouden.
De hefboomsarm meten vanaf A in plaats van vanaf de snede. In M is elke afstand die van de belasting tot de snede.
Antwoorden met V als M gevraagd wordt, of andersom. Controleer de eenheid: kN of kN·m.
De hele gelijkmatig verdeelde belasting nemen in plaats van alleen het deel links van de snede.
Tekenregels door elkaar halen. Met de gebruikelijke regels heeft een vrij opgelegde balk onder neerwaartse belastingen overal positieve (doorbuigende) momenten.

Zelftoets Een vrij opgelegde balk van 4 m draagt 20 kN in het midden, dus R_A = 10 kN. Hoe groot is M op x = 1 m?

0 kN·m
10 kN
10 kN·m
20 kN·m

Antwoord: 10 kN·m. Alleen R_A ligt links van de snede: M = 10·1 = 10 kN·m. 0 trekt ten onrechte de belasting af, die rechts van de snede ligt. 20 kN·m is PL/4, het maximum in het midden. 10 kN is de dwarskracht.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

Makkelijk: één puntlast. Zoek M bij de last, of V net ernaast. Varianten gebruiken een uitkragende balk, waar M het grootst is bij de inklemming.
Gemiddeld: een gelijkmatig verdeelde belasting over de hele overspanning, zoals in het voorbeeld. Zoek V of M bij een gegeven x, of het maximale moment.
Moeilijk: een puntlast en een gelijkmatig verdeelde belasting samen, of een gedeeltelijke gelijkmatig verdeelde belasting. Zoek M in een doorsnede of het maximale moment waar V = 0.

Sommige varianten gebruiken een balk die over een oplegging uitsteekt. Het overstek buigt op, dus M is daar negatief.

Begin altijd met de reacties en schrijf ze op je schets.

Leer het stap voor stap in de app Leer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

40 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

Hints tonen

Pieken van het buigend moment liggen waar de dwarskracht van teken wisselt, bij een ingeklemde wand, of boven een oplegging naast een overstek.
Bepaal eerst de oplegreacties: R₁ = 33,33 kN.
Vergelijk de momenten bij de kandidaatmarkeringen; de grootste waarde is 66,67 kN·m.

Toon het antwoord en de uitleg

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 6,667 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 66,67 kN·m, M_C = 53,33, M_D = 40, M_E = 26,67, M_F = 13,33, M_G = 0

Antwoord

Markering B: M_B = 66,67 kN·m

Voorbeeld 2Gemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 0,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mw = 5 kN/m van 0 tot 6 mx = 0,5 m

Gevraagd: M_x (kN·m)

Hints tonen

Vind eerst de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk dan door bij x = 0,5 m en kijk alleen naar het deel links van de snede. Tel de momenten van die krachten om de snede op.
R_A = 15 kN.

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Snijd bij x = 0,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Antwoord

M_x = 6,875 kN·m

Voorbeeld 3Moeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP = 45 kN op 1,5 mw = 6 kN/m van 0 tot 6 mx = 5 m

Gevraagd: M_x (kN·m)

Hints tonen

Vind eerst de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk dan door bij x = 5 m en kijk alleen naar het deel links van de snede. Tel de momenten van die krachten om de snede op.
R_A = 51,75 kN.

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1,5 + 6·6·3

R_B = 175,5/6 = 29,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 81 − 29,25 = 51,75 kN

Snijd bij x = 5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 51,75·5 − 45·(5 − 1,5) − 6·5·2,5 = 26,25 kN·m

Antwoord

M_x = 26,25 kN·m

Vragen en antwoorden

Dwarskracht en buigend moment: wat is het?

In de les over reacties heb je de krachten op een balk van buitenaf gevonden. Kijk nu naar binnen: wat moet het materiaal in één punt van de balk dragen?

Stel je voor dat je de balk op een bepaalde plek in tweeën zaagt. Elke helft zou vallen. Om hem op zijn plaats te houden, moet de andere helft hem vasthouden met twee inwendige krachtswerkingen:

Dwarskracht en buigend moment: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Dwarskracht en buigend moment: wat zijn veelgemaakte fouten?

Belastingen van beide kanten van de snede meenemen.
De verkeerde tekenafspraak gebruiken voor doorbuigende (sagging) en opbuigende (hogging) momenten.
Antwoorden met de dwarskracht als naar het buigend moment wordt gevraagd.

Dwarskracht en buigend moment: wat oefen je?

Makkelijk: puntlast
Gemiddeld: verdeelde belasting over de hele overspanning
Moeilijk: puntlast + verdeelde belasting

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Oplegreacties van balken

Daarna verder met

Doorbuiging van de balk

Calculators

Rekenmachine voor dwarskracht- en momentenlijnen Buigspanning berekenen (σ = My/I)

Vakken met dit onderwerp

Statica Sterkteleer Constructieleer Oefenen voor het FE Mechanical-examen Oefenen voor het FE Civil-examen

Meer onderwerpen in Civiele techniek

Vakwerk: knopenmethode Doorbuiging van de balk Zwaartepunt en traagheidsmoment Knik van kolommen Effectieve spanning in grond Consolidatiezetting Hydrostatische kracht Stroming in open waterlopen (Manning)

Printbaar werkblad

Werkblad Dwarskracht en buigend moment met antwoorden

Oefen Dwarskracht en buigend moment gratis Oefen nu Dwarskracht en buigend momentElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.