Knik van kolommen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: knik · eulerse knikkracht · kniklengte

Gratis oefenopgaven over Knik van kolommen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: scharnierende uiteinden, andere randvoorwaarden, ontwerp en kritieke spanning.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
PL = 2,5 m40 × 80 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 80 mm
kN
Volgende opgave →
Oefen Knik van kolommen gratisOefen nu Knik van kolommenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkscharnierende uiteinden
  2. Gemiddeldandere randvoorwaarden
  3. Moeilijkontwerp en kritieke spanning

Belangrijke formules

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

Leer Knik van kolommen vanaf nul

Hiervoor: Zwaartepunt en traagheidsmoment

1Wat knik is

Druk op beide uiteinden van een plastic liniaal. Eerst lijkt er niets te gebeuren. Dan buigt hij ineens zijdelings uit. Dat is knik.

Een kolom is een element dat in de lengterichting op druk wordt belast: een gebouwkolom, een stut in een dak, een zuigerstang.

PL

Een korte, dikke kolom bezwijkt door pletten: de spanning P/A bereikt de sterkte van het materiaal. Een lange, slanke kolom knikt bij een veel lagere belasting, terwijl de spanning nog ver onder die sterkte ligt.

De belasting waarbij een slanke kolom knikt, is zijn kritieke belasting Pcr. Daarboven is de kolom instabiel en bezwijkt hij.

Zelftoets Twee stalen kolommen hebben dezelfde doorsnede. De ene is 2 m lang, de andere 4 m. Welke knikt bij de laagste belasting?
  1. Beide bij dezelfde belasting
  2. De kolom van 2 m
  3. De kolom van 4 m
  4. Geen van beide: stalen kolommen kunnen niet knikken

Antwoord: De kolom van 4 m. Een langere kolom is slanker en knikt gemakkelijker. De lengte is de belangrijkste factor bij knik.

2Formule van Euler

Leonhard Euler vond de kritieke belasting van een slanke kolom:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E is de elasticiteitsmodulus van het materiaal: 200 GPa voor staal.
  • I is het oppervlaktetraagheidsmoment van de doorsnede. Gebruik het kleinste: de kolom buigt de makkelijke kant op.
  • L is de lengte, en K is de knikfactor (factor voor de effectieve lengte), die afhangt van hoe de uiteinden zijn vastgehouden.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Een scharnierend uiteinde kan draaien; een ingeklemd uiteinde niet. De uiteinden steviger vasthouden geeft een kortere kniklengte KL en een veel hogere Pcr, omdat KL in het kwadraat staat.

Voor een ronde staaf is I = π·d⁴/64. Voor een rechthoek b × h, met b de kleinste zijde, is Imin = h·b³/12.

Zelftoets Een kolom die aan beide uiteinden scharniert heeft Pcr = 100 kN. Dezelfde kolom wordt aan de voet ingeklemd en bovenaan vrij gelaten (K = 2). Hoe groot is Pcr nu?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Antwoord: 25 kN. Pcr wordt gedeeld door K² = 4: 100/4 = 25 kN. 50 kN vergeet K te kwadrateren; 200 en 400 kN vermenigvuldigen in plaats van te delen.

3Slankheid en kritieke spanning

Pcr delen door het oppervlak geeft de kritieke spanning. Die schrijf je het mooist met de traagheidsstraal r en de slankheid λ (lambda):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Voor een massieve ronde staaf is r = d/4.

De formule van Euler geldt alleen zolang σcr onder de vloeigrens van het materiaal blijft. Voor constructiestaal betekent dat een slankheid van ruwweg λ > 100. Gedrongener kolommen bezwijken door vloeien of door een mengeling van beide, en vragen andere ontwerpregels.

Zelftoets Een rechthoekige kolomdoorsnede is 20 mm × 40 mm. Wat is het kleinste oppervlaktetraagheidsmoment?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Antwoord: 26 667 mm⁴. De zwakke as neemt de derde macht van de kleinste zijde: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 is de sterke as; 320 000 vergeet de /12; 7854 gebruikt de formule voor een cirkel.

4De methode stap voor stap

  1. Lees de randvoorwaarden af en kies K: 1, 2, 0,7 of 0,5.
  2. Zoek het kleinste I van de doorsnede, in mm⁴.
  3. Reken om naar N en mm: L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000).
  4. Effectieve lengte: KL.
  5. Kritieke belasting: Pcr = π²EI/(KL)², in N. Deel door 1000 voor kN.
  6. Controleer indien gevraagd de slankheid KL/r of de kritieke spanning Pcr/A.

Bij een ontwerpvraag met een veiligheidsfactor n moet de kolom Pcr = n·P hebben. Los de formule van Euler op voor I, en dan voor de diameter.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een massieve ronde stalen kolom (E = 200 GPa) met een diameter van 40 mm en een lengte van 2 m is aan beide uiteinden scharnierend. Bepaal zijn kritieke knikbelasting Pcr. Bepaal die daarna nog eens voor dezelfde kolom, aan de voet ingeklemd en bovenaan vrij.

1

Bekijk de kolom

PL = 2 m

Aan beide uiteinden scharnierend, dus K = 1 en KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as hetzelfde I:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Kritieke belasting

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Controleer of Euler geldt

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

Dat is ver onder de vloeigrens van staal (ongeveer 250 MPa), dus de kolom is slank en de formule van Euler is geldig.

5

Ingeklemde voet, vrije top

Nu is K = 2, dus de effectieve lengte verdubbelt naar 4000 mm en Pcr daalt met een factor 2² = 4:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Antwoord

Pcr = 62,0 kN bij scharnieren aan beide uiteinden, en 15,5 kN bij een ingeklemde voet en vrije top.

6Veelgemaakte fouten

  • De verkeerde K kiezen, of vergeten die te kwadrateren.
  • Het grotere I van een rechthoek gebruiken. Een kolom knikt altijd om zijn zwakke as.
  • Eenheden door elkaar halen: L in meters met E in N/mm². Werk overal in N en mm.
  • π·d⁴/32 (het polair traagheidsmoment J uit de torsie) gebruiken in plaats van π·d⁴/64.
  • Euler toepassen op een korte, gedrongen kolom waarvan de kritieke spanning boven de vloeigrens zou liggen.
Zelftoets Een kolom die aan beide uiteinden scharniert heeft Pcr = 40 kN. Dezelfde kolom wordt aan beide uiteinden ingeklemd (K = 0,5). Hoe groot is Pcr?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Antwoord: 160 kN. Pcr wordt gedeeld door K² = 0,25, dus hij wordt vier keer zo groot: 160 kN. 80 kN vergeet K te kwadrateren; 10 kN vermenigvuldigt met K² in plaats van te delen.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: scharnierende uiteinden. Zoek Pcr van een ronde of rechthoekige kolom van staal of aluminium.
  • Gemiddeld: andere randvoorwaarden. Dezelfde vraag met K = 2, 0,7 of 0,5.
  • Moeilijk: ontwerp en kritieke spanning. Zoek de kleinste diameter die een belasting met een veiligheidsfactor draagt, of zoek de slankheid en σcr.

Voor het ontwerpgeval met een ronde staaf: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
PL = 5 md = 50 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

Gevraagd: Pcr (kN)

Hints tonen
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Kniklengtefactor: K = 1 voor een kolom die aan beide uiteinden scharnierend is.
  3. I = 306796 mm⁴.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Antwoord

Pcr = 8,478 kN
Voorbeeld 2Gemiddeld
PL = 2,5 md = 30 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

Gevraagd: Pcr (kN)

Hints tonen
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Kniklengtefactor: K = 2 voor een kolom die onderaan ingeklemd en bovenaan vrij is.
  3. I = 39761 mm⁴.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Antwoord

Pcr = 3,139 kN
Voorbeeld 3Moeilijk
PL = 2,5 md = 25 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

Gevraagd: σcr (MPa)

Hints tonen
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², met r = √(I/A) de traagheidsstraal.
  2. Gebruik de kleinste I, omdat de kolom om zijn zwakste as knikt.
  3. r = 6,25 mm.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Antwoord

σcr = 4,318 MPa

Vragen en antwoorden

Knik van kolommen: wat is het?

Druk op beide uiteinden van een plastic liniaal. Eerst lijkt er niets te gebeuren. Dan buigt hij ineens zijdelings uit. Dat is knik.

Een kolom is een element dat in de lengterichting op druk wordt belast: een gebouwkolom, een stut in een dak, een zuigerstang.

Knik van kolommen: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Knik van kolommen: wat oefen je?
  • Makkelijk: scharnierende uiteinden
  • Gemiddeld: andere randvoorwaarden
  • Moeilijk: ontwerp en kritieke spanning

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Calculators

Calculator voor Euler-knik

Vakken met dit onderwerp

SterkteleerConstructieleerMachineontwerpOefenen voor het FE Mechanical-examenOefenen voor het FE Civil-examen

Meer onderwerpen in Civiele techniek

Dwarskracht en buigend momentVakwerk: knopenmethodeDoorbuiging van de balkZwaartepunt en traagheidsmomentEffectieve spanning in grondConsolidatiezettingHydrostatische krachtStroming in open waterlopen (Manning)

Printbaar werkblad

Werkblad Knik van kolommen met antwoorden
Oefen Knik van kolommen gratisOefen nu Knik van kolommenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.