Doorbuiging van de balk: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Q: Doorbuiging van de balk: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Q: Doorbuiging van de balk: wat oefen je?

Makkelijk: uitkraging, eindlast Gemiddeld: gelijkmatige belasting Moeilijk: superpositie en ontwerp Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Ook wel: doorbuiging · vergeet-mij-nietjes · elastische lijn

Gratis oefenopgaven over Doorbuiging van de balk met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: uitkraging, eindlast, gelijkmatige belasting, superpositie en ontwerp.

Gratis oefenopgaveMakkelijk

Een uitkragende ligger draagt een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (staal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

Volgende opgave →

Oefen Doorbuiging van de balk gratis Oefen nu Doorbuiging van de balkElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

Makkelijkuitkraging, eindlast
Gemiddeldgelijkmatige belasting
Moeilijksuperpositie en ontwerp

Belangrijke formules

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Leer Doorbuiging van de balk vanaf nul

Hiervoor: Dwarskracht en buigend moment, Zwaartepunt en traagheidsmoment

1Wat doorbuiging is

Elke balk buigt een beetje door onder belasting. De afstand die een punt van de balk omlaag beweegt, is zijn doorbuiging δ, meestal in mm.

Een balk kan sterk genoeg zijn en toch te veel doorbuigen. Vloeren voelen dan verend aan, stucwerk scheurt en deuren klemmen. Een gangbare grens voor vloeren is overspanning/360: een vloer van 3,6 m mag hooguit 10 mm doorbuigen.

Hoeveel een balk doorbuigt, hangt van vier dingen af:

de belasting: tweemaal de belasting geeft tweemaal de doorbuiging;
de overspanning: doorbuiging groeit heel snel met de lengte (L³ of L⁴);
de elasticiteitsmodulus E van het materiaal: stijver materiaal buigt minder door;
het oppervlaktetraagheidsmoment I van de doorsnede: een hogere doorsnede buigt minder door.

E en I komen altijd samen voor als product EI, de buigstijfheid van de balk.

Zelftoets Je vervangt een balk door een balk met tweemaal het oppervlaktetraagheidsmoment I. Al het andere blijft gelijk. Wat gebeurt er met de doorbuiging?

Hij halveert
Hij verdubbelt
Ze blijft gelijk
Ze wordt een kwart

Antwoord: Hij halveert. De doorbuiging is omgekeerd evenredig met EI. Als je I verdubbelt, halveert δ.

2De standaardformules

Doorbuigingen volgen uit het tweemaal integreren van het buigend moment, maar voor de gangbare gevallen is het resultaat getabelleerd. Vier gevallen dekken de meeste vragen:

Uitkragende balk, puntlast P aan het vrije uiteinde: δ = P·L³ / (3·E·I)
Uitkragende balk, gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
Vrij opgelegd, puntlast P in het midden van de overspanning: δ_max = P·L³ / (48·E·I)
Vrij opgelegd, gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning: δ_max = 5·w·L⁴ / (384·E·I)

Bij een uitkragende balk is de grootste doorbuiging aan het vrije uiteinde; bij een vrij opgelegde balk met symmetrische belastingen is ze in het midden van de overspanning.

Als een balk meerdere belastingen draagt, tellen de doorbuigingen van elke belasting op zichzelf op. Dit is superpositie.

Zelftoets Een uitkragende balk met een belasting aan het uiteinde heeft een doorbuiging van 2 mm aan de top. De uitkragende balk wordt twee keer zo lang gemaakt. Hoe groot is de nieuwe doorbuiging?

16 mm
32 mm
4 mm
8 mm

Antwoord: 16 mm. δ is evenredig met L³, dus L verdubbelen vermenigvuldigt δ met 2³ = 8: 2·8 = 16 mm. 4 mm behandelt het als lineair; 32 mm gebruikt L⁴, wat het geval van de gelijkmatig verdeelde belasting is.

3Eenheden: werk in N en mm

De formules werken alleen met consistente eenheden. De veilige keuze is newton en millimeter:

P in N: kN × 1000.
w in N/mm: 1 kN/m is precies 1 N/mm.
L in mm: m × 1000.
E in N/mm²: GPa × 1000. Staal: 200 GPa = 200 000 N/mm².
I in mm⁴: “36 × 10⁶ mm⁴” betekent 36 000 000 mm⁴.

De doorbuiging komt dan uit in mm. Omdat L tot de derde of vierde macht wordt verheven, worden de getallen groot. Een rekenmachine met machten van tien houdt ze onder controle.

Zelftoets Een balk is van staal, E = 200 GPa. Welke waarde van E gebruik je met N en mm?

0,2 N/mm²
200 000 000 N/mm²
200 000 N/mm²
200 N/mm²

Antwoord: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², dus 200 GPa = 200 000 N/mm². 200 gebruiken maakt de doorbuiging 1000 keer te groot.

4De methode stap voor stap

Bepaal het geval: uitkragend of vrij opgelegd, puntlast of gelijkmatig verdeelde belasting.
Reken P, w, L, E en I om naar N en mm.
Kies de bijpassende formule.
Bereken δ in mm.
Bij meerdere belastingen: bereken elke afzonderlijk en tel ze op.
Voor een ontwerpvraag: stel δ gelijk aan de toegestane waarde (bijvoorbeeld L/360) en los op voor I.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een stalen uitkragende balk (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) is 3 m lang en draagt een puntlast van 8 kN aan het vrije uiteinde. Bepaal de doorbuiging aan het vrije uiteinde.

Bepaal het geval

Een uitkragende balk met een puntlast aan het vrije uiteinde: δ = PL³/(3EI).

Reken om naar N en mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

Buigstijfheid

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging aan de punt

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³

δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm

Controleer het antwoord

10 mm op een uitkragende balk van 3 m is L/300. Dat is een realistische grootte voor een belaste stalen balk: noch een fractie van een millimeter, noch tientallen centimeters.

Antwoord

Het vrije uiteinde buigt δ = 10 mm door.

6Veelgemaakte fouten

Eenheden door elkaar halen: L in meters met E in N/mm² geeft onzin. Reken eerst alles om naar N en mm.
E in GPa laten staan, waardoor δ 1000 keer te groot wordt.
Het verkeerde geval gebruiken, bijvoorbeeld PL³/(48EI) voor een uitkragende balk. Controleer de opleggingen en het belastingtype.
De 5 in 5wL⁴/(384EI) vergeten.
Bij superpositie voor elke belasting een andere formule gebruiken maar een van de belastingen vergeten.

Zelftoets Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast in het midden die alleen 4 mm geeft, en een gelijkmatig verdeelde belasting die alleen 6 mm geeft. Hoe groot is de doorbuiging in het midden?

10 mm
2 mm
24 mm
6 mm

Antwoord: 10 mm. Volgens superpositie tellen de doorbuigingen van elke belasting op: 4 + 6 = 10 mm. Alleen de grootste nemen, het verschil of het product zijn allemaal fout.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

Makkelijk: uitkragende balk met een belasting aan het uiteinde. Zoek δ = PL³/(3EI). Varianten: een vrij opgelegde balk met een puntlast in het midden, de hoekverdraaiing aan het uiteinde, of de belasting die een bepaalde doorbuiging geeft.
Gemiddeld: gelijkmatige belasting. Een uitkragende balk (wL⁴/8EI) of een vrij opgelegde balk (5wL⁴/384EI). Varianten: excentrische belastingen en hoekverdraaiingen aan het uiteinde.
Moeilijk: superpositie en ontwerp. Tel de doorbuigingen van een puntlast en een gelijkmatig verdeelde belasting op, of zoek het kleinste I dat δ onder L/360 houdt.

Voor het ontwerpgeval: I_req = 5wL⁴ / (384·E·δ_toegest), met δ_toegest = L/360.

Leer het stap voor stap in de app Leer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P in het midden. Vind de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

Gevraagd: δ_max (mm)

Hints tonen

Voor een vrij opgelegde balk met een puntlast in het midden is de doorbuiging in het midden δ = PL³/(48EI).
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
EI = 2,4 × 10¹² N·mm².

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging in het midden

δ_max = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

Antwoord

δ_max = 10,56 mm

Voorbeeld 2Gemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 2 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_B aan het vrije uiteinde B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (staal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

Gevraagd: δ_B (mm)

Hints tonen

Het deel tussen A en de last gedraagt zich als een uitkragende ligger met lengte a en een eindlast: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
Voorbij de last is er geen moment, dus dat deel blijft recht: δ_B = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4,127 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

Antwoord

δ_B = 16,51 mm

Voorbeeld 3Moeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 100 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 100 mm

Gevraagd: h_req (mm)

Hints tonen

Stel de doorbuiging in het midden 5wL⁴/(384EI) gelijk aan de grens en los de benodigde I op.
Gebruik daarna I = bh³/12 voor de rechthoek en los h op.
I_req = 4,602 × 10⁷ mm⁴.

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·4,602 × 10⁷/100)^1/3 = 176,8 mm

Antwoord

h_req = 176,8 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

Vragen en antwoorden

Doorbuiging van de balk: wat is het?

Elke balk buigt een beetje door onder belasting. De afstand die een punt van de balk omlaag beweegt, is zijn doorbuiging δ, meestal in mm.

Doorbuiging van de balk: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Doorbuiging van de balk: wat zijn veelgemaakte fouten?

PL³/(3EI) hoort bij de uitkragende ligger met een eindlast. Een vrij opgelegde balk met een last in het midden buigt PL³/(48EI) door.
De coëfficiënt 5/384 hoort bij een gelijkmatige belasting (met wL⁴). Gebruik voor een puntlast in het midden 1/48.
Dat is de doorbuiging onder de last. Voorbij de last is de balk recht maar scheef, dus tel θ·(L − a) op.

Doorbuiging van de balk: wat oefen je?

Makkelijk: uitkraging, eindlast
Gemiddeld: gelijkmatige belasting
Moeilijk: superpositie en ontwerp

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Dwarskracht en buigend moment Zwaartepunt en traagheidsmoment

Calculators

Calculator voor de doorbuiging van een balk

Vakken met dit onderwerp

Sterkteleer Constructieleer Oefenen voor het FE Mechanical-examen Oefenen voor het FE Civil-examen

Meer onderwerpen in Civiele techniek

Dwarskracht en buigend moment Vakwerk: knopenmethode Zwaartepunt en traagheidsmoment Knik van kolommen Effectieve spanning in grond Consolidatiezetting Hydrostatische kracht Stroming in open waterlopen (Manning)

Printbaar werkblad

Werkblad Doorbuiging van de balk met antwoorden

Oefen Doorbuiging van de balk gratis Oefen nu Doorbuiging van de balkElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.