Vakwerk: knopenmethode: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Q: Vakwerk: knopenmethode: wat is het?

Een vakwerk is een raamwerk van rechte staven die aan hun uiteinden zijn verbonden tot driehoeken. Je ziet ze in daken, kranen, masten en veel bruggen. De staven heten staven (members) en de verbindingspunten knooppunten. In het eenvoudige model is elk knooppunt een scharnier en werken de belastingen alleen op de knooppunten.

Q: Vakwerk: knopenmethode: wat oefen je?

Makkelijk: symmetrisch Gemiddeld: asymmetrisch Moeilijk: verticale + horizontale belasting Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Ook wel: vakwerken · snedemethode van Ritter · staafkrachten

Gratis oefenopgaven over Vakwerk: knopenmethode met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: symmetrisch, asymmetrisch, verticale + horizontale belasting.

Gratis oefenopgaveMakkelijk

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 15 kN ↓D: 25 kN ↓

Volgende opgave →

Oefen Vakwerk: knopenmethode gratis Oefen nu Vakwerk: knopenmethodeElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

Makkelijksymmetrisch
Gemiddeldasymmetrisch
Moeilijkverticale + horizontale belasting

Zo los je opgaven over Vakwerk: knopenmethode op

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Veelgemaakte fouten

Beginnen bij een knoop met drie onbekenden.
De hoekcomponenten van schuine staven vergeten.
Trek en druk verwisselen.

Belangrijke formules

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Leer Vakwerk: knopenmethode vanaf nul

Hiervoor: Oplegreacties van balken

1Wat een vakwerk is

Een vakwerk is een raamwerk van rechte staven die aan hun uiteinden zijn verbonden tot driehoeken. Je ziet ze in daken, kranen, masten en veel bruggen.

De staven heten staven (members) en de verbindingspunten knooppunten. In het eenvoudige model is elk knooppunt een scharnier en werken de belastingen alleen op de knooppunten.

Dan wordt elke staaf alleen in zijn eigen lengterichting getrokken of geduwd. Hij draagt één normaalkracht:

trek: de staaf wordt getrokken en wordt langer. Dit tellen we als positief.
druk: de staaf wordt geduwd en wordt korter. Dit tellen we als negatief.

Er worden driehoeken gebruikt omdat een driehoek niet van vorm kan veranderen zonder dat een zijde van lengte verandert. Dat maakt een vakwerk stijf terwijl het weinig materiaal gebruikt.

Zelftoets Een staafkracht komt uit op −12 kN. Wat betekent dat?

De belasting wijst omhoog
De staaf draagt geen kracht
De staaf staat op druk, 12 kN
De staaf staat op trek, 12 kN

Antwoord: De staaf staat op druk, 12 kN. Met trek als positief geteld is een negatieve kracht druk: de staaf wordt geduwd en wordt korter.

2Krachten in een knooppunt

Elk knooppunt is op zichzelf in evenwicht. Dus in elk knooppunt gelden twee vergelijkingen:

ΣF_x = 0 ΣF_y = 0

Twee vergelijkingen betekent dat je in één knooppunt hooguit twee onbekende staafkrachten kunt vinden. Begin altijd bij een knooppunt waar er maar twee onbekend zijn.

Teken elke onbekende staafkracht als trek: een pijl die van het knooppunt af wijst, langs de staaf. Als het antwoord negatief is, staat de staaf op druk.

Een schuine staafkracht heeft twee componenten. Als de staaf een hoek α met de horizontaal maakt:

F_x = F · cos α F_y = F · sin α

Je hebt de hoek zelf zelden nodig. Uit de horizontale afstand a van de staaf, de hoogte h en de lengte ℓ = √(a² + h²): cos α = a/ℓ en sin α = h/ℓ.

Zelftoets Een staaf loopt 4 m horizontaal en 3 m verticaal, dus hij is 5 m lang. Hij draagt 10 kN. Wat is de verticale component?

10 kN
6 kN
7,5 kN
8 kN

Antwoord: 6 kN. sin α = 3/5 = 0,6, dus F_y = 10·0,6 = 6 kN. 8 kN is de horizontale component (cos α = 0,8).

3De methode stap voor stap

Bepaal de oplegreacties uit het hele vakwerk: ΣM_A = 0 geeft C_y, dan geeft ΣF_y = 0 de waarde A_y (en ΣF_x = 0 geeft A_x als er een horizontale belasting is).
Kies een knooppunt met hooguit twee onbekende staafkrachten, meestal een oplegknooppunt.
Teken het knooppunt met alle onbekende staafkrachten als trek (van het knooppunt af).
Schrijf ΣF_y = 0. Als maar één staaf een verticale component heeft, geeft dat direct die kracht.
Schrijf ΣF_x = 0 voor de tweede kracht.
Ga naar het volgende knooppunt en gebruik de krachten die je al kent. Een negatief resultaat betekent druk.

De snedemethode is een alternatief: snijd door de staven die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere doorgesneden staven samenkomen.

4Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Het vakwerk overspant 8 m en is 3 m hoog, met knooppunt B boven het midden van de overspanning. Een verticale belasting van 30 kN werkt op B. Bepaal de krachten in de staven AB en AC.

Bekijk het vakwerk

A is een scharnier en C is een rolopleg. Elke schuine staaf heeft een horizontale afstand van 4 m en een hoogte van 3 m, dus zijn lengte is √(4² + 3²) = 5 m.

Oplegreacties

Het vakwerk en de belasting zijn symmetrisch, dus elke oplegging draagt de helft van de belasting:

A_y = C_y = 30 / 2 = 15 kN

Knooppunt A: verticaal evenwicht

sin α = 3/5 = 0,6 en cos α = 4/5 = 0,8. Alleen AB heeft in A een verticale component.

15 + F_AB · 0,6 = 0 ⇒ F_AB = −25 kN

Negatief, dus AB staat op druk.

Knooppunt A: horizontaal evenwicht

F_AC + F_AB · 0,8 = 0 ⇒ F_AC = −(−25) · 0,8 = 20 kN

Positief, dus AC staat op trek. Hij houdt de voeten van het vakwerk bij elkaar.

Controleer het antwoord

Vanwege de symmetrie is F_BC ook −25 kN. In knooppunt B duwen de twee staven met 2 · 25 · 0,6 = 30 kN omhoog, wat de belasting van 30 kN in evenwicht houdt.

Antwoord

F_AB = −25 kN (druk) en F_AC = 20 kN (trek).

5Veelgemaakte fouten

Beginnen bij een knooppunt met drie onbekende krachten. Twee vergelijkingen kunnen drie onbekenden niet oplossen.
Sinus en cosinus verwisselen. Controleer welke zijde van de driehoek verticaal is.
Sommige onbekenden als druk en andere als trek tekenen, en dan de tekens verkeerd lezen. Teken ze allemaal als trek.
De oplegreactie in het knooppunt vergeten, of haar de verkeerde richting geven.
De horizontale belasting vergeten in de momentenvergelijking voor de reacties.

Zelftoets Bij rolopleg C is de reactie C_y = 9 kN omhoog. Staaf BC is daar de enige staaf met een verticale component, met sin γ = 0,6. Wat is F_BC?

+15 kN (trek)
−11,25 kN (druk)
−15 kN (druk)
−5,4 kN (druk)

Antwoord: −15 kN (druk). ΣF_y = 0: 9 + F_BC·0,6 = 0, dus F_BC = −15 kN. +15 kN verliest het teken; −5,4 vermenigvuldigt met sin γ in plaats van te delen; −11,25 gebruikt cos γ = 0,8.

6Hoe tentamenvragen eruitzien

Makkelijk: symmetrisch. B ligt boven het midden van de overspanning en de belasting is verticaal, zoals in het voorbeeld. De reacties zijn elk de helft van de belasting.
Gemiddeld: asymmetrisch. B ligt niet boven het midden van de overspanning, dus AB en BC hebben verschillende hoeken. Bepaal eerst C_y uit momenten om A.
Moeilijk: een verticale en een horizontale belasting op B. Het scharnier A krijgt ook een horizontale reactie. Knooppunt C blijft het makkelijkste begin, omdat de rolopleg alleen C_y geeft.

Er wordt om één staafkracht gevraagd: AB, BC of AC. Geef trek als positief en druk als negatief.

Leer het stap voor stap in de app Leer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 45 kN

Gevraagd: F_AB (kN)

Hints tonen

Vind eerst de oplegreacties uit het hele vakwerk.
In knoop A heeft alleen staaf AB een verticale component. ΣF_y = 0 geeft direct F_AB.
A_y = 22,5 kN.

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22,5/0,5547 = −40,56 kN

Antwoord

F_AB = −40,56 kN (druk)

Voorbeeld 2Gemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 45 kN

Gevraagd: F_BC (kN)

Hints tonen

Vind eerst de oplegreacties uit het hele vakwerk.
Ga naar knoop C. Daar heeft alleen BC een verticale component, dus begin met ΣF_y = 0.
C_y = 7,5 kN.

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 7,5 = 37,5 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,3714 = −20,19 kN

Antwoord

F_BC = −20,19 kN (druk)

Voorbeeld 3Moeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 3 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 60 kNhorizontale belasting = 30 kN ←

Gevraagd: F_BC (kN)

Hints tonen

Vind eerst de oplegreacties uit het hele vakwerk.
Ga naar knoop C. Daar heeft alleen BC een verticale component, dus begin met ΣF_y = 0.
C_y = −6 kN.

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·1 − 30·3 → C_y = −6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − −6 = 66 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−6/0,6 = 10 kN

Antwoord

F_BC = 10 kN (trek)

Vragen en antwoorden

Vakwerk: knopenmethode: wat is het?

Een vakwerk is een raamwerk van rechte staven die aan hun uiteinden zijn verbonden tot driehoeken. Je ziet ze in daken, kranen, masten en veel bruggen.

De staven heten staven (members) en de verbindingspunten knooppunten. In het eenvoudige model is elk knooppunt een scharnier en werken de belastingen alleen op de knooppunten.

Vakwerk: knopenmethode: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Vakwerk: knopenmethode: wat zijn veelgemaakte fouten?

Beginnen bij een knoop met drie onbekenden.
De hoekcomponenten van schuine staven vergeten.
Trek en druk verwisselen.

Vakwerk: knopenmethode: wat oefen je?

Makkelijk: symmetrisch
Gemiddeld: asymmetrisch
Moeilijk: verticale + horizontale belasting

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Oplegreacties van balken

Daarna verder met

Raamwerken en machines

Calculators

Vakwerk berekenen (knooppuntenmethode)

Vakken met dit onderwerp

Statica Constructieleer Oefenen voor het FE Civil-examen

Meer onderwerpen in Civiele techniek

Dwarskracht en buigend moment Doorbuiging van de balk Zwaartepunt en traagheidsmoment Knik van kolommen Effectieve spanning in grond Consolidatiezetting Hydrostatische kracht Stroming in open waterlopen (Manning)

Printbaar werkblad

Werkblad Vakwerk: knopenmethode met antwoorden

Oefen Vakwerk: knopenmethode gratis Oefen nu Vakwerk: knopenmethodeElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.