Zwaartepunt en traagheidsmoment: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: oppervlaktetraagheidsmoment · verschuivingsstelling van Steiner

Gratis oefenopgaven over Zwaartepunt en traagheidsmoment met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: zwaartepunt, traagheidsmoment, buigspanning.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
1002516012ȳ = ?afmetingen in mm

Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt van het T-profiel boven de onderrand.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
mm
Volgende opgave →
Oefen Zwaartepunt en traagheidsmoment gratisOefen nu Zwaartepunt en traagheidsmomentElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkzwaartepunt
  2. Gemiddeldtraagheidsmoment
  3. Moeilijkbuigspanning

Belangrijke formules

Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Leer Zwaartepunt en traagheidsmoment vanaf nul

1Waarom de vorm van een doorsnede ertoe doet

Snijd een balk recht door en kijk naar het snijvlak. Die vorm is de dwarsdoorsnede, of kortweg de doorsnede.

Neem een houten plank van 100 × 20 mm. Leg hem plat over een kloof en hij buigt flink door. Zet dezelfde plank op zijn kant en hij is veel stijver, hoewel hij precies hetzelfde oppervlak heeft.

1002020100ab

Waar het om gaat is hoe ver het materiaal zit van de as waar de balk omheen buigt. Materiaal ver van die as werkt veel harder.

Twee eigenschappen beschrijven dit. Het zwaartepunt is het geometrische middelpunt van de doorsnede: de balk buigt om een as erdoorheen. Het kwadratisch oppervlaktemoment I meet hoe ver het oppervlak van die as verspreid is.

Zelftoets Dezelfde plank wordt plat (a) en op zijn kant (b) gebruikt, gebogen om een horizontale as. Welke is stijver?
  1. Beide zijn gelijk, want het oppervlak is gelijk
  2. Het hangt alleen van het materiaal af
  3. Op zijn kant (b)
  4. Plat (a)

Antwoord: Op zijn kant (b). Op zijn kant ligt het materiaal verder van de buigas. Het oppervlak is gelijk, maar de afstand tot de as telt.

2Het zwaartepunt van een samengestelde doorsnede

Bij een rechthoek ligt het zwaartepunt in het midden. Veel balkdoorsneden, zoals een T, bestaan uit rechthoeken.

Splits de doorsnede in rechthoeken. Bepaal voor elk de oppervlakte Ai en de hoogte yi van zijn eigen zwaartepunt, gemeten vanaf één referentielijn, meestal de onderrand.

Het zwaartepunt van het geheel is het met oppervlakte gewogen gemiddelde van die hoogtes:

ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai

Een groot deel trekt het zwaartepunt naar zich toe. In een T-doorsnede met de flens boven ligt het zwaartepunt boven halve hoogte.

Zelftoets Deel 1 heeft A = 3000 mm² bij y = 20 mm. Deel 2 heeft A = 1000 mm² bij y = 100 mm. Waar ligt het zwaartepunt?
  1. ȳ = 160 mm
  2. ȳ = 40 mm
  3. ȳ = 60 mm
  4. ȳ = 80 mm

Antwoord: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm is het gewone gemiddelde van de hoogtes, dat de oppervlakten negeert. 80 mm verwisselt de oppervlakten.

3Het kwadratisch oppervlaktemoment

Voor een rechthoek met breedte b en hoogte h, gebogen om een horizontale as door zijn eigen zwaartepunt:

Ic = b · h³ / 12

De hoogte staat in de derde macht, daarom is de plank op zijn kant 25 keer stijver: 20·100³ / (100·20³) = 25.

Bij een samengestelde doorsnede ligt elk deel op een afstand d van de as door het totale zwaartepunt. De stelling van Steiner voegt een term toe voor die verschuiving:

I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )

De eenheid is mm⁴. De getallen worden groot, dus antwoorden worden vaak gegeven als “× 10⁶ mm⁴”.

Zodra je I hebt, volgt de buigspanning op een afstand y van de as door het zwaartepunt uit het buigend moment M:

σ = M · y / I
Zelftoets Een rechthoek van 100 mm breed en 20 mm hoog: wat is I om zijn eigen horizontale as door het zwaartepunt?
  1. 1 666 667 mm⁴
  2. 400 000 mm⁴
  3. 66 667 mm⁴
  4. 800 000 mm⁴

Antwoord: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667 verwisselt b en h (dat is de plank op zijn kant); 800 000 vergeet door 12 te delen.

4De methode stap voor stap

  1. Splits de doorsnede in rechthoeken en nummer ze.
  2. Voor elk deel: oppervlakte Ai en hoogte van het zwaartepunt yi, alles gemeten vanaf de onderrand.
  3. Zwaartepunt: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
  4. Voor elk deel: eigen Ic = bh³/12 en afstand di = yi − ȳ.
  5. Tel op: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
  6. Als een spanning gevraagd wordt: σ = M·y/I, met y de afstand van de as tot de rand die je nodig hebt.

Een kleine tabel met de kolommen A, y, A·y, Ic, d en A·d² houdt alles op orde.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een T-doorsnede heeft een flens van 100 × 20 mm boven op een lijf van 20 × 100 mm. Bepaal de hoogte van het zwaartepunt ȳ, het kwadratisch oppervlaktemoment Ix, en de buigspanningen aan de boven- en onderrand voor een positief (doorhangend) moment van 4 kN·m.

1

Verdeel in twee rechthoeken

100201002012

Flens (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², zwaartepunt op y1 = 100 + 10 = 110 mm.

Lijf (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², zwaartepunt op y2 = 50 mm.

2

Zwaartepunt

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

De twee oppervlakten zijn gelijk, dus ȳ ligt precies halverwege 110 en 50 mm.

3

Eigen oppervlaktemomenten

Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4

Termen van Steiner

1002010020xȳ = 80

Elk zwaartepunt ligt 30 mm van de as x: d1 = 110 − 80 = 30 mm en d2 = 50 − 80 = −30 mm.

Voor elk deel:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴
5

Totaal kwadratisch oppervlaktemoment

Ix = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5,33 × 10⁶ mm⁴
6

Buigspanningen

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. De onderrand ligt 80 mm van de as, de bovenrand 120 − 80 = 40 mm.

σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

De onderrand staat op trek en de bovenrand op druk, zoals bij elke doorhangende balk.

Antwoord

ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σbottom = 60 MPa en σtop = 30 MPa.

6Veelgemaakte fouten

  • De term A·d² vergeten. Zonder die term tel je alleen de eigen I-waarden van de delen op, en dat is veel te klein.
  • De hoogtes yi vanaf verschillende referentielijnen meten. Kies de onderrand en houd je daaraan.
  • d vanaf de onderrand gebruiken in plaats van vanaf het totale zwaartepunt.
  • b en h verwisselen in bh³/12. De afmeting loodrecht op de buigas staat in de derde macht.
  • De verkeerde randafstand gebruiken in σ = M·y/I. De rand die het verst van de as ligt, heeft de grootste spanning.
Zelftoets Een rechthoek van 100 × 20 mm (breedte × hoogte) heeft zijn zwaartepunt 50 mm van een as x. Wat is zijn bijdrage aan Ix?
  1. 0,067 × 10⁶ mm⁴
  2. 5,00 × 10⁶ mm⁴
  3. 5,07 × 10⁶ mm⁴
  4. 6,67 × 10⁶ mm⁴

Antwoord: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0,067 × 10⁶ vergeet A·d²; 5,00 × 10⁶ vergeet de eigen term; 6,67 × 10⁶ gebruikt 1 666 667 (b en h verwisseld) plus A·d².

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: zwaartepunt. Bepaal ȳ van een T-doorsnede boven zijn onderrand. Varianten: een hoekprofiel, of I van één rechthoek, cirkel (πd⁴/64) of kokerprofiel.
  • Gemiddeld: kwadratisch oppervlaktemoment. Bepaal Ix van de T-doorsnede om zijn as door het zwaartepunt. Varianten: I-profielen, U-profielen en de traagheidsstraal r = √(I/A).
  • Moeilijk: buigspanning. De T-doorsnede draagt een moment M; bepaal de spanning aan de boven- of onderrand met σ = M·y/I.

De gegeven afmetingen zijn bf en tf voor de flens, en tw en hw voor het lijf.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
260102808ȳ = ?afmetingen in mm

Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt van het T-profiel boven de onderrand.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm

Gevraagd: ȳ (mm)

Hints tonen
  1. Verdeel de T in een flens en een lijf, en vind van elk het oppervlak en de hoogte van het zwaartepunt.
  2. ȳ = ΣA·y / ΣA, met elke y gemeten vanaf de onderrand.
  3. Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
lijf: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217,9 mm

Antwoord

ȳ = 217,9 mm
Voorbeeld 2Gemiddeld
100 mm240 mm156 mmØ30xIx​ = ?

Een plaat van 100 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 30 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 156 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 156 mm

Gevraagd: Ix (× 10⁶ mm⁴)

Hints tonen
  1. Bepaal eerst het zwaartepunt: de plaat min het gat.
  2. ȳ = 118,9 mm.
  3. Dan is I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) om ȳ.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm

Volle plaat om ȳ

100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴

Trek af

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Voorbeeld 3Moeilijk
100 mm200 mm120 mm30 × 20xIx​ = ?

Een plaat van 100 mm × 200 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 30 mm breed en 20 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 120 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 200 mmuitsparing: 30 × 20 mmmiddelpunt van het gat: y = 120 mm

Gevraagd: Ix (× 10⁶ mm⁴)

Hints tonen
  1. Bepaal eerst het zwaartepunt: de plaat min het gat.
  2. ȳ = 99,38 mm.
  3. Dan is I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) om ȳ.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm

Volle plaat om ȳ

100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴

Trek af

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Vragen en antwoorden

Zwaartepunt en traagheidsmoment: wat is het?

Snijd een balk recht door en kijk naar het snijvlak. Die vorm is de dwarsdoorsnede, of kortweg de doorsnede.

Neem een houten plank van 100 × 20 mm. Leg hem plat over een kloof en hij buigt flink door. Zet dezelfde plank op zijn kant en hij is veel stijver, hoewel hij precies hetzelfde oppervlak heeft.

Zwaartepunt en traagheidsmoment: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Zwaartepunt en traagheidsmoment: wat oefen je?
  • Makkelijk: zwaartepunt
  • Gemiddeld: traagheidsmoment
  • Moeilijk: buigspanning

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Daarna verder met

Knik van kolommenDoorbuiging van de balk

Calculators

Traagheidsmoment berekenen (oppervlaktetraagheidsmoment)Zwaartepunt berekenen (samengestelde vormen en veelhoeken)

Vakken met dit onderwerp

StaticaSterkteleerOefenen voor het FE Civil-examen

Meer onderwerpen in Civiele techniek

Dwarskracht en buigend momentVakwerk: knopenmethodeDoorbuiging van de balkKnik van kolommenEffectieve spanning in grondConsolidatiezettingHydrostatische krachtStroming in open waterlopen (Manning)

Printbaar werkblad

Werkblad Zwaartepunt en traagheidsmoment met antwoorden
Oefen Zwaartepunt en traagheidsmoment gratisOefen nu Zwaartepunt en traagheidsmomentElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.