Ondas, som e óptica: exercícios com soluções passo a passo
Exercícios grátis de Ondas, som e óptica com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: velocidade da onda, nível sonoro e refração, ondas estacionárias, lentes e Doppler, interferência, redes de difração, espelhos e fibras.
Aprenda Ondas, som e óptica do zero
Antes disso: Molas e pêndulos
1O que é uma onda
Uma onda transporta energia de um lugar a outro sem transportar matéria: o meio apenas oscila. Numa corda ou na água o movimento é transversal (perpendicular à direção de propagação); o som no ar é longitudinal (ao longo dela).
O comprimento de onda λ é o comprimento de um ciclo completo, o período T é o tempo de um ciclo, e a frequência é f = 1/T. Em um período a onda avança um comprimento de onda, portanto:
v = fλ corda: v = √(T/μ), μ = m/L
O som no ar viaja a cerca de 343 m/s, a luz a c = 3,00 × 10⁸ m/s. A velocidade depende do meio, não da frequência.
Autoavaliação Um som de 686 Hz viaja a 343 m/s. Qual é o seu comprimento de onda?
- 0,002 m
- 0,5 m
- 2 m
- 235 000 m
Resposta: 0,5 m. λ = v/f = 343/686 = 0,5 m. Dividir ao contrário dá 2 m, e multiplicar dá um número enorme.
2Nível sonoro e efeito Doppler
Nossos ouvidos respondem à intensidade I (W/m²) numa escala logarítmica, por isso a sonoridade é dada em decibéis:
β = 10·log₁₀(I/I₀) I₀ = 10⁻¹² W/m²
Dez vezes a intensidade acrescenta 10 dB; duas fontes idênticas acrescentam cerca de 3 dB. Uma fonte pequena espalha sua potência sobre uma esfera, I = P/(4πr²), então dobrar a distância reduz o nível em cerca de 6 dB.
Quando a fonte e o ouvinte se aproximam, o som fica mais agudo; quando se afastam, fica mais grave (efeito Doppler):
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Use os sinais superiores para o movimento de aproximação. A velocidade do ouvinte vai no numerador, a velocidade da fonte no denominador.
3Ondas estacionárias
Ondas refletidas nas duas extremidades de uma corda interferem e formam uma onda estacionária. Uma corda fixa nas duas extremidades tem nós nas pontas e comporta meios comprimentos de onda inteiros:
L = nλ/2 fₙ = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, …
Um tubo aberto nas duas extremidades segue a mesma regra. Um tubo fechado em uma extremidade tem um nó na extremidade fechada e um ventre na aberta, então só cabem os harmônicos ímpares: fₙ = n·v/(4L) com n = 1, 3, 5, …
Autoavaliação Um tubo fechado em uma extremidade tem sua fundamental em 100 Hz. Qual destas frequências ele também pode produzir?
- 150 Hz
- 200 Hz
- 300 Hz
- 50 Hz
Resposta: 300 Hz. Um tubo fechado tem apenas harmônicos ímpares: 100, 300, 500 Hz, … 200 Hz exigiria n = 2, o que um tubo fechado não comporta.
4Refração e lentes
A luz diminui de velocidade no vidro ou na água pelo fator n = c/v (o índice de refração). Numa fronteira o raio muda de direção (lei de Snell), com os ângulos medidos a partir da normal:
n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ ângulo crítico: sin θc = n₂/n₁
Ao passar de um meio mais denso para um menos denso além de θc, toda a luz é refletida (reflexão interna total). As fibras ópticas guiam a luz dessa forma.
Lentes delgadas e espelhos curvos obedecem a uma só equação, com o aumento m = −dᵢ/d₀:
1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ
Sinais: f > 0 para uma lente convergente e um espelho côncavo (f = R/2), f < 0 para uma lente divergente e um espelho convexo. Um dᵢ positivo é uma imagem real, um dᵢ negativo uma imagem virtual; m < 0 significa que a imagem é invertida.
5Interferência e difração
A luz de duas fendas estreitas separadas por uma distância d se sobrepõe num anteparo a uma distância L. Onde a diferença de percurso d·sin θ é um número inteiro de comprimentos de onda, as ondas se somam: franjas claras.
d·sin θ = mλ yₘ = mλL/d Δy = λL/d
Uma rede de difração tem muitas fendas: N linhas por mm significa d = 1/N mm. Seus máximos são nítidos e bem afastados, e a ordem mais alta é o maior inteiro m com m ≤ d/λ. Uma fenda simples de largura a tem franjas escuras em a·sin θ = mλ, então seu máximo central tem largura 2λL/a.
6Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvidoUm objeto está a 30 cm de uma lente convergente com f = 10 cm. Encontre a distância da imagem e o aumento.
11/dᵢ = 1/f − 1/d₀ = 1/10 − 1/30 = 2/30
Logo dᵢ = 15 cm.
2dᵢ é positivo, então a imagem é real: ela se forma do outro lado da lente e pode ser projetada num anteparo.
3m = −dᵢ/d₀ = −15/30 = −0,5
A imagem é invertida e tem metade do tamanho do objeto.
4Um raio paralelo ao eixo se curva passando por F do outro lado; um raio pelo centro segue em linha reta. Eles se cruzam 15 cm atrás da lente, abaixo do eixo.
Resposta dᵢ = 15 cm e m = −0,5: uma imagem real, invertida e com metade do tamanho.
Autoavaliação Um objeto está a 5 cm de uma lente convergente com f = 10 cm. Que tipo de imagem se forma?
- Nenhuma imagem: os raios saem paralelos
- Real e direita, do mesmo lado
- Real e invertida, do outro lado
- Virtual e direita, do mesmo lado do objeto
Resposta: Virtual e direita, do mesmo lado do objeto. 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10, então dᵢ = −10 cm: uma distância da imagem negativa significa uma imagem virtual, e m = +2 significa direita e ampliada. É assim que funciona uma lupa.
7Erros comuns e questões de prova
- Medir ângulos a partir da superfície em vez da normal.
- Usar 10·log para amplitudes ou 20·log para intensidades: as intensidades usam 10·log.
- Atribuir harmônicos pares a um tubo fechado.
- Omitir o sinal de menos de uma imagem virtual ou de uma lente divergente.
- Esquecer de converter nm, mm e cm para metros em questões de interferência.
- Fácil: v = fλ, ondas em cordas, níveis sonoros, a lei de Snell e a velocidade da luz num material.
- Médio: ondas estacionárias em cordas e em tubos, o ângulo crítico, lentes delgadas, o efeito Doppler e a lei do inverso do quadrado.
- Difícil: fendas duplas, redes de difração, fendas simples, espelhos, sistemas de duas lentes, ecos de objetos em movimento e fibras ópticas.
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