Molas e pêndulos: exercícios com soluções passo a passo

1O que é uma oscilação

Puxe uma massa presa a uma mola para um lado e solte. Ela volta passando pelo meio, vai até o outro lado e volta de novo. Uma criança em um balanço e uma corda de violão fazem o mesmo.

Esse movimento repetido é uma oscilação. O ponto do meio, onde a massa ficaria em repouso, é a posição de equilíbrio.

• A amplitude A é a maior distância ao equilíbrio, em m.
• O período T é o tempo de uma oscilação completa, ida e volta, em s.
• A frequência f é o número de oscilações por segundo, em hertz (Hz).

2Movimento harmônico simples

Uma mola puxa de volta com uma força proporcional à deformação: F = −k·x. A rigidez k é dada em N/m. O sinal de menos significa que a força sempre aponta de volta ao equilíbrio.

Uma força restauradora assim produz um movimento harmônico simples (MHS). A posição segue uma curva cossenoidal no tempo:

A frequência angular ω (ômega), em rad/s, define a rapidez com que o movimento se repete. Um período corresponde a 2π rad.

A amplitude não altera o período. Uma oscilação maior percorre mais distância, mas também se move mais rápido.

3Fórmulas da mola e do pêndulo

Para uma massa em uma mola, uma massa maior oscila mais devagar e uma mola mais rígida, mais rápido:

Para um pêndulo simples de comprimento L, com pequenas oscilações, a massa não importa nada:

Se uma mola está pendurada na vertical, o peso a estica até um novo equilíbrio: k·x = m·g. Use isso para encontrar k a partir de um alongamento medido.

A velocidade é máxima no equilíbrio e nula nas extremidades. A aceleração é máxima nas extremidades, onde a força da mola é maior:

A energia total permanece a mesma: E = ½·k·A². Em uma posição x ela se divide em ½·k·x² + ½·m·v².

4O método passo a passo

1. Converta tudo para unidades do SI: gramas em kg, centímetros em m.
2. Decida de que sistema se trata: uma massa em uma mola (use k e m) ou um pêndulo (use L e g).
3. Se o período ou o número de oscilações é dado, encontre primeiro T: T = tempo / número.
4. Encontre ω a partir do sistema: ω = √(k/m) ou ω = 2π/T.
5. Use a fórmula do que é pedido: T, f, v_max = A·ω, a_max = A·ω² ou a energia ½·k·A².
6. Verifique se a resposta é razoável: um período de uma fração de segundo para uma mola rígida, alguns segundos para um pêndulo longo.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

6Erros comuns

• Usar a amplitude em cm em vez de m.
• Inverter a fração: T = 2π·√(m/k), não √(k/m). Para um pêndulo é √(L/g).
• Esquecer o 2π, ou confundir ω (rad/s) e f (Hz).
• Achar que a massa altera o período de um pêndulo, ou que a amplitude altera qualquer período.
• Confundir v_max = A·ω e a_max = A·ω².

7Como são as questões de prova

• Fácil: uma massa em uma mola. Encontre T, f ou k, às vezes a partir de uma contagem de oscilações ou de quanto a massa estica uma mola pendurada.
• Médio: o pêndulo. Encontre seu período, o comprimento para um dado período, ou g em outro planeta. Algumas questões pedem a velocidade em uma posição ou em um dado instante.
• Difícil: velocidade, aceleração e energia: v_max, a_max, a energia cinética em uma posição, ou a amplitude depois que uma bala atinge um bloco em uma mola.

Uma verificação rápida para qualquer pêndulo: um pêndulo de 1 m na Terra tem um período de cerca de 2 s.