Vibrações mecânicas: exercícios com soluções passo a passo
Exercícios grátis de Vibrações mecânicas com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: frequência natural, fator de amortecimento, molas em série e em paralelo.
Exercício gratuitoFácil
Uma máquina está apoiada sobre suportes de mola, que se comprimem 15 mm sob o seu peso. Trate-a como um sistema não amortecido com um grau de liberdade e use g = 9,81 m/s². Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Pendure uma massa em uma mola, puxe-a um pouco para baixo e solte. Ela balança para cima e para baixo em torno da sua posição de repouso. Esse movimento repetido é uma vibração.
Todo sistema assim tem seu ritmo preferido, a frequência natural. Ela depende só de quão rígida é a mola e de quão pesada é a massa, não de quanto você puxou.
Os engenheiros se importam porque uma máquina sacudida na sua frequência natural pode vibrar violentamente. Isso se chama ressonância. Suportes de motor, máquinas de lavar e pontes são todos projetados com ela em mente.
Uma mola mais rígida torna a vibração mais rápida. Uma massa mais pesada a torna mais lenta.
Autoavaliação Você troca a massa de uma mola por outra quatro vezes mais pesada. O que acontece com a frequência natural?
Dobra
Ela permanece igual
Fica pela metade
Fica quatro vezes menor
Resposta: Fica pela metade. A frequência depende de √(k/m). Quatro vezes a massa divide a raiz quadrada por √4 = 2, então a frequência cai pela metade.
2Frequência natural e combinações de molas
Para uma massa m (kg) em uma mola de rigidez k (N/m), a frequência angular natural em rad/s é:
ωn = √(k / m)
Um ciclo completo são 2π radianos. Assim, a frequência natural em hertz (ciclos por segundo) e o período (segundos por ciclo) são:
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
Às vezes você só sabe quanto a mola cede sob o peso, a deflexão estática δst = m·g/k. Então ωn = √(g / δst), com δst em metros.
Quando há várias molas, primeiro substitua-as por uma mola equivalente:
Lado a lado (em paralelo), as molas dividem a carga e as rigidezes se somam.
Ponta a ponta (em série), cada mola suporta a carga inteira, e a mola equivalente é mais macia que qualquer uma delas.
Autoavaliação Duas molas de 10 kN/m cada uma são ligadas ponta a ponta (em série). Qual é a rigidez equivalente?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Resposta: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, então k = 5 kN/m. Somá-las em 20 kN/m é a regra para molas em paralelo.
3Amortecimento
As vibrações reais se extinguem. Um amortecedor (um pistão que se move em óleo, como o amortecedor de um carro) retira energia. Sua intensidade é o coeficiente de amortecimento c em N·s/m.
O amortecimento crítico é a quantidade de amortecimento que impede a massa de oscilar por completo:
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
O fator de amortecimento compara o amortecimento real com esse valor crítico:
ζ = c / cc
ζ < 1: subamortecido. A massa ainda vibra, mas as oscilações diminuem.
ζ = 1: criticamente amortecido. Volta ao repouso o mais rápido possível sem ultrapassar.
ζ > 1: superamortecido. Volta devagar, sem vibrar.
Um sistema subamortecido vibra um pouco mais devagar que o não amortecido, na frequência natural amortecida:
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Autoavaliação Uma massa de 10 kg está sobre uma mola de 1000 N/m com um amortecedor de c = 50 N·s/m. Qual é o fator de amortecimento?
0,25
0,5
2,5
4
Resposta: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, então ζ = 50/200 = 0,25. Esquecer o fator 2 dá 0,5, e dividir ao contrário dá 4.
4O método passo a passo
Converta tudo para unidades do SI: kN/m para N/m (× 1000), mm para m, gramas para kg.
Se há várias molas, combine-as em um só k: some-as em paralelo, some seus inversos em série.
Encontre ωn = √(k/m) em rad/s.
Se a questão pede hertz, divida por 2π: fn = ωn/(2π). Para o período, tome T = 1/fn.
Com amortecimento, encontre cc = 2·√(k·m), depois ζ = c/cc e, se pedido, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Mantenha ω (rad/s) e f (Hz) separados. Eles diferem por um fator 2π ≈ 6,28, e confundi-los é a maneira mais comum de perder pontos.
5Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvido
Uma massa de 50 kg pende de uma mola com rigidez de 20 kN/m. Ignore o amortecimento. Encontre a frequência natural fn em Hz e o período de vibração.
1
Desenhe e converta
A rigidez deve estar em N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. A massa já está em kg.
2
Frequência natural angular
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
Converta para hertz
Divida por 2π para contar ciclos completos por segundo:
fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4
O período
T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s
A massa faz um pouco mais de três ciclos completos de sobe e desce por segundo.
5
Verifique a resposta
A deflexão estática é δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.
ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s
Os mesmos 20 rad/s, encontrados de outra maneira. A resposta está certa.
6
Indo além: acrescente um amortecedor
Com um amortecedor de c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, então ζ = 400/2000 = 0,2.
ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Resposta
fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), e o período é T ≈ 0,314 s.
6Erros comuns
Dar ωn em rad/s quando a questão pede fn em Hz, ou o contrário.
Deixar a rigidez em kN/m. A fórmula precisa de N/m.
Somar molas em série como se fossem em paralelo.
Esquecer o 2 em cc = 2·√(k·m).
Usar o peso m·g em vez da massa m em ωn = √(k/m).
Autoavaliação Uma massa de 4 kg pende de uma mola de 400 N/m. Qual é a sua frequência natural em Hz?
0,05 Hz
1,59 Hz
10 Hz
62,8 Hz
Resposta: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, e fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. Parar em 10 dá rad/s, não Hz; multiplicar por 2π dá 62,8; usar 0,4 (kN/m) dá 0,05 Hz.
7Como são as questões de prova
Fácil: frequência natural. Uma massa em uma mola: encontre ωn em rad/s ou fn em Hz. Algumas questões dão só a deflexão estática de uma máquina sobre seus suportes.
Médio: fator de amortecimento. Encontre ζ a partir de m, k e c, ou encontre a frequência amortecida fd a partir de um ζ dado. Outras dão dois picos de um ensaio de vibração livre.
Difícil: molas em série e em paralelo, às vezes ambas (duas molas lado a lado sustentando uma barra, com uma terceira mola abaixo). Encontre primeiro keq, depois fn.
Para dois picos x0 e xn separados por n ciclos, use o decremento logarítmico:
Uma massa de 40 kg está pendurada em uma mola com rigidez de 15 kN/m. Despreze o amortecimento. Encontre a frequência natural fn em Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Calcule fn(Hz)
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Trabalhe em unidades SI: k em N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
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Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frequência natural angular
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s
Em hertz
fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Resposta
fn = 3,082 Hz
Exemplo 2Média
Uma massa de 10 kg sobre uma mola com rigidez de 50 kN/m tem um amortecedor viscoso que dá um fator de amortecimento de 0,4. Encontre a frequência natural amortecida fd da sua vibração livre em Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
Calcule fd(Hz)
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Encontre primeiro a frequência natural não amortecida.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
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Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frequência natural não amortecida
ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Frequência natural amortecida
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz
Resposta
fd = 10,31 Hz
Exemplo 3Difícil
Uma massa de 5 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 80 kN/m e a inferior k₂ = 20 kN/m. Encontre a rigidez equivalente keq do sistema de molas em kN/m.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
Calcule keq(kN/m)
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Molas em paralelo compartilham a deflexão: as rigidezes se somam. Molas em série compartilham a força: as flexibilidades 1/k se somam.
1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
keq < 20 kN/m.
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Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Rigidez equivalente
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Pendure uma massa em uma mola, puxe-a um pouco para baixo e solte. Ela balança para cima e para baixo em torno da sua posição de repouso. Esse movimento repetido é uma vibração.
Todo sistema assim tem seu ritmo preferido, a frequência natural. Ela depende só de quão rígida é a mola e de quão pesada é a massa, não de quanto você puxou.
Vibrações mecânicas: como resolver os exercícios passo a passo?
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vibrações mecânicas: quais são os erros mais comuns?
Esse é ωn em rad/s. Divida por 2π para obter a frequência em Hz.
Converta kN/m para N/m (multiplique por 1000) antes de usar ωn = √(k/m).
Divida ωn por 2π para obter Hz; não multiplique.
Vibrações mecânicas: o que se pratica?
Fácil: frequência natural
Média: fator de amortecimento
Difícil: molas em série e em paralelo
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.