Torção de eixos: exercícios com soluções passo a passo

Q: Torção de eixos: o que é?

Um eixo é uma barra giratória que transmite um esforço de rotação: o eixo de transmissão de um carro, o fuso de uma furadeira, o eixo de uma bomba. O esforço de rotação é o torque T. É uma força vezes o braço em que atua, em N·m. Empurrar 200 N na ponta de uma chave de 0,5 m dá T = 200 · 0,5 = 100 N·m.

Q: Torção de eixos: o que se pratica?

Fácil: tensão de cisalhamento Média: ângulo de torção Difícil: transmissão de potência Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Também chamado: tensão de cisalhamento · ângulo de torção

Exercícios grátis de Torção de eixos com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: tensão de cisalhamento, ângulo de torção, transmissão de potência.

Exercício gratuitoFácil

Um eixo circular maciço suporta um torque T. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

T = 250 N·md = 20 mm

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O que você pratica

Fáciltensão de cisalhamento
Médiaângulo de torção
Difíciltransmissão de potência

Como resolver exercícios de Torção de eixos

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Erros comuns

Usar o diâmetro em vez do raio em τ = T·r/J.
Esquecer de converter rpm para rad/s.
Dar o ângulo de torção em radianos quando são pedidos graus.

Fórmulas principais

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Aprenda Torção de eixos do zero

Antes disso: Tensão e deformação axial

1O que é a torção

Um eixo é uma barra giratória que transmite um esforço de rotação: o eixo de transmissão de um carro, o fuso de uma furadeira, o eixo de uma bomba.

O esforço de rotação é o torque T. É uma força vezes o braço em que atua, em N·m. Empurrar 200 N na ponta de uma chave de 0,5 m dá T = 200 · 0,5 = 100 N·m.

Um eixo carregado por um torque está em torção. Ele gira um pouco, e seu material suporta uma tensão de cisalhamento τ (tau): fatias vizinhas do eixo tentam deslizar umas sobre as outras.

Duas perguntas importam no projeto: a tensão de cisalhamento é baixa o bastante (resistência), e a torção é pequena o bastante (rigidez)?

Autoavaliação Você empurra 200 N na ponta de uma chave de 0,5 m, em ângulo reto. Que torque você aplica?

100 N·m
200 N·m
400 N·m
50 N·m

Resposta: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0,5 = 100 N·m. Dividir por 0,5 dá 400; esquecer o braço dá 200.

2Tensão de cisalhamento e o momento polar

O centro do eixo quase não se deforma. Quanto mais longe do centro está um ponto, mais ele é cisalhado. Assim, a tensão de cisalhamento cresce linearmente com o raio, de zero no centro até o máximo na superfície.

τ = T · ρ / J τ_max = T · r / J

Aqui ρ (rô) é a distância ao centro, r = d/2 é o raio externo e J é o momento polar de inércia (segundo momento polar de área). J mede quão bem a seção transversal resiste à torção:

Para um eixo maciço de diâmetro d, e para um eixo oco com diâmetro externo d_o e diâmetro interno d_i:

J = π · d⁴ / 32 J = π · (d_o⁴ − d_i⁴) / 32

Para um eixo maciço, as duas fórmulas se combinam em uma só, curta:

τ_max = 16 · T / (π · d³)

Trabalhe em N·mm e mm, para que a tensão saia em N/mm² = MPa. 1 N·m = 1000 N·mm.

Autoavaliação Em um eixo maciço, τ_max = 60 MPa. Qual é a tensão de cisalhamento na metade do caminho entre o centro e a superfície?

0 MPa
15 MPa
30 MPa
60 MPa

Resposta: 30 MPa. A tensão cresce linearmente com ρ, então em ρ = r/2 ela é metade de τ_max: 30 MPa. Ela não é igual em todo lugar, e é zero só no centro.

3Ângulo de torção e potência

A extremidade livre do eixo gira de um ângulo de torção φ (fi). Um eixo mais longo ou mais fino gira mais; um material mais rígido gira menos:

φ = T · L / (G · J)

G é o módulo de cisalhamento do material: cerca de 80 GPa para o aço e 26 GPa para o alumínio. A fórmula dá φ em radianos. Multiplique por 180/π para graus.

Os eixos muitas vezes transmitem a potência de um motor. A potência é o torque vezes a velocidade angular, e a velocidade em rpm deve primeiro ser convertida em rad/s:

P = T · ω ω = 2π · N / 60

Assim, uma questão que dá kW e rpm começa com T = P/ω, com P em watts.

Autoavaliação Um eixo gira a ω = 100 rad/s e transmite 5 kW. Que torque ele suporta?

0,05 N·m
20 N·m
50 N·m
500 000 N·m

Resposta: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m. 0,05 vem de usar 5 em vez de 5000 W; 20 divide ω por P.

4O método passo a passo

Se a potência e a velocidade são dadas, encontre primeiro o torque: ω = 2πN/60, depois T = P/ω.
Converta para N e mm: T em N·mm (N·m × 1000), L em mm, G em MPa (GPa × 1000).
Encontre J: π·d⁴/32 para um eixo maciço, π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um oco.
Tensão de cisalhamento: τ_max = T·r/J com r o raio externo.
Torção: φ = TL/(GJ) em radianos, depois × 180/π se graus forem pedidos.

Em uma questão de projeto (encontrar d), escreva τ_max = 16T/(πd³) igual à tensão admissível e resolva para d.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Um eixo maciço de aço (G = 80 GPa) de diâmetro 40 mm e comprimento 1 m está engastado em uma extremidade. Um torque de 500 N·m atua na extremidade livre. Encontre τ_max e o ângulo de torção φ em graus.

Observe o eixo e converta as unidades

T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm.

Momento polar de inércia

J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39,8 MPa

A fórmula curta dá o mesmo: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39,8 MPa.

Ângulo de torção em radianos

φ = T·L / (G·J) = 500 000 · 1000 / (80 000 · 251 327) = 0,0249 rad

Converta para graus

φ = 0,0249 · 180 / π = 1,42°

Um pouco menos de um grau e meio em um metro de eixo de aço é um valor sensato.

Resposta

τ_max = 39,8 MPa e φ = 1,42°.

6Erros comuns

Usar o diâmetro em vez do raio em τ = T·r/J. Isso dobra a tensão.
Esquecer de converter N·m em N·mm, o que deixa a tensão 1000 vezes menor.
Usar rpm diretamente em P = T·ω. Converta antes para rad/s com ω = 2πN/60.
Dar φ em radianos quando se pedem graus, ou o contrário.
Em um eixo oco: subtrair os diâmetros antes de elevar à quarta potência. Use d_o⁴ − d_i⁴.

Autoavaliação Um eixo oco com diâmetro externo de 40 mm tem J = 200 000 mm⁴. Ele suporta T = 1000 N·m. Quanto vale τ_max?

0,1 MPa
100 MPa
200 MPa
5 MPa

Resposta: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa. Usar r = 40 mm (o diâmetro) dá 200 MPa; deixar T em N·m dá 0,1 MPa; esquecer r dá 5.

7Como são as questões de prova

Fácil: tensão de cisalhamento. Um eixo maciço de diâmetro d suporta T; encontre τ_max. Variantes pedem a tensão em um dado raio ou o torque admissível.
Médio: ângulo de torção. Você também recebe L e G; encontre φ em graus. Variantes usam um eixo oco ou escalonado.
Difícil: transmissão de potência. A potência em kW e a velocidade em rpm são dadas; encontre o torque, depois τ_max em um eixo oco ou o menor diâmetro para uma tensão admissível.

Escreva o torque em N·mm ao lado do problema antes de qualquer outra coisa. É o número que todos os passos seguintes usam.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil

Um eixo maciço de diâmetro 40 mm suporta um torque de 750 N·m. Encontre a tensão de cisalhamento τ_ρ a um raio de 15 mm do centro.

T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm

Calcule τ_ρ (MPa)

Mostrar dicas

A tensão de cisalhamento em um eixo circular é proporcional à distância ao centro: τ = T·ρ/J.
Use N e mm em tudo: T em N·mm, L em mm, G em MPa (GPa × 1000), J em mm⁴.
J = 251327 mm⁴.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Tensão de cisalhamento em ρ

Para comparação, na superfície τ_max = 59,68 MPa.

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_ρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44,76 MPa

Resposta

τ_ρ = 44,76 MPa

Exemplo 2Média

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

Calcule φ (°)

Mostrar dicas

Use φ = TL/(GJ), que dá radianos.
Use N e mm em tudo: T em N·mm, L em mm, G em MPa (GPa × 1000), J em mm⁴.
J = 251327 mm⁴.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad

φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Resposta

φ = 6,576°

Exemplo 3Difícil

Um eixo maciço deve transmitir 15 kW a 1000 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 15 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

Calcule d (mm)

Mostrar dicas

Torque a partir da potência: T = P/ω com ω = 2πN/60 em rad/s.
Iguale τ_max = 16T/(πd³) à tensão admissível e resolva para d.
T = 143,2 N·m.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm

Resposta

d = 21,35 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

Perguntas e respostas

Torção de eixos: o que é?

Um eixo é uma barra giratória que transmite um esforço de rotação: o eixo de transmissão de um carro, o fuso de uma furadeira, o eixo de uma bomba.

O esforço de rotação é o torque T. É uma força vezes o braço em que atua, em N·m. Empurrar 200 N na ponta de uma chave de 0,5 m dá T = 200 · 0,5 = 100 N·m.

Torção de eixos: como resolver os exercícios passo a passo?

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Torção de eixos: quais são os erros mais comuns?

Usar o diâmetro em vez do raio em τ = T·r/J.
Esquecer de converter rpm para rad/s.
Dar o ângulo de torção em radianos quando são pedidos graus.

Torção de eixos: o que se pratica?

Fácil: tensão de cisalhamento
Média: ângulo de torção
Difícil: transmissão de potência

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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