Pórticos e máquinas: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Pórticos e máquinas com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: membros de duas forças e máquinas simples, forças em pinos e articulações, pórticos com vários membros.

Exercício gratuitoFácil
15 kN4 m1,2 m0,8 m0,8 mABCDEK

O pórtico em A mostrado repousa sobre um pino em A e um rolete em B, a 4 m de distância. Uma carga vertical de 15 kN atua na perna AC no ponto K, a 0,8 m (na horizontal) de A. Encontre a reação vertical By no rolete.

P = 15 kNAB = 4 mdistância horizontal de A a K = 0,8 m
kN
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O que você pratica

  1. Fácilmembros de duas forças e máquinas simples
  2. Médiaforças em pinos e articulações
  3. Difícilpórticos com vários membros

Como resolver exercícios de Pórticos e máquinas

  1. Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
  2. Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
  3. Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
  4. Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Erros comuns

  • Tratar como membro de duas forças um membro com uma carga entre seus pinos.
  • Dar à força no pino o mesmo sentido nos dois membros que ele conecta.
  • Usar a força inclinada inteira como componente vertical em uma equação de momentos.
  • Informar apenas uma componente quando se pede o módulo de uma força no pino.

Fórmulas principais

Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga

Aprenda Pórticos e máquinas do zero

Antes disso: Reações de apoio em vigas, Treliça: método dos nós

1O que são pórticos e máquinas

Em uma treliça, cada membro é uma barra reta com pinos nas duas extremidades e cargas apenas nos nós, de modo que cada membro fica simplesmente tracionado ou comprimido. Um pórtico é diferente: pelo menos um membro suporta forças em três ou mais pontos, ou uma carga entre seus pinos. Esse membro também sofre flexão.

ABCDE8 kN

Neste pórtico em A, as pernas AC e BC são membros de várias forças: cada uma é carregada no apoio, no tirante e no pino C. O tirante DE é articulado nas duas extremidades e não suporta nada entre elas. Um pórtico que se move e transforma uma força de entrada em uma força de saída, como um alicate, uma alavanca ou um grampo, é chamado de máquina.

Autoavaliação Qual membro do pórtico em A é um membro de duas forças?
  1. A perna AC, porque ela suporta a carga
  2. A perna BC, porque ela se apoia em um rolete
  3. O tirante DE
  4. Todos os membros, porque cada um tem dois pinos nas extremidades

Resposta: O tirante DE. DE tem forças apenas nos seus dois pinos, então sua força atua ao longo de DE. Cada perna também recebe a força do tirante em D ou E, além do apoio e do pino C, então suporta três forças, não duas.

2Membros de duas forças e forças nos pinos

Um membro carregado apenas em dois pinos é um membro de duas forças. Suas duas forças são iguais, opostas e estão na reta que passa pelos pinos. Assim, ele traz uma incógnita, o valor dessa força, em vez de duas componentes.

Onde dois membros se encontram em um pino, o pino empurra um membro com uma força (Cx, Cy) e o outro com a força oposta (−Cx, −Cy). Desenhe-as assim, com os mesmos símbolos, nos dois diagramas de corpo livre.

Cada membro separado fornece três equações: ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0. Tome momentos em torno de um pino onde atuam forças desconhecidas, para que as duas componentes dele saiam da equação.

3O método passo a passo

  1. Desenhe o pórtico inteiro e encontre as reações de apoio, se houver no máximo três incógnitas.
  2. Marque os membros de duas forças: suas forças atuam ao longo da reta entre os pinos.
  3. Desmonte o pórtico e desenhe cada membro de várias forças separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas.
  4. Para cada membro, tome momentos em torno de um pino e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0. Combine as componentes em um módulo só no final: F = √(Fx² + Fy²).

4Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

O pórtico em A está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 3 m de distância. O pino C está a 2,4 m de altura e o tirante DE está a 0,8 m acima do solo. Uma carga de 8 kN atua em C. Encontre a tração T no tirante e a força do pino C sobre a perna BC.

1

Observe o pórtico

ABCDE8 kN3 m0,8 m1,6 m

O tirante DE é um membro de duas forças, então puxa horizontalmente as duas pernas.

2

Pórtico inteiro

A carga está no meio, então cada apoio suporta metade dela.

Ay = By = 8/2 = 4 kN, Ax = 0
3

Perna BC: momentos em torno de C

4 kNTCx​Cy​CEB

B está 1,5 m à direita de C, e o tirante está 2,4 − 0,8 = 1,6 m abaixo de C.

4·1,5 = T·1,6 ⇒ T = 3,75 kN
4

Perna BC: equilíbrio de forças

Cx = T = 3,75 kN, Cy = −4 kN
C = √(3,75² + 4²) = 5,48 kN
5

Verifique a resposta

Na perna AC a força no pino é oposta: (−3,75, +4) kN. Com Ay = 4 kN, o tirante +3,75 kN e a carga −8 kN, as duas somas de forças são nulas.

Resposta

T = 3,75 kN (tração) e C = 5,48 kN na perna BC.

5Máquinas: alicates, alavancas e articulações de joelho

Em uma máquina, desenhe uma peça e tome momentos em torno do seu pivô. A força no pino sai da equação, e as forças de entrada e de saída se equilibram:

Fin·a = Fout·b

Um alicate com a mão a 100 mm do pino e as garras a 25 mm dele multiplica a força por 100/25 = 4. O pino então suporta as duas forças: em uma das metades elas apontam no mesmo sentido, em lados opostos do pino, então se somam.

Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ. Cada barra é um membro de duas forças com força F/(2 sen θ), e a força de aperto é F/(2 tan θ). Quanto mais planas as barras, maior a força.

Autoavaliação Um alicate é apertado com 50 N a 100 mm do pino, e as garras estão a 25 mm do pino. Qual é a força de aperto?
  1. 12,5 N
  2. 200 N
  3. 250 N
  4. 50 N

Resposta: 200 N. Momentos em torno do pino: 50·100 = Q·25, então Q = 200 N. Inverter a razão dá 12,5 N, e 250 N é a força no pino, a força da mão mais o aperto.

6Erros comuns

  • Tratar como membro de duas forças um membro com uma carga entre seus pinos.
  • Desenhar a força no pino no mesmo sentido nos dois membros que ele conecta.
  • Usar a força inteira de uma escora inclinada como sua componente vertical.
  • Dar uma componente quando se pede o valor de uma força no pino.
Autoavaliação Uma escora empurra uma viga com 10 kN a 30° da viga. Qual é a componente perpendicular à viga?
  1. 10 kN
  2. 20 kN
  3. 5 kN
  4. 8,66 kN

Resposta: 5 kN. A componente perpendicular é 10·sen 30° = 5 kN. 8,66 kN é a componente ao longo da viga (cos 30°), e 10 kN é a força inteira.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: membros de duas forças e máquinas simples. Você encontra o aperto de um alicate ou a força no pino, a força na escora de um suporte de parede, a força no tirante ou uma reação de apoio de um pórtico em A, ou a força de saída de uma alavanca angular.
  • Médio: forças em pinos e articulações. Você encontra a reação no pino de um suporte ou de uma alavanca angular, a força no tirante para uma carga fora do centro, a força de um pino sobre uma perna, a força em um membro de um pórtico de três pinos ou a força de aperto de uma articulação de joelho.
  • Difícil: pórticos com vários membros. Você acrescenta uma carga uniforme a um suporte, encontra a força no cabo ou a reação no pino de uma lança com peso próprio, a força no pino para uma carga fora do centro, uma reação de apoio com carga horizontal ou a força de que uma prensa de articulação de joelho precisa.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
12 kN0,5 m1 m1,2 mABCD

Uma viga horizontal AB está articulada a uma parede em A e escorada pela escora CD, articulada à parede em C, 1,2 m abaixo de A. Uma carga de 12 kN está pendurada na extremidade livre B. Despreze os pesos. Encontre a força FCD na escora.

P = 12 kNAD = 0,5 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

Calcule FCD (kN)

Mostrar dicas
  1. CD é carregada apenas em seus dois pinos, então é um membro de duas forças: sua força atua ao longo de CD.
  2. Tome momentos em torno de A para a viga: apenas a escora e a carga têm momento.
  3. sin α = 1,2/√(0,5² + 1,2²) = 0,9231.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Membro de duas forças

A escora tem pinos nas duas extremidades e nenhuma carga entre eles.

tan α = 1,2/0,5, sin α = 0,9231

Momentos em torno de A para a viga

FCD·sin α·0,5 = 12·1,5
FCD = 18/(0,9231·0,5) = 39 kN

Resposta

FCD = 39 kN

A escora empurra a viga para cima: está em compressão.

Exemplo 2Média
8 kN0,75 m1,25 m0,75 mABCD

Uma viga horizontal AB está articulada a uma parede em A e escorada pela escora CD, articulada à parede em C, 0,75 m abaixo de A. Uma carga de 8 kN está pendurada em B. Despreze os pesos. Encontre o módulo da força A no pino sobre a viga em A.

P = 8 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 0,75 m

Calcule A (kN)

Mostrar dicas
  1. Encontre primeiro a força na escora: momentos em torno de A para a viga.
  2. FCD = 30,17 kN, sin α = 0,7071, cos α = 0,7071.
  3. Depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0 para a viga dão as componentes em A.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Força na escora

FCD = 8·2/(0,7071·0,75) = 30,17 kN

Componentes em A

Ax = FCD·cos α = 21,33 kN (em direção à parede)
Ay = 8 − FCD·sin α = −13,33 kN

Módulo

A = √(21,33² + −13,33²) = 25,16 kN

Resposta

A = 25,16 kN

Um Ay negativo significa que a parede puxa a viga para baixo em A.

Exemplo 3Difícil
8 kN1 kN2 m1 mABC

Uma lança horizontal uniforme AB de peso 1 kN está articulada a uma parede em A e sustentada por um cabo que vai da sua extremidade B ao ponto C da parede, 1 m acima de A. Uma carga de 8 kN está pendurada em B. Encontre a tração T no cabo.

W = 8 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m

Calcule T (kN)

Mostrar dicas
  1. O cabo puxa ao longo de BC. Tome momentos em torno de A para a lança.
  2. A componente vertical do cabo T·sen β tem o braço AB; sua componente horizontal passa por A.
  3. sin β = 1/√(2² + 1²) = 0,4472.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Ângulo do cabo

BC = √(2² + 1²) = 2,236 m, sin β = 0,4472

Momentos em relação a A

T·0,4472·2 = 8·2 + 1·1
T = 19,01 kN

Resposta

T = 19,01 kN

Perguntas e respostas

Pórticos e máquinas: o que é?

Em uma treliça, cada membro é uma barra reta com pinos nas duas extremidades e cargas apenas nos nós, de modo que cada membro fica simplesmente tracionado ou comprimido. Um pórtico é diferente: pelo menos um membro suporta forças em três ou mais pontos, ou uma carga entre seus pinos. Esse membro também sofre flexão.

Neste pórtico em A, as pernas AC e BC são membros de várias forças: cada uma é carregada no apoio, no tirante e no pino C. O tirante DE é articulado nas duas extremidades e não suporta nada entre elas. Um pórtico que se move e transforma uma força de entrada em uma força de saída, como um alicate, uma alavanca ou um grampo, é chamado de máquina.

Pórticos e máquinas: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
  2. Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
  3. Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
  4. Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Pórticos e máquinas: quais são os erros mais comuns?
  • Tratar como membro de duas forças um membro com uma carga entre seus pinos.
  • Dar à força no pino o mesmo sentido nos dois membros que ele conecta.
  • Usar a força inclinada inteira como componente vertical em uma equação de momentos.
  • Informar apenas uma componente quando se pede o módulo de uma força no pino.
Pórticos e máquinas: o que se pratica?
  • Fácil: membros de duas forças e máquinas simples
  • Média: forças em pinos e articulações
  • Difícil: pórticos com vários membros

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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