Movimento de projéteis: exercícios com soluções passo a passo
Também chamado: lançamento oblíquo · movimento parabólico
Exercícios grátis de Movimento de projéteis com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: lançamento horizontal, lançamento do chão, lançamento de uma altura.
Exercício gratuitoFácil
Uma pedra é lançada horizontalmente do alto de um muro de 20 m e cai a 22 m do pé do muro. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade de lançamento v0.
Um projétil é um objeto que voa pelo ar com apenas a gravidade agindo sobre ele. Uma bola chutada, uma pedra lançada de uma ponte e a água de uma mangueira são projéteis.
Neste tópico você ignora a resistência do ar. Então a trajetória é sempre uma curva suave chamada de parábola.
A ideia-chave: o movimento se divide em duas partes separadas. Na horizontal, nada empurra nem freia o objeto. Na vertical, a gravidade o puxa com g = 9,81 m/s².
Assim a velocidade horizontal permanece a mesma o tempo todo, enquanto a velocidade vertical muda a cada segundo. As duas partes compartilham só uma coisa: o tempo.
Autoavaliação Uma bola voa pelo ar sem resistência do ar. Qual grandeza permanece constante durante o voo?
A altura
A velocidade horizontal
A velocidade total
A velocidade vertical
Resposta: A velocidade horizontal. Nenhuma força age na horizontal, então a velocidade horizontal nunca muda. A gravidade muda a velocidade vertical e, com ela, a velocidade total e a altura.
2Dois movimentos, um só relógio
Coloque a origem no ponto de lançamento, com x na horizontal e y na vertical (para cima é positivo). Depois de um tempo t:
x = vx · t
y = h + vy · t − ½ · g · t²
Aqui h é a altura de lançamento acima do chão, vx é a velocidade horizontal e vy é a velocidade vertical inicial.
A bola atinge o chão quando y = 0. Você resolve a equação vertical para esse tempo e depois coloca o mesmo tempo na equação horizontal.
Para um lançamento horizontal, vy = 0. A equação vertical vira h = ½ · g · t², então o tempo de queda é:
t = √(2h / g)
Esse tempo de queda não depende em nada da velocidade horizontal.
Autoavaliação Da mesma mesa, a bola A rola pela borda a 1 m/s e a bola B a 3 m/s. Qual cai primeiro?
A bola A
A bola B
Depende das massas
Elas caem ao mesmo tempo
Resposta: Elas caem ao mesmo tempo. As duas começam com velocidade vertical nula e caem a mesma altura, então t = √(2h/g) é igual. A bola B só cai mais longe.
3Lançamento oblíquo
Quando a bola é lançada com velocidade v0 e ângulo θ acima da horizontal, primeiro decomponha a velocidade em suas duas partes, as componentes:
vx = v0 · cos θ vy = v0 · sin θ
Partindo do chão plano, a bola sobe até que sua velocidade vertical seja zero e depois cai de volta. A subida e a descida levam tempos iguais. Isso dá três resultados úteis:
ttop = vy / g t = 2 · vy / g
H = vy² / (2g) R = v0² · sin 2θ / g
A fórmula do alcance R só vale quando a bola cai à mesma altura de que foi lançada.
Autoavaliação Uma bola é lançada a 20 m/s e 30° acima da horizontal. Quais são as componentes da sua velocidade?
vx = 10 m/s e vy = 10 m/s
vx = 10 m/s e vy = 17,3 m/s
vx = 17,3 m/s e vy = 10 m/s
vx = 20 m/s e vy = 20 m/s
Resposta: vx = 17,3 m/s e vy = 10 m/s. vx = 20 · cos 30° = 17,3 m/s e vy = 20 · sin 30° = 10 m/s. Trocá-las usa sin para a parte horizontal, que é a confusão clássica.
4O método passo a passo
Desenhe a trajetória. Marque a altura de lançamento h, a velocidade de lançamento v0, o ângulo θ e o que você precisa encontrar.
Decomponha a velocidade de lançamento: vx = v0 · cos θ e vy = v0 · sin θ. Um lançamento horizontal tem vy = 0.
Use o movimento vertical para encontrar o tempo de voo: faça y = 0 em y = h + vy·t − ½·g·t² e resolva para t.
Use esse tempo no movimento horizontal: x = vx · t.
Para a velocidade em qualquer instante, combine as componentes: v = √(vx² + (vy − g·t)²).
Confira se a calculadora está em graus antes de calcular sin ou cos de um ângulo dado em graus.
5Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvido
Uma bola é lançada horizontalmente a 12 m/s do alto de um penhasco de 45 m. Ignore a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². A que distância do pé do penhasco ela cai?
1
Desenhe a situação
O lançamento é horizontal, então vx = 12 m/s e vy = 0. A bola precisa cair h = 45 m.
2
Encontre o tempo de voo
O movimento vertical é uma queda a partir do repouso por 45 m:
t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9,81) = √9,174 = 3,03 s
3
Use o tempo na horizontal
Durante esses 3,03 s a bola continua se movendo na horizontal a 12 m/s:
x = vx · t = 12 · 3,029 = 36,3 m
4
Verifique a resposta
Coloque o tempo de volta no movimento vertical: ½ · 9,81 · 3,029² = 45,0 m. Essa é exatamente a altura do penhasco, então o tempo está certo.
Uma distância de cerca de 36 m para um lançamento de 12 m/s durante 3 s também tem um tamanho razoável.
5
Indo além: a velocidade de impacto
Pouco antes de cair, vy = g · t = 9,81 · 3,029 = 29,7 m/s para baixo, enquanto vx ainda é 12 m/s.
v = √(12² + 29,7²) = 32,0 m/s
Resposta
A bola cai a x ≈ 36,3 m do pé do penhasco, depois de 3,03 s.
6Erros comuns
Usar a velocidade total v0 onde cabe uma componente. O tempo de voo vem só de vy, o alcance só de vx.
Confundir sin e cos. A componente horizontal vai com cos θ quando θ é medido a partir da horizontal.
Uma calculadora em radianos quando o ângulo está em graus.
Usar R = v0² · sin 2θ / g quando a bola cai mais baixo ou mais alto do que partiu. Então é preciso resolver a equação vertical.
Dar uma aceleração ao movimento horizontal. Na horizontal, a velocidade é constante.
Autoavaliação Uma bola é chutada do chão plano a 20 m/s e 30° acima da horizontal. Quanto tempo ela fica no ar? (g = 9,81 m/s²)
1,02 s
2,04 s
3,53 s
4,08 s
Resposta: 2,04 s. vy = 20 · sin 30° = 10 m/s, então t = 2 · 10 / 9,81 = 2,04 s. Usar os 20 m/s inteiros dá 4,08 s, e 1,02 s é apenas o tempo até o ponto mais alto.
7Como são as questões de prova
Fácil: um lançamento horizontal de um penhasco ou muro. Encontre o tempo de voo, a distância de queda, a velocidade de lançamento a partir de uma distância de queda dada, ou a velocidade de impacto. Algumas questões fáceis pedem o tempo até o ponto mais alto de um lançamento a partir do chão.
Médio: um lançamento do chão plano com um ângulo. Encontre o tempo de voo, a altura máxima ou o alcance. As variações pedem a velocidade ou o ângulo de lançamento que dá um certo alcance, ou a altura em que a bola passa por um muro.
Difícil: um lançamento oblíquo do alto de um penhasco, ou uma queda sobre um telhado. Fazer y = 0 (ou a altura do telhado) dá uma equação do segundo grau em t: tome a raiz positiva.
No caso difícil, o ângulo de queda abaixo da horizontal decorre das componentes finais: tan α = |vy − g·t| / vx.
Uma bola é lançada horizontalmente do topo de um penhasco de 55 m. Despreze a resistência do ar. Encontre a distância horizontal x percorrida antes de a bola atingir o chão.
v0 = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Calcule x(m)
Mostrar dicas
Trate o movimento horizontal e o vertical separadamente. Eles compartilham apenas o tempo t.
A bola cai no chão quando sua altura y(t) chega a 0. Escreva y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 0 m/s, e o voo dura 3,349 s.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Decomponha a velocidade de lançamento
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
vx = v0·cos θ = 10·cos 0° = 10 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 0° = 0 m/s
Tempo no ar
Resolva y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 para a raiz positiva.
t = √(2h/g) = √(2·55/9,81) = 3,349 s
Distância horizontal
x = vx·t = 10·3,349 = 33,49 m
Resposta
x = 33,49 m
Exemplo 2Média
Uma bola é lançada a 60° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre o tempo de voo t até a bola atingir o chão.
v0 = 26 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²
Calcule t(s)
Mostrar dicas
Trate o movimento horizontal e o vertical separadamente. Eles compartilham apenas o tempo t.
Por simetria, o tempo de subida é igual ao de descida.
vy = 22,52 m/s.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Decomponha a velocidade de lançamento
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
vx = v0·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 60° = 22,52 m/s
Tempo no ar
Partindo e chegando na mesma altura: t = 2vy/g.
t = 2·22,52/9,81 = 4,591 s
Resposta
t = 4,591 s
Exemplo 3Difícil
Uma bola é lançada a 25° acima da horizontal do topo de um penhasco de 55 m. Despreze a resistência do ar. Encontre o tempo de voo t até a bola atingir o chão.
v0 = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Calcule t(s)
Mostrar dicas
Trate o movimento horizontal e o vertical separadamente. Eles compartilham apenas o tempo t.
A bola cai no chão quando sua altura y(t) chega a 0. Escreva y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 13,95 m/s.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Decomponha a velocidade de lançamento
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
vx = v0·cos θ = 33·cos 25° = 29,91 m/s
vy = v0·sin θ = 33·sin 25° = 13,95 m/s
Tempo no ar
Resolva y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 para a raiz positiva.
0 = 55 + 13,95·t − 4,905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (13,95 + √(194,5 + 1079))/9,81 = 5,06 s
Resposta
t = 5,06 s
Perguntas e respostas
Movimento de projéteis: o que é?
Um projétil é um objeto que voa pelo ar com apenas a gravidade agindo sobre ele. Uma bola chutada, uma pedra lançada de uma ponte e a água de uma mangueira são projéteis.
Neste tópico você ignora a resistência do ar. Então a trajetória é sempre uma curva suave chamada de parábola.
Movimento de projéteis: como resolver os exercícios passo a passo?
Decomponha a velocidade de lançamento em componentes: vx = v₀·cos θ e vy = v₀·sin θ.
O movimento horizontal tem velocidade constante; o movimento vertical tem aceleração −g.
Encontre o tempo de voo a partir do movimento vertical.
Use esse tempo no movimento horizontal para encontrar o alcance.
Movimento de projéteis: quais são os erros mais comuns?
Usar v₀ em vez de uma componente.
Calculadora em radianos quando o ângulo está em graus.
Usar a fórmula do alcance v₀²·sin 2θ/g quando as alturas de lançamento e de chegada são diferentes.
Movimento de projéteis: o que se pratica?
Fácil: lançamento horizontal
Média: lançamento do chão
Difícil: lançamento de uma altura
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.