Tensão e deformação axial: exercícios com soluções passo a passo

Q: Tensão e deformação axial: como resolver os exercícios passo a passo?

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Q: Tensão e deformação axial: o que se pratica?

Fácil: tensão normal Média: deformação e alongamento Difícil: barra escalonada Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Também chamado: tensão normal · lei de Hooke · carregamento axial

Exercícios grátis de Tensão e deformação axial com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: tensão normal, deformação e alongamento, barra escalonada.

Exercício gratuitoFácil

Uma haste de aço (diâmetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 100 GPa). Ambos têm 800 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 80 kN. Encontre a tensão de compressão σ_r na haste.

P = 80 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

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O que você pratica

Fáciltensão normal
Médiadeformação e alongamento
Difícilbarra escalonada

Fórmulas principais

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Aprenda Tensão e deformação axial do zero

1O que é tensão

Puxe uma barra de aço e ela resiste. Se ela rompe ou não, isso não depende só da força, mas de quanto material divide essa força.

Um fio fino e um cabo grosso podem suportar a mesma carga. O fio fino tem muito mais chance de falhar, porque cada milímetro quadrado dele suporta mais.

A tensão normal σ (sigma) é a força por unidade de área da seção transversal. A força P atua ao longo do eixo da barra, por isso se chama carga axial.

σ = P / A

Os engenheiros trabalham em newtons e milímetros. Um newton por milímetro quadrado é um megapascal:

1 N/mm² = 1 MPa

Portanto converta primeiro kN em N (× 1000). Para uma barra redonda de diâmetro d, a área é a de um círculo:

A = π · d² / 4

Autoavaliação Uma barra com seção transversal de 100 mm² suporta 10 kN. Qual é a tensão?

0,1 MPa
10 MPa
100 MPa
1000 MPa

Resposta: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0,1 MPa vem de esquecer de converter kN em N.

2Deformação e lei de Hooke

Sob carga a barra também fica um pouco mais longa. Essa variação de comprimento é o alongamento δ (delta).

A deformação ε (épsilon) é o alongamento dividido pelo comprimento original. Não tem unidade, porque é mm por mm:

ε = δ / L

As deformações nos metais são minúsculas, por isso muitas vezes são dadas em microdeformação: 1 µε = 10⁻⁶. Uma deformação de 0,0008 é 800 µε.

Na maioria dos materiais, tensão e deformação são proporcionais enquanto a carga não for muito grande. Essa é a lei de Hooke:

σ = E · ε

E é o módulo de Young, a rigidez do material. O aço tem E ≈ 200 GPa, o alumínio cerca de 70 GPa. Como 1 GPa = 1000 MPa, o aço tem E = 200 000 MPa.

Combinando as três fórmulas, obtém-se o alongamento diretamente:

δ = P · L / (A · E)

Autoavaliação Uma barra de aço (E = 200 GPa) tem uma tensão de 200 MPa. Qual é a deformação?

0,001
0,1
1000
1

Resposta: 0,001. Converta E para MPa: 200 GPa = 200 000 MPa. Então ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. Dividir 200 por 200 sem converter dá 1, o que é grande demais.

3O método passo a passo

Escreva todos os valores em N e mm: P em N (kN × 1000), comprimentos em mm (m × 1000), E em MPa (GPa × 1000).
Encontre a área: A = π·d²/4 para uma barra redonda.
Encontre a tensão: σ = P/A, em MPa.
Encontre a deformação: ε = σ/E. Multiplique por 10⁶ se a resposta for pedida em µε.
Encontre o alongamento: δ = ε·L, em mm.

Pare no passo que a questão pede. A maioria das questões usa só os dois ou três primeiros passos.

4Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Uma barra de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 20 mm e comprimento de 2 m. Ela suporta uma carga axial de tração de 50 kN. Encontre a tensão, a deformação e o alongamento.

Observe a barra e converta as unidades

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm e E = 200 GPa = 200 000 MPa.

Área

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²

Tensão

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

Isso está bem abaixo da resistência do aço comum (cerca de 250 MPa), então a lei de Hooke se aplica.

Deformação

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε

Alongamento

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm

Verifique a resposta

Use a fórmula combinada como segundo caminho:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

Uma barra de aço de 2 m que se alonga cerca de 1,6 mm é realista: as deformações do aço ficam bem abaixo de 0,2 %.

Resposta

σ = 159,2 MPa, ε = 796 µε e δ = 1,59 mm.

5Barras com mais de um trecho

Uma barra escalonada é formada por trechos com diâmetros diferentes e, às vezes, materiais diferentes.

Corte a barra em qualquer ponto e observe a parte à direita do corte. Só P puxa essa parte, então todos os trechos suportam a mesma força P.

As áreas diferem, então as tensões diferem. O trecho mais fino tem a maior tensão.

Cada trecho se alonga por conta própria, com seus próprios A, L e E. O alongamento total é a soma:

δ = P·L₁ / (A₁·E₁) + P·L₂ / (A₂·E₂)

Autoavaliação Uma barra escalonada suporta 20 kN. O trecho 1 tem A = 400 mm², o trecho 2 tem A = 100 mm². Qual é a maior tensão na barra?

200 MPa
250 MPa
40 MPa
50 MPa

Resposta: 200 MPa. Os dois trechos suportam 20 kN. O fino tem 20 000/100 = 200 MPa. 50 MPa é o trecho grosso, 40 MPa soma as áreas por engano e 250 MPa soma as duas tensões por engano.

6Erros comuns

Esquecer de converter kN em N, o que faz a tensão ficar 1000 vezes menor.
Usar E em GPa junto com uma tensão em MPa. Escreva E em MPa (GPa × 1000).
Usar π·d² ou π·d em vez de π·d²/4 para a área de um círculo.
Deixar L em metros quando δ deve sair em milímetros.
Dividir P entre os trechos de uma barra escalonada. Cada trecho suporta a força P inteira.

Autoavaliação Uma barra com A = 30 mm² suporta P = 6 kN. Qual é a tensão?

0,2 MPa
180 MPa
200 MPa
5 MPa

Resposta: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0,2 MPa usa 6 em vez de 6000 N; 5 MPa divide a área pela força; 180 multiplica os dois valores.

7Como são as questões de prova

Fácil: tensão normal. Uma barra redonda de diâmetro d suporta P; encontre σ = P/A.
Médio: deformação e alongamento. Você também recebe L e o E do material; encontre ε (em µε) ou δ (em mm).
Difícil: uma barra escalonada com dois trechos, possivelmente de materiais diferentes. Encontre o alongamento total ou a maior tensão.

Escreva as unidades ao lado de cada número. Quase todas as respostas erradas neste tópico erram por um fator de 1000.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil

Uma haste de aço (diâmetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de cobre (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 120 GPa). Ambos têm 500 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 300 kN. Encontre a tensão de compressão σ_r na haste.

P = 300 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Calcule σ_r (MPa)

Mostrar dicas

Placas rígidas: haste e tubo encurtam o mesmo tanto, então ε é o mesmo nos dois.
ε = P/ΣEA.
σ = E·ε.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Deformação comum

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Tensão na haste

σ_r = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Resposta

σ_r = 70,74 MPa

Exemplo 2Média

Encontre a deformação axial ε na barra de latão, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

Calcule ε (µε)

Mostrar dicas

Encadeie três relações: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
Converta E para MPa (GPa × 1000) para combinar com a tensão em MPa, e L para mm.
σ = 31,83 MPa.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Resposta

ε = 318,3 µε

Exemplo 3Difícil

Um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 300 mm, E = 200 GPa) e um trecho de alumínio (diâmetro 30 mm, comprimento 500 mm, E = 70 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 40 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatrecho 2: alumínio, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

Calcule σ₂ (MPa)

Mostrar dicas

A junção se desloca o mesmo tanto para os dois trechos: um se alonga e o outro encurta.
k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Rigidezes

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 40000·98960/570199 = 6942 N

Tensão

σ₂ = 6942/706,9 = 9,821 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 9,821 MPa

Perguntas e respostas

Tensão e deformação axial: o que é?

Puxe uma barra de aço e ela resiste. Se ela rompe ou não, isso não depende só da força, mas de quanto material divide essa força.

Um fio fino e um cabo grosso podem suportar a mesma carga. O fio fino tem muito mais chance de falhar, porque cada milímetro quadrado dele suporta mais.

Tensão e deformação axial: como resolver os exercícios passo a passo?

Tensão e deformação axial: quais são os erros mais comuns?

Os dois materiais não dividem a tensão igualmente: dividem a deformação. O mais rígido fica mais tensionado.
O tubo suporta parte da carga.
Essa é a tensão no tubo.

Tensão e deformação axial: o que se pratica?

Fácil: tensão normal
Média: deformação e alongamento
Difícil: barra escalonada

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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