Rotação de corpo rígido: exercícios com soluções passo a passo

1O que é rotação de corpo rígido

Um corpo rígido é um objeto que mantém a sua forma: um volante, uma polia, uma porta ou uma roda que rola. Neste tópico o corpo gira em torno de um eixo.

Todo ponto do corpo gira o mesmo ângulo no mesmo tempo. Então você descreve o movimento com grandezas angulares em vez de distâncias:

• θ: o ângulo percorrido, em radianos (rad). Uma volta é 2π rad.
• ω: a velocidade angular, em rad/s.
• α: a aceleração angular, em rad/s².

As máquinas informam velocidades em rotações por minuto (rpm). Converta-as antes de calcular:

Um ponto a uma distância r do eixo se move com velocidade v = ω·r e tem aceleração a = α·r ao longo da trajetória.

Tudo o que você sabe sobre o movimento em linha reta tem um gêmeo rotacional: a força vira momento, a massa vira momento de inércia, e ΣF = m·a vira ΣM = I·α.

2O momento de inércia

A massa diz o quanto é difícil acelerar um corpo em linha reta. O momento de inércia de massa I diz o quanto é difícil pô-lo a girar.

A massa longe do eixo conta muito mais do que a massa perto dele, porque conta com o quadrado da distância:

Você não precisa somar as partes por conta própria. Aprenda estes resultados padrão em relação ao centro de massa G:

• Barra esbelta de comprimento L, eixo pelo meio: m·L²/12.
• Disco ou cilindro maciço de raio R: ½·m·R².
• Anel fino ou aro: m·R².
• Esfera maciça: (2/5)·m·R². Esfera oca: (2/3)·m·R².
• Massa pontual à distância r: m·r².

Quando o eixo O não passa por G, use o teorema dos eixos paralelos. Aqui d é a distância entre O e G:

Uma barra que gira em torno da sua extremidade tem d = L/2, então I_O = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.

Algumas questões dão um raio de giração k em vez de uma forma. Então I = m·k². Para um corpo feito de partes, encontre o I de cada parte em relação ao mesmo eixo e some.

3Momentos, energia e quantidade de movimento angular

Três ferramentas resolvem quase todo problema de rotação. Escolha a que corresponde à questão.

1. Momentos. A soma dos momentos em torno do eixo é igual a I·α. Use-a para acelerações e forças.

Com torque constante, o movimento angular tem α constante, e as equações da cinemática têm gêmeas rotacionais: ω = ω₀ + α·t e ω² = ω₀² + 2·α·θ.

2. Energia. Um corpo que gira armazena energia cinética. Um torque T que gira um ângulo θ realiza trabalho, e a potência de um eixo que gira é o torque vezes a velocidade angular:

Um corpo que rola sem deslizar se move e gira ao mesmo tempo, com v = ω·r. Ele tem os dois tipos de energia cinética:

O número c depende só da forma: 0,4 para uma esfera maciça, 0,5 para um cilindro maciço, 2/3 para uma esfera oca e 1 para um aro. Numa rampa, a = g·sin θ / (1 + c).

3. Quantidade de movimento angular. L = I·ω. Quando nenhum momento externo age em torno do eixo, L permanece o mesmo, mesmo quando corpos se agarram e se perde energia cinética:

4O método passo a passo

1. Desenhe o corpo e escolha o eixo: o pivô fixo ou o eixo de rotação, ou o centro para um corpo que rola.
2. Encontre o momento de inércia em relação a esse eixo. Use os resultados padrão e some m·d² quando o eixo for deslocado.
3. Converta toda velocidade em rpm para rad/s com ω = 2π·n/60.
4. Escolha a ferramenta. Acelerações e forças: ΣM = I·α (com ΣF = m·a para partes que se movem em linha reta). Velocidades após uma distância ou ângulo: energia. Impactos, agarramentos súbitos e corpos que recolhem a sua massa: quantidade de movimento angular.
5. Ligue o movimento retilíneo e o rotacional onde um cabo ou um contato de rolamento os une: v = ω·r e a = α·r.
6. Resolva e confira o resultado com uma segunda ferramenta, se puder.

Para um corpo pendurado por um cabo numa polia, desenhe dois diagramas de corpo livre: um para o bloco (forças) e outro para a polia (momentos). A tração do cabo aparece nos dois.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

6Erros comuns

• Deixar velocidades em rpm em ω, E = ½·I·ω² ou P = T·ω. Converta primeiro para rad/s.
• Usar o momento de inércia em relação ao centro para um corpo que gira em torno da sua extremidade. Some m·d².
• Esquecer a energia cinética de rotação de um corpo que rola ou de uma polia.
• Tratar uma esfera ou um disco na ponta de uma barra como massa pontual. Some também o seu próprio I em relação ao seu centro.
• Supor que a energia cinética se conserva quando corpos se agarram ou ficam presos. Use a quantidade de movimento angular.
• Contar rotações em radianos: N = θ/(2π).

7Como são as questões de prova

• Fácil: momento de inércia. Uma barra em torno de um eixo deslocado, um pêndulo feito de uma barra e uma esfera ou disco, a energia cinética de um volante, ou o torque ou o tempo necessário para acelerar um volante.
• Médio: ΣM = I·α, trabalho e potência. Uma barra solta da horizontal, um bloco numa polia, as voltas que um volante freado dá, o torque ou a potência de um eixo, ou a velocidade de uma barra que oscila.
• Difícil: rolamento e quantidade de movimento angular. Uma esfera, cilindro ou aro rolando numa rampa, o atrito necessário para rolar, a parcela de energia de rotação, um anel solto sobre um disco que gira, uma pessoa recolhendo halteres, ou uma bala que atinge uma barra pendurada.

Para um volante freado, o freio realiza um trabalho igual à energia armazenada: T·θ = ½·I·ω². Divida θ por 2π para obter as voltas.

Uma barra articulada numa extremidade e solta da horizontal tem α = 3·g/(2·L) logo após ser solta. Sua extremidade livre acelera a 1,5·g.

Para uma bala que fica cravada numa barra, a quantidade de movimento angular em torno do pivô se conserva: m·v·d = (I_barra + m·d²)·ω.