Reações de apoio em vigas: exercícios com soluções passo a passo
Também chamado: reações de apoio · vigas isostáticas
Exercícios grátis de Reações de apoio em vigas com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: 1 carga concentrada, 2 cargas concentradas, carga concentrada + distribuída.
Exercício gratuitoFácil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RA.
Como resolver exercícios de Reações de apoio em vigas
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Erros comuns
Medir o braço de momento a partir do ponto errado.
Esquecer de converter uma carga distribuída em sua resultante.
Confundir qual apoio tem qual reação.
Fórmulas principais
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Aprenda Reações de apoio em vigas do zero
1O que são reações de apoio
Uma viga é um elemento longo e reto que carrega cargas sobre um vão, como uma prateleira, uma viga de piso ou uma pequena ponte.
A viga repousa sobre apoios. Quando as cargas empurram a viga para baixo, os apoios empurram para cima. Essas forças para cima são as reações de apoio.
Aqui uma carga de 10 kN fica exatamente no meio. Por simetria, cada apoio suporta metade dela: RA = RB = 5 kN.
Quando a carga não está no meio, o apoio mais próximo suporta mais. Descobrir exatamente quanto é o tema desta lição.
Você precisa das reações primeiro para quase toda outra questão de vigas: esforço cortante, momento fletor, tensão e deflexão.
Autoavaliação Uma viga sobre dois apoios suporta 10 kN exatamente no meio do vão. Qual é a reação em cada apoio?
10 kN
2,5 kN
20 kN
5 kN
Resposta: 5 kN. As duas reações juntas devem suportar todos os 10 kN, e por simetria são iguais: 10/2 = 5 kN. 10 kN em cada apoio suportaria a carga duas vezes.
2Apoios, momentos e equilíbrio
Cada tipo de apoio pode reagir à sua maneira.
Um apoio móvel (rolete) (B na figura) só pode empurrar perpendicularmente à superfície sobre a qual rola. Ele dá uma reação vertical.
Um apoio fixo (pino) (A) impede a viga de se mover em qualquer direção. Dá uma reação vertical e uma horizontal. Com apenas cargas verticais, a horizontal é zero.
Um engaste, como uma parede, também impede a viga de girar. Dá uma força vertical e um momento de reação.
Um momento é o efeito de giro de uma força em torno de um ponto. É a força vezes a sua distância perpendicular a esse ponto:
M = F · d
Uma viga em repouso não se move nem gira. Assim valem três equações de equilíbrio:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
A equação de momentos vale em torno de qualquer ponto. Escolha um apoio como esse ponto: sua reação tem distância zero, então sai da equação.
Autoavaliação Uma força de 6 kN age a 2 m do ponto A. Qual é o seu momento em relação a A?
12 kN·m
3 kN·m
6 kN·m
8 kN·m
Resposta: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m. Dividir (3) ou somar (8) a força e a distância são os deslizes usuais.
3Cargas distribuídas
Algumas cargas são espalhadas ao longo da viga, como o peso de um piso ou da neve. Uma carga uniformemente distribuída (CUD) tem o mesmo valor w em cada metro, em kN/m.
Para as reações, você pode substituir uma CUD por uma única força. Seu valor é a carga por metro vezes o comprimento carregado, e ela age no meio da parte carregada:
W = w · ℓ
Na figura, ℓ = 3 m, então W = 4 · 3 = 12 kN. Ela age no meio da carga, em x = 1 + 1,5 = 2,5 m de A.
Uma viga em balanço (cantilever) é engastada numa só extremidade, como uma sacada. A parede dá uma força para cima e um momento. Para uma carga na extremidade P a uma distância L: RA = P e MA = P·L.
Neste balanço, RA = 5 kN e MA = 5 · 3 = 15 kN·m.
Autoavaliação Uma CUD de 4 kN/m age de x = 1 m até x = 4 m. Qual força única a substitui, e onde?
12 kN em x = 1,5 m
12 kN em x = 2 m
12 kN em x = 2,5 m
4 kN em x = 2,5 m
Resposta: 12 kN em x = 2,5 m. W = 4·3 = 12 kN no meio da carga, 1 + 1,5 = 2,5 m de A. 1,5 m é medido a partir do início da carga, não de A. 2 m é o meio do vão inteiro, não da parte carregada.
4O método passo a passo
Desenhe a viga e substitua cada apoio por suas reações: RA no pino e RB no rolete.
Substitua cada CUD por uma única força w·ℓ no meio da parte carregada.
Tome momentos em torno de A. RA sai da equação, então você obtém RB diretamente: RB·L = Σ(cada carga × sua distância até A).
Use ΣFy = 0: RA = (carga total) − RB.
Confira: tome momentos em torno de B. Isso deve dar o mesmo RA.
Regra de sinal para a etapa 3: a reação RB gira a viga num sentido em torno de A, as cargas para baixo a giram no outro. Seus momentos devem se equilibrar.
5Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvido
Uma viga biapoiada de vão 6 m suporta P1 = 12 kN a 2 m de A e P2 = 6 kN a 4 m de A. Encontre RA e RB.
1
Desenhe o diagrama de corpo livre
O pino em A e o rolete em B dão cada um uma reação para cima. Há duas incógnitas, então duas equações bastam.
2
Momentos em relação a A
RA passa por A, então não tem momento em torno de A. As cargas giram a viga no sentido horário, RB a gira no sentido anti-horário:
RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3
Equilíbrio das forças verticais
As duas reações juntas suportam a carga total de 12 + 6 = 18 kN.
RA = 18 − 8 = 10 kN
4
Verifique a resposta
Tome momentos em torno de B. As distâncias até B são 4 m para P1 e 2 m para P2.
RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN
Os dois caminhos concordam. RA é a maior, o que faz sentido: a carga mais pesada está mais perto de A.
Resposta
RA = 10 kN e RB = 8 kN.
6Erros comuns
Medir uma distância a partir do ponto errado. Numa equação de momentos em torno de A, todas as distâncias são medidas a partir de A.
Trocar as reações. Tomar momentos em torno de A dá RB, não RA.
Esquecer de transformar uma CUD numa única força w·ℓ, ou colocar essa força no meio do vão em vez do meio da carga.
Confundir os sentidos de giro, de modo que uma carga e uma reação recebam o mesmo sinal na equação de momentos.
Não conferir. Uma segunda equação de momentos em torno de B pega a maioria dos deslizes em poucos segundos.
Autoavaliação Uma viga de 4 m sobre dois apoios suporta 8 kN a 1 m de A. Qual é RA?
2 kN
4 kN
6 kN
8 kN
Resposta: 6 kN. Momentos em torno de A: RB·4 = 8·1, então RB = 2 kN e RA = 8 − 2 = 6 kN. 2 kN é RB: o apoio mais próximo da carga suporta mais.
7Como são as questões de prova
Fácil: uma viga biapoiada com uma carga pontual. Você encontra RA ou RB.
Médio: duas cargas pontuais, como no exemplo resolvido.
Difícil: uma carga pontual junto com uma CUD em parte ou em todo o vão. Substitua primeiro a CUD por w·ℓ no seu meio.
Outras versões usam as mesmas três equações: um balanço (encontre o momento MA na parede), uma carga inclinada (use só a componente vertical, P·sin θ), um binário aplicado, uma viga com extremidade em balanço além de um apoio, ou uma carga triangular (resultante ½·w·ℓ a um terço do comprimento a partir da extremidade mais carregada).
Leia com atenção as cotas sob a viga e escreva cada distância a partir de A antes de começar.
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RB.
L = 4 mP = 55 kN em 2 m
Calcule RB(kN)
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Use o equilíbrio estático: ΣFy = 0 e ΣM = 0. Duas incógnitas, duas equações.
Tome momentos em relação a A. RA passa por A, então desaparece e você obtém RB diretamente.
A carga total para baixo é 55 kN, então RA + RB = 55 kN.
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Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN
Resposta
RB = 27,5 kN
Exemplo 2Média
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RB.
L = 6 mP1 = 15 kN em 2 mP2 = 30 kN em 3 m
Calcule RB(kN)
Mostrar dicas
Use o equilíbrio estático: ΣFy = 0 e ΣM = 0. Duas incógnitas, duas equações.
Tome momentos em relação a A. RA passa por A, então desaparece e você obtém RB diretamente.
A carga total para baixo é 45 kN, então RA + RB = 45 kN.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN
Resposta
RB = 20 kN
Exemplo 3Difícil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Uma carga P atua a 3 m de A, inclinada a 30° em relação à horizontal, e uma carga vertical Q atua a 2 m de A. Encontre o módulo da força de reação total RA no apoio fixo A.
L = 4 mP = 25 kN em 3 m, θ = 30°Q = 25 kN em 2 m
Calcule RA(kN)
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Divida P em P·cos θ (horizontal) e P·sin θ (vertical). O apoio móvel não absorve força horizontal.
Encontre RB pelos momentos em relação a A, depois Ay por ΣFy = 0 e Ax por ΣFx = 0.
Ax = 21,65 kN, Ay = 15,63 kN.
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Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Componentes de P
Pv = 25·sin 30° = 12,5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21,65 kN
Reações
ΣMA = 0: RB·4 = 12,5·3 + 25·2 → RB = 21,88 kN
Ay = 12,5 + 25 − 21,88 = 15,63 kN
Ax = Ph = 21,65 kN
Resultante em A
RA = √(21,65² + 15,63²) = 26,7 kN
Resposta
RA = 26,7 kN
Perguntas e respostas
Reações de apoio em vigas: o que é?
Uma viga é um elemento longo e reto que carrega cargas sobre um vão, como uma prateleira, uma viga de piso ou uma pequena ponte.
A viga repousa sobre apoios. Quando as cargas empurram a viga para baixo, os apoios empurram para cima. Essas forças para cima são as reações de apoio.
Reações de apoio em vigas: como resolver os exercícios passo a passo?
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Reações de apoio em vigas: quais são os erros mais comuns?
Medir o braço de momento a partir do ponto errado.
Esquecer de converter uma carga distribuída em sua resultante.
Confundir qual apoio tem qual reação.
Reações de apoio em vigas: o que se pratica?
Fácil: 1 carga concentrada
Média: 2 cargas concentradas
Difícil: carga concentrada + distribuída
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
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