Treliça: método dos nós: exercícios com soluções passo a passo

Q: Treliça: método dos nós: o que é?

Uma treliça é uma estrutura de barras retas unidas nas extremidades para formar triângulos. Elas aparecem em telhados, guindastes, torres e muitas pontes. As barras são chamadas de membros e os pontos de ligação são nós. No modelo simples, cada nó é uma articulação e as cargas atuam apenas nos nós.

Q: Treliça: método dos nós: o que se pratica?

Fácil: simétrica Média: assimétrica Difícil: carga vertical + horizontal Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Também chamado: treliças · método das seções · método de Ritter

Exercícios grátis de Treliça: método dos nós com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: simétrica, assimétrica, carga vertical + horizontal.

Exercício gratuitoFácil

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 15 kN ↓D: 25 kN ↓

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O que você pratica

Fácilsimétrica
Médiaassimétrica
Difícilcarga vertical + horizontal

Como resolver exercícios de Treliça: método dos nós

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Erros comuns

Começar por um nó com três incógnitas.
Esquecer as componentes angulares das barras inclinadas.
Trocar tração e compressão.

Fórmulas principais

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Aprenda Treliça: método dos nós do zero

Antes disso: Reações de apoio em vigas

1O que é uma treliça

Uma treliça é uma estrutura de barras retas unidas nas extremidades para formar triângulos. Elas aparecem em telhados, guindastes, torres e muitas pontes.

As barras são chamadas de membros e os pontos de ligação são nós. No modelo simples, cada nó é uma articulação e as cargas atuam apenas nos nós.

Então cada membro é tracionado ou comprimido apenas ao longo do seu comprimento. Ele suporta uma única força axial:

tração: o membro é puxado e fica mais longo. Contamos isso como positivo.
compressão: o membro é empurrado e fica mais curto. Contamos isso como negativo.

Usam-se triângulos porque um triângulo não pode mudar de forma sem mudar o comprimento de um lado. Isso torna a treliça rígida com pouco material.

Autoavaliação A força em um membro resulta em −12 kN. O que isso significa?

A carga aponta para cima
O membro está em compressão, 12 kN
O membro está em tração, 12 kN
O membro não suporta força

Resposta: O membro está em compressão, 12 kN. Com a tração contada como positiva, uma força negativa é compressão: o membro é empurrado e encurta.

2Forças em um nó

Cada nó está em equilíbrio por si só. Assim, em cada nó valem duas equações:

ΣF_x = 0 ΣF_y = 0

Duas equações significam que você pode encontrar no máximo duas forças desconhecidas em um nó. Comece sempre em um nó em que só duas são desconhecidas.

Desenhe cada força desconhecida de um membro como tração: uma seta que se afasta do nó, ao longo do membro. Se a resposta for negativa, o membro está em compressão.

A força de um membro inclinado tem duas componentes. Se o membro faz um ângulo α com a horizontal:

F_x = F · cos α F_y = F · sin α

Raramente você precisa do ângulo em si. A partir do avanço horizontal a, da altura h e do comprimento ℓ = √(a² + h²) do membro: cos α = a/ℓ e sin α = h/ℓ.

Autoavaliação Um membro avança 4 m na horizontal e 3 m na vertical, então tem 5 m de comprimento. Ele suporta 10 kN. Qual é a componente vertical?

10 kN
6 kN
7,5 kN
8 kN

Resposta: 6 kN. sin α = 3/5 = 0,6, então F_y = 10·0,6 = 6 kN. 8 kN é a componente horizontal (cos α = 0,8).

3O método passo a passo

Encontre as reações de apoio a partir da treliça inteira: ΣM_A = 0 dá C_y, depois ΣF_y = 0 dá A_y (e ΣF_x = 0 dá A_x se houver carga horizontal).
Escolha um nó com no máximo duas forças desconhecidas nos membros, geralmente um nó de apoio.
Desenhe o nó com todas as forças desconhecidas dos membros como tração (afastando-se do nó).
Escreva ΣF_y = 0. Se só um membro tem componente vertical, isso dá a força dele diretamente.
Escreva ΣF_x = 0 para a segunda força.
Passe ao nó seguinte, usando as forças que já conhece. Um resultado negativo significa compressão.

O método das seções é uma alternativa: corte os membros de que precisa e tome momentos em torno de um ponto onde os outros membros cortados se encontram.

4Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

A treliça tem vão de 8 m e 3 m de altura, com o nó B acima do meio do vão. Uma carga vertical de 30 kN atua em B. Encontre as forças nos membros AB e AC.

Observe a treliça

A é um apoio fixo (articulado) e C um apoio móvel (de rolete). Cada membro inclinado tem um avanço horizontal de 4 m e uma altura de 3 m, então seu comprimento é √(4² + 3²) = 5 m.

Reações de apoio

A treliça e a carga são simétricas, então cada apoio suporta metade da carga:

A_y = C_y = 30 / 2 = 15 kN

Nó A: equilíbrio vertical

sin α = 3/5 = 0,6 e cos α = 4/5 = 0,8. Só AB tem componente vertical em A.

15 + F_AB · 0,6 = 0 ⇒ F_AB = −25 kN

Negativo, então AB está em compressão.

Nó A: equilíbrio horizontal

F_AC + F_AB · 0,8 = 0 ⇒ F_AC = −(−25) · 0,8 = 20 kN

Positivo, então AC está em tração. Ele amarra os pés da treliça.

Verifique a resposta

Por simetria, F_BC = −25 kN também. No nó B, os dois membros empurram para cima com 2 · 25 · 0,6 = 30 kN, o que equilibra a carga de 30 kN.

Resposta

F_AB = −25 kN (compressão) e F_AC = 20 kN (tração).

5Erros comuns

Começar em um nó com três forças desconhecidas. Duas equações não resolvem três incógnitas.
Trocar seno e cosseno. Verifique que lado do triângulo é o vertical.
Desenhar algumas incógnitas como compressão e outras como tração, e depois ler mal os sinais. Desenhe todas como tração.
Esquecer a reação de apoio no nó, ou dar a ela a direção errada.
Esquecer a carga horizontal na equação de momentos das reações.

Autoavaliação No apoio móvel C a reação é C_y = 9 kN para cima. O membro BC é o único com componente vertical ali, com sin γ = 0,6. Quanto vale F_BC?

+15 kN (tração)
−11,25 kN (compressão)
−15 kN (compressão)
−5,4 kN (compressão)

Resposta: −15 kN (compressão). ΣF_y = 0: 9 + F_BC·0,6 = 0, então F_BC = −15 kN. +15 kN perde o sinal; −5,4 multiplica por sin γ em vez de dividir; −11,25 usa cos γ = 0,8.

6Como são as questões de prova

Fácil: simétrica. B está acima do meio do vão e a carga é vertical, como no exemplo. As reações são metade da carga cada uma.
Médio: assimétrica. B não está acima do meio do vão, então AB e BC têm ângulos diferentes. Encontre primeiro C_y com momentos em torno de A.
Difícil: uma carga vertical e uma horizontal em B. O apoio articulado em A também recebe uma reação horizontal. O nó C continua sendo o começo mais fácil, porque o rolete dá apenas C_y.

Pede-se a força de um membro: AB, BC ou AC. Dê a tração como positiva e a compressão como negativa.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 45 kN

Calcule F_AB (kN)

Mostrar dicas

Encontre primeiro as reações de apoio pela treliça inteira.
No nó A, só a barra AB tem componente vertical. ΣF_y = 0 dá F_AB diretamente.
A_y = 22,5 kN.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22,5/0,5547 = −40,56 kN

Resposta

F_AB = −40,56 kN (compressão)

Exemplo 2Média

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 45 kN

Calcule F_BC (kN)

Mostrar dicas

Encontre primeiro as reações de apoio pela treliça inteira.
Vá para o nó C. Lá só BC tem componente vertical, então comece com ΣF_y = 0.
C_y = 7,5 kN.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 7,5 = 37,5 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,3714 = −20,19 kN

Resposta

F_BC = −20,19 kN (compressão)

Exemplo 3Difícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 60 kNcarga horizontal = 30 kN ←

Calcule F_BC (kN)

Mostrar dicas

Encontre primeiro as reações de apoio pela treliça inteira.
Vá para o nó C. Lá só BC tem componente vertical, então comece com ΣF_y = 0.
C_y = −6 kN.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·1 − 30·3 → C_y = −6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − −6 = 66 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−6/0,6 = 10 kN

Resposta

F_BC = 10 kN (tração)

Perguntas e respostas

Treliça: método dos nós: o que é?

Uma treliça é uma estrutura de barras retas unidas nas extremidades para formar triângulos. Elas aparecem em telhados, guindastes, torres e muitas pontes.

As barras são chamadas de membros e os pontos de ligação são nós. No modelo simples, cada nó é uma articulação e as cargas atuam apenas nos nós.

Treliça: método dos nós: como resolver os exercícios passo a passo?

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Treliça: método dos nós: quais são os erros mais comuns?

Começar por um nó com três incógnitas.
Esquecer as componentes angulares das barras inclinadas.
Trocar tração e compressão.

Treliça: método dos nós: o que se pratica?

Fácil: simétrica
Média: assimétrica
Difícil: carga vertical + horizontal

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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