Escoamento em canais abertos (Manning): exercícios com soluções passo a passo

Q: Escoamento em canais abertos (Manning): como resolver os exercícios passo a passo?

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Q: Escoamento em canais abertos (Manning): o que se pratica?

Fácil: velocidade em um canal Média: vazão Difícil: declividade necessária Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Exercícios grátis de Escoamento em canais abertos (Manning) com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: velocidade em um canal, vazão, declividade necessária.

Exercício gratuitoFácil

A água escoa uniformemente com 0,8 m de profundidade em um canal retangular de concreto sem acabamento com 1 m de largura (n de Manning = 0,014). A declividade do fundo é S = 0,0008. Use a equação de Manning em unidades SI para encontrar a velocidade média V.

b = 1 my = 0,8 mn = 0,014S = 0,0008

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O que você pratica

Fácilvelocidade em um canal
Médiavazão
Difícildeclividade necessária

Fórmulas principais

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Aprenda Escoamento em canais abertos (Manning) do zero

1O que é o escoamento em canais abertos

A água de um rio, um canal, uma vala de drenagem ou um esgoto que não está cheio escoa com uma superfície livre aberta ao ar. Este é o escoamento em canal aberto.

Nada bombeia a água. A gravidade a puxa para baixo pela declividade do leito, e o atrito com o leito e as paredes a segura.

Quando essas duas forças se equilibram, a profundidade e a velocidade permanecem as mesmas ao longo do canal. Isso se chama escoamento uniforme, e é o que a equação de Manning descreve.

Os engenheiros a usam para responder a três perguntas: com que velocidade a água escoa, quanta água um canal consegue transportar e qual deve ser a declividade do canal?

Autoavaliação No escoamento uniforme em canal aberto, quais dois efeitos se equilibram?

A gravidade ao longo da declividade e o atrito do leito e das paredes
A pressão da bomba e o atrito
A pressão do ar e a pressão da água
O peso da água e o seu empuxo

Resposta: A gravidade ao longo da declividade e o atrito do leito e das paredes. A declividade do leito permite que a gravidade impulsione a água, e o contorno rugoso a freia. Quando se equilibram, a profundidade e a velocidade deixam de mudar.

2Raio hidráulico e perímetro molhado

O atrito age apenas onde a água toca o canal. Esse contorno, medido ao redor da seção transversal, é o perímetro molhado P. A superfície livre toca o ar, então não conta.

A linha grossa na figura é P. A parte sombreada é a área de escoamento A. A razão entre elas é o raio hidráulico:

R = A / P

Retângulo de largura b e profundidade y: A = b·y e P = b + 2y.
Trapézio com taludes z:1 (z na horizontal para 1 na vertical): A = (b + z·y)·y e P = b + 2y·√(1 + z²).
Tubo circular escoando cheio ou pela metade: R = D/4.

Um R grande significa muita água para pouco contorno, portanto menos atrito por litro e escoamento mais rápido.

Autoavaliação Um canal retangular tem 4 m de largura e a água tem 1 m de profundidade. Qual é o raio hidráulico R?

0,5 m
0,667 m
1 m
4 m

Resposta: 0,667 m. A = 4 · 1 = 4 m² e P = 4 + 2 · 1 = 6 m, então R = 4/6 = 0,667 m. Incluir a superfície livre em P (P = 8 m) dá 0,5 m, e 1 m é a profundidade, não R.

3Equação de Manning

Em unidades do SI, a velocidade média do escoamento uniforme é:

V = (1/n) · R^2/3 · S^1/2

n é o coeficiente de rugosidade de Manning. Concreto liso acabado é cerca de 0,012, alvenaria de tijolo 0,015, terra limpa 0,022, terra revestida de grama 0,03. Mais rugoso significa n maior e água mais lenta.
R é o raio hidráulico em m.
S é a declividade do leito em m/m, um número puro. Uma queda de 1,5 m por quilômetro é S = 1,5/1000 = 0,0015.

A vazão (descarga) é a velocidade vezes a área de escoamento:

Q = A · V

Para encontrar a declividade de que um canal precisa, combine as duas e resolva para S:

S = (n · Q / (A · R^2/3))²

Autoavaliação O leito de um canal desce 2 m ao longo de 1 km. Qual declividade S usar na equação de Manning?

0,0002
0,002
0,02
2

Resposta: 0,002. S = queda/comprimento = 2 m / 1000 m = 0,002. A declividade não tem unidade, então os metros devem se cancelar.

4O método passo a passo

Esboce a seção transversal e anote b, y, z (se for trapezoidal), n e S.
Encontre a área de escoamento A.
Encontre o perímetro molhado P: o fundo mais os lados molhados, nunca a superfície livre.
Raio hidráulico: R = A/P.
Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2.
Se a vazão é pedida: Q = A·V. Se a declividade é pedida, use S = (n·Q/(A·R^2/3))².

Na calculadora, R^2/3 é R^(2/3), com os parênteses. Calcule R^2/3 e √S separadamente antes de multiplicar.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

A água escoa uniformemente com 1 m de profundidade num canal retangular de alvenaria de tijolo com 3 m de largura (Manning n = 0,015). A declividade do leito é S = 0,001. Encontre a velocidade média V e a vazão Q.

Observe a seção

É um retângulo, então A = b·y e P = b + 2y.

Área e perímetro molhado

A = 3 · 1 = 3 m²

P = 3 + 2 · 1 = 5 m

Raio hidráulico

R = A/P = 3/5 = 0,6 m

Então R^2/3 = 0,6^2/3 = 0,7114.

Equação de Manning

√S = √0,001 = 0,03162.

V = (1/0,015) · 0,7114 · 0,03162 = 1,50 m/s

Vazão

Q = A · V = 3 · 1,50 = 4,50 m³/s

Verifique a resposta

Canais revestidos costumam operar entre 1 e 3 m/s, então 1,50 m/s é razoável. Um revestimento de terra mais rugoso (n = 0,022) daria uma velocidade menor para a mesma declividade.

Resposta

V = 1,50 m/s e Q = 4,50 m³/s.

6Erros comuns

Usar a profundidade y em vez do raio hidráulico R.
Contar a superfície livre no perímetro molhado.
Em um trapézio, tomar cada lado com comprimento y. O lado molhado mede y·√(1 + z²).
Usar S em vez de √S, ou esquecer de elevar ao quadrado no final ao resolver para S.
Usar uma declividade em m/km como se fosse m/m.
Dar V quando se pede Q: multiplique pela área.

Autoavaliação Canal retangular: b = 4 m, y = 1 m, n = 0,02, S = 0,0016. Qual é a velocidade média V?

0,061 m/s
1,26 m/s
1,53 m/s
2,00 m/s

Resposta: 1,53 m/s. R = 4/6 = 0,667 m, então V = (1/0,02) · 0,667^(2/3) · 0,04 = 1,53 m/s. Usar a profundidade como R dá 2,00 m/s, e incluir a superfície livre em P dá 1,26 m/s.

7Como são as questões de prova

Fácil: velocidade em um canal retangular. Às vezes a declividade é dada como uma queda por quilômetro.
Médio: a vazão Q, em um canal retangular ou trapezoidal, ou em um tubo escoando cheio ou pela metade (R = D/4).
Difícil: a declividade de fundo de que um canal precisa para conduzir uma vazão Q dada, ou a declividade de um esgoto para uma velocidade dada.

Exemplo de trapézio: b = 2 m, y = 1 m, taludes 2:1, n = 0,022, S = 0,001. A = (2 + 2·1)·1 = 4 m² e P = 2 + 2·1·√5 = 6,47 m, então R = 0,618 m.

V = (1/0,022) · 0,618^2/3 · √0,001 = 1,04 m/s, Q = 4 · 1,04 = 4,17 m³/s

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil

A água escoa uniformemente com 1 m de profundidade em um canal retangular de terra limpa com 2,5 m de largura (n de Manning = 0,022). O fundo desce 4 m por quilômetro. Use a equação de Manning em unidades SI para encontrar a velocidade média V.

b = 2,5 my = 1 mn = 0,022desnível = 4 m/km

Calcule V (m/s)

Mostrar dicas

Encontre o raio hidráulico R = A/P da seção molhada.
A declividade é o desnível dividido pelo comprimento: S = 4/1000.
R = 0,5556 m.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Raio hidráulico

A = b·y = 2,5·1 = 2,5 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1 = 4,5 m

R = A/P = 0,5556 m

Inclinação

S = 4/1000 = 0,004

Equação de Manning

V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 = (1/0,022)·0,5556^2/3·0,004^1/2 = 1,943 m/s

Resposta

V = 1,943 m/s

Exemplo 2Média

Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 300 mm escoa exatamente cheia (como canal aberto, não sob pressão). n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,0005. Encontre a vazão Q em m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,0005

Calcule Q (m³/s)

Mostrar dicas

Tubo cheio: A = π·D²/4 e P = π·D.
Nos dois casos R = A/P = D/4 = 0,075 m.
Encontre V com Manning e depois Q = A·V.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Geometria

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Velocidade

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,0005^1/2 = 0,3059 m/s

Vazão

Q = A·V = 0,07069·0,3059 = 0,02162 m³/s

Resposta

Q = 0,02162 m³/s

Exemplo 3Difícil

Um canal retangular de terra revestida de grama com 2,5 m de largura deve transportar 2,7 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,8 m. n de Manning = 0,03. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 2,7 m³/sb = 2,5 my = 1,8 mn = 0,03

Calcule S (m/m)

Mostrar dicas

Combine Q = A·V com Manning: Q = (1/n)·A·R^2/3·S^1/2.
A = 4,5 m², R = 0,7377 m.
Resolva para S: S = (n·Q/(A·R^2/3))².

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Geometria

A = b·y = 2,5·1,8 = 4,5 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,8 = 6,1 m

R = A/P = 0,7377 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·2,7/(4,5·0,8164) = 0,02205

S = 0,02205² = 0,0004861

Resposta

S = 0,0004861

Isso é um desnível de 0,4861 m por quilômetro.

Perguntas e respostas

Escoamento em canais abertos (Manning): o que é?

A água de um rio, um canal, uma vala de drenagem ou um esgoto que não está cheio escoa com uma superfície livre aberta ao ar. Este é o escoamento em canal aberto.

Nada bombeia a água. A gravidade a puxa para baixo pela declividade do leito, e o atrito com o leito e as paredes a segura.

Escoamento em canais abertos (Manning): como resolver os exercícios passo a passo?

Escoamento em canais abertos (Manning): quais são os erros mais comuns?

Use o raio hidráulico R = A/P, e não a profundidade. A profundidade só é uma boa aproximação para canais muito largos.
A superfície livre não faz parte do perímetro molhado: P = b + 2y.
A declividade é adimensional: 4 m por 1000 m dá S = 0,004.

Escoamento em canais abertos (Manning): o que se pratica?

Fácil: velocidade em um canal
Média: vazão
Difícil: declividade necessária

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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