Centroide e momento de inércia: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: centro de gravidade · momento de inércia de área · teorema de Steiner

Exercícios grátis de Centroide e momento de inércia com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: centroide, momento de inércia, tensão de flexão.

Exercício gratuitoFácil
1002516012ȳ = ?dimensões em mm

Encontre a altura ȳ do centroide da seção T acima da borda inferior.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
mm
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O que você pratica

  1. Fácilcentroide
  2. Médiamomento de inércia
  3. Difíciltensão de flexão

Fórmulas principais

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Aprenda Centroide e momento de inércia do zero

1Por que a forma de uma seção importa

Corte uma viga em linha reta e olhe a face do corte. Essa forma é a seção transversal, ou simplesmente a seção.

Pegue uma tábua de madeira de 100 × 20 mm. Deite-a sobre um vão e ela envergará muito. Coloque a mesma tábua de lado (de cutelo) e ela fica bem mais rígida, embora tenha exatamente a mesma área.

1002020100ab

O que importa é a distância do material ao eixo em torno do qual a viga flete. O material longe desse eixo trabalha muito mais.

Duas propriedades descrevem isso. O centroide é o centro geométrico da seção: a viga flete em torno de um eixo que passa por ele. O momento de inércia I (segundo momento de área) mede quão longe a área está espalhada em relação a esse eixo.

Autoavaliação A mesma tábua é usada deitada (a) e de cutelo (b), fletida em torno de um eixo horizontal. Qual é mais rígida?
  1. As duas são iguais, já que a área é a mesma
  2. De cutelo (b)
  3. Deitada (a)
  4. Depende apenas do material

Resposta: De cutelo (b). De cutelo, o material fica mais longe do eixo de flexão. A área é a mesma, mas o que conta é a sua distância ao eixo.

2O centroide de uma seção composta

Em um retângulo, o centroide fica no meio. Muitas seções de viga, como um T, são feitas de retângulos.

Divida a seção em retângulos. Para cada um, encontre sua área Ai e a altura yi do seu próprio centroide, medida a partir de uma linha de referência, geralmente a borda inferior.

O centroide da seção inteira é a média ponderada pelas áreas dessas alturas:

ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai

Uma parte grande puxa o centroide para si. Em uma seção T com a mesa em cima, o centroide fica acima da metade da altura.

Autoavaliação A parte 1 tem A = 3000 mm² em y = 20 mm. A parte 2 tem A = 1000 mm² em y = 100 mm. Onde fica o centroide?
  1. ȳ = 160 mm
  2. ȳ = 40 mm
  3. ȳ = 60 mm
  4. ȳ = 80 mm

Resposta: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm é a média simples das alturas, que ignora as áreas. 80 mm troca as áreas.

3O momento de inércia (segundo momento de área)

Para um retângulo de largura b e altura h, fletido em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu próprio centroide:

Ic = b · h³ / 12

A altura é elevada ao cubo, e é por isso que a tábua de cutelo é 25 vezes mais rígida: 20·100³ / (100·20³) = 25.

Para uma seção composta, cada parte fica a uma distância d do eixo que passa pelo centroide total. O teorema dos eixos paralelos acrescenta um termo para esse deslocamento:

I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )

A unidade é mm⁴. Os números ficam grandes, então as respostas costumam ser dadas como “× 10⁶ mm⁴”.

Depois de ter I, a tensão de flexão a uma distância y do eixo do centroide resulta do momento fletor M:

σ = M · y / I
Autoavaliação Um retângulo de 100 mm de largura e 20 mm de altura: quanto vale I em torno do seu próprio eixo centroidal horizontal?
  1. 1 666 667 mm⁴
  2. 400 000 mm⁴
  3. 66 667 mm⁴
  4. 800 000 mm⁴

Resposta: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667 troca b e h (é a tábua de cutelo); 800 000 esquece de dividir por 12.

4O método passo a passo

  1. Divida a seção em retângulos e numere-os.
  2. Para cada parte: área Ai e altura do centroide yi, todas medidas a partir da borda inferior.
  3. Centroide: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
  4. Para cada parte: Ic próprio = bh³/12 e distância di = yi − ȳ.
  5. Some: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
  6. Se uma tensão for pedida: σ = M·y/I, com y a distância do eixo até a borda de que você precisa.

Uma pequena tabela com as colunas A, y, A·y, Ic, d e A·d² mantém tudo em ordem.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Uma seção T tem uma mesa de 100 × 20 mm sobre uma alma de 20 × 100 mm. Encontre a altura do centroide ȳ, o momento de inércia Ix e as tensões de flexão nas bordas superior e inferior para um momento positivo (que faz a viga fletir para baixo) de 4 kN·m.

1

Divida em dois retângulos

100201002012

Mesa (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², centroide em y1 = 100 + 10 = 110 mm.

Alma (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², centroide em y2 = 50 mm.

2

Centroide

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

As duas áreas são iguais, então ȳ fica na metade entre 110 e 50 mm.

3

Momentos de inércia próprios

Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4

Termos dos eixos paralelos

1002010020xȳ = 80

Cada centroide está a 30 mm do eixo x: d1 = 110 − 80 = 30 mm e d2 = 50 − 80 = −30 mm.

Para cada parte:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴
5

Momento de inércia total

Ix = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5,33 × 10⁶ mm⁴
6

Tensões de flexão

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. A borda inferior está a 80 mm do eixo, a borda superior a 120 − 80 = 40 mm.

σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

A borda inferior está tracionada e a superior comprimida, como em qualquer viga que flete para baixo.

Resposta

ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σinferior = 60 MPa e σsuperior = 30 MPa.

6Erros comuns

  • Esquecer o termo A·d². Sem ele você apenas soma os valores de I próprios das partes, o que é pequeno demais.
  • Medir as alturas yi a partir de linhas de referência diferentes. Escolha a borda inferior e mantenha-a.
  • Usar d a partir da borda inferior em vez de a partir do centroide total.
  • Trocar b e h em bh³/12. A dimensão perpendicular ao eixo de flexão é a que vai ao cubo.
  • Usar a distância de borda errada em σ = M·y/I. A borda mais afastada do eixo tem a maior tensão.
Autoavaliação Um retângulo de 100 × 20 mm (largura × altura) tem o centroide a 50 mm de um eixo x. Qual é sua contribuição para Ix?
  1. 0,067 × 10⁶ mm⁴
  2. 5,00 × 10⁶ mm⁴
  3. 5,07 × 10⁶ mm⁴
  4. 6,67 × 10⁶ mm⁴

Resposta: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0,067 × 10⁶ esquece A·d²; 5,00 × 10⁶ esquece o termo próprio; 6,67 × 10⁶ usa 1 666 667 (b e h trocados) mais A·d².

7Como são as questões de prova

  • Fácil: centroide. Encontre ȳ de uma seção T acima da sua borda inferior. Variantes: uma seção em L (cantoneira), ou I de um único retângulo, círculo (πd⁴/64) ou caixão.
  • Médio: momento de inércia. Encontre Ix da seção T em torno do seu eixo centroidal. Variantes: seções I, perfis U e o raio de giração r = √(I/A).
  • Difícil: tensão de flexão. A seção T suporta um momento M; encontre a tensão na borda superior ou inferior com σ = M·y/I.

As dimensões dadas são bf e tf para a mesa, e tw e hw para a alma.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
260102808ȳ = ?dimensões em mm

Encontre a altura ȳ do centroide da seção T acima da borda inferior.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm

Calcule ȳ (mm)

Mostrar dicas
  1. Divida o T em uma mesa e uma alma, e encontre a área e a altura do centroide de cada uma.
  2. ȳ = ΣA·y / ΣA, com todo y medido a partir da borda inferior.
  3. Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
alma: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217,9 mm

Resposta

ȳ = 217,9 mm
Exemplo 2Média
100 mm240 mm156 mmØ30xIx​ = ?

Uma placa de 100 mm × 240 mm tem um furo circular de diâmetro 30 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 156 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmcentro do furo: y = 156 mm

Calcule Ix (× 10⁶ mm⁴)

Mostrar dicas
  1. Encontre primeiro o centroide: a placa menos o furo.
  2. ȳ = 118,9 mm.
  3. Depois I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) em torno de ȳ.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm

Placa inteira em torno de ȳ

100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Exemplo 3Difícil
100 mm200 mm120 mm30 × 20xIx​ = ?

Uma placa de 100 mm × 200 mm tem um recorte retangular de 30 mm de largura e 20 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 120 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 100 mmh = 200 mmrecorte: 30 × 20 mmcentro do furo: y = 120 mm

Calcule Ix (× 10⁶ mm⁴)

Mostrar dicas
  1. Encontre primeiro o centroide: a placa menos o furo.
  2. ȳ = 99,38 mm.
  3. Depois I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) em torno de ȳ.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm

Placa inteira em torno de ȳ

100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Perguntas e respostas

Centroide e momento de inércia: o que é?

Corte uma viga em linha reta e olhe a face do corte. Essa forma é a seção transversal, ou simplesmente a seção.

Pegue uma tábua de madeira de 100 × 20 mm. Deite-a sobre um vão e ela envergará muito. Coloque a mesma tábua de lado (de cutelo) e ela fica bem mais rígida, embora tenha exatamente a mesma área.

Centroide e momento de inércia: como resolver os exercícios passo a passo?

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide e momento de inércia: o que se pratica?
  • Fácil: centroide
  • Média: momento de inércia
  • Difícil: tensão de flexão

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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