Esforço cortante e momento fletor: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: diagrama de esforço cortante · diagrama de momento fletor · esforços internos

Exercícios grátis de Esforço cortante e momento fletor com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: carga concentrada, carga distribuída em todo o vão, carga concentrada + distribuída.

Exercício gratuitoFácil
P = 60 kNAB2,5 m2,5 m

A viga simplesmente apoiada suporta uma única carga concentrada P. Encontre o esforço cortante Vx logo à direita da carga. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 60 kN em 2,5 m
kN
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O que você pratica

  1. Fácilcarga concentrada
  2. Médiacarga distribuída em todo o vão
  3. Difícilcarga concentrada + distribuída

Como resolver exercícios de Esforço cortante e momento fletor

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Erros comuns

  • Incluir cargas dos dois lados do corte.
  • Usar a convenção de sinais errada para momentos positivos e negativos.
  • Responder com o esforço cortante quando é pedido o momento fletor.

Fórmulas principais

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Aprenda Esforço cortante e momento fletor do zero

Antes disso: Reações de apoio em vigas

1O que acontece dentro de uma viga

Na lição sobre reações você encontrou as forças que agem sobre uma viga por fora. Agora olhe por dentro: o que o material em um ponto da viga precisa suportar?

Imagine serrar a viga em duas partes em algum ponto. Cada metade cairia. Para mantê-la no lugar, a outra metade precisa segurá-la com duas ações internas:

  • o esforço cortante V, que impede um lado de deslizar para cima ou para baixo em relação ao outro (em kN);
  • o momento fletor M, que impede um lado de girar em relação ao outro (em kN·m).
PAB2 m2 m2 m

Uma viga que se curva como um sorriso, com a parte de baixo esticada, está sofrendo flexão positiva. Uma viga que se curva como uma carranca, como uma varanda, está sofrendo flexão negativa.

Engenheiros precisam de M porque a tensão de flexão na viga cresce com ele, e de V porque a viga não pode ser cisalhada perto dos apoios.

Autoavaliação Uma viga biapoiada suporta uma carga para baixo. Qual lado da viga é tracionado?
  1. A parte de baixo: a viga está sob flexão positiva
  2. A parte de cima: a viga está sob flexão negativa
  3. Nenhum dos lados, a viga apenas encurta
  4. Os dois lados igualmente

Resposta: A parte de baixo: a viga está sob flexão positiva. Uma viga sobre dois apoios se curva como um sorriso sob uma carga para baixo. As fibras inferiores ficam mais longas (tração), as superiores mais curtas (compressão).

2O método das seções

Para encontrar V e M a uma distância x de A, corte a viga ali e fique apenas com a parte à esquerda do corte. Essa parte está em equilíbrio por si só.

RA​VMAx

As regras de sinais usuais: uma força para cima na parte esquerda conta como esforço cortante positivo, e um momento que traciona a parte de baixo é positivo. Isso dá duas receitas curtas:

  • Esforço cortante: V = RA menos todas as cargas para baixo à esquerda do corte.
  • Momento fletor: M = RA·x menos, para cada carga à esquerda do corte, a carga vezes sua distância ao corte.

A parte de uma carga distribuída à esquerda do corte age como uma única força w·ℓ no seu próprio ponto médio, assim como na lição sobre reações.

Você pode ficar com a parte direita. Obtém os mesmos V e M, o que é uma boa verificação.

Autoavaliação RA = 10 kN. A primeira carga está a 5 m de A. Qual é o momento fletor em x = 3 m?
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3,3 kN·m
  4. 30 kN·m

Resposta: 30 kN·m. Não há carga à esquerda do corte, então M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m. 10 kN é o esforço cortante ali, não o momento.

3Diagramas e o momento máximo

Se você calcular V e M em cada x, obtém o diagrama de esforço cortante e o diagrama de momento fletor. Suas formas seguem regras simples:

  • Entre cargas concentradas, V é constante e M é uma reta.
  • Sob uma carga distribuída, V desce em linha reta e M é uma curva (uma parábola).
  • Uma carga concentrada faz V dar um salto do tamanho da carga.
  • M é máximo onde V muda de sinal, passando por zero.

Dois resultados aparecem com tanta frequência que vale a pena conhecê-los:

  • Carga concentrada P no meio do vão: Mmax = P·L / 4
  • Carga distribuída w em todo o vão: Mmax = w·L² / 8
Autoavaliação Uma viga biapoiada de 6 m suporta uma carga distribuída de 4 kN/m em todo o vão. Qual é o maior momento fletor?
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

Resposta: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m no meio do vão. 36 usa /4 (a regra da carga concentrada); 12 kN é a reação wL/2.

4O método passo a passo

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção x e fique com a parte esquerda.
  3. Esforço cortante: V = RA menos todas as cargas para baixo na parte esquerda.
  4. Momento fletor: M = RA·x menos cada carga da parte esquerda vezes sua distância ao corte.
  5. Para o momento máximo: encontre onde V = 0 e calcule M ali.

Desenhe a parte esquerda como um pequeno esboço separado. Fica óbvio quais cargas incluir.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Uma viga biapoiada de vão 6 m suporta uma carga distribuída de 4 kN/m em todo o comprimento. Encontre o esforço cortante V e o momento fletor M em x = 2 m de A.

1

Olhe para a viga

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

Reações de apoio

A carga total é 4 · 6 = 24 kN, no meio. Por simetria, cada apoio suporta metade:

RA = RB = 12 kN
3

Fique com a parte esquerda

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

A carga distribuída na parte esquerda é 4 · 2 = 8 kN. Ela age no seu próprio ponto médio, a 1 m do corte.

4

Força cortante

V = 12 − 8 = 4 kN
5

Momento fletor

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

É positivo, então a viga sofre flexão positiva aqui.

6

Verifique a resposta

Use a parte direita: ela tem 4 m de comprimento, com RB = 12 kN e uma carga distribuída de 16 kN a 2 m do corte.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

O diagrama completo é uma parábola com pico wL²/8 = 18 kN·m no meio do vão. 16 kN·m em x = 2 m confere.

1618 kN·mMx = 2x = 3
Resposta

V = 4 kN e M = 16 kN·m (flexão positiva).

6Erros comuns

  • Incluir cargas dos dois lados do corte. Use apenas a parte que você manteve.
  • Medir o braço de alavanca a partir de A em vez de a partir do corte. Em M, cada distância vai da carga até o corte.
  • Responder com V quando se pede M, ou o contrário. Confira a unidade: kN ou kN·m.
  • Tomar a carga distribuída inteira em vez de apenas a parte à esquerda do corte.
  • Misturar regras de sinais. Com as regras usuais, uma viga biapoiada sob cargas para baixo tem momentos positivos em todos os pontos.
Autoavaliação Uma viga biapoiada de 4 m suporta 20 kN no meio do vão, então RA = 10 kN. Qual é M em x = 1 m?
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

Resposta: 10 kN·m. Só RA está à esquerda do corte: M = 10·1 = 10 kN·m. 0 subtrai erradamente a carga, que está à direita do corte. 20 kN·m é PL/4, o máximo no meio do vão. 10 kN é o esforço cortante.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: uma carga concentrada. Encontre M na carga, ou V logo ao lado dela. Há variantes com viga em balanço, em que M é máximo na parede.
  • Médio: uma carga distribuída em todo o vão, como no exemplo. Encontre V ou M em um x dado, ou o momento máximo.
  • Difícil: uma carga concentrada e uma distribuída juntas, ou uma carga distribuída parcial. Encontre M em uma seção ou o momento máximo onde V = 0.

Algumas versões usam uma viga com balanço além de um apoio. O balanço sofre flexão negativa, então M é negativo ali.

Comece sempre pelas reações e anote-as no seu esboço.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
Mostrar dicas
  1. Os picos do momento fletor ficam onde a força cortante muda de sinal, em uma parede engastada, ou sobre um apoio ao lado de um balanço.
  2. Encontre primeiro as reações de apoio: R1 = 33,33 kN.
  3. Compare os momentos nas marcas candidatas; o maior valor absoluto é 66,67 kN·m.
Mostrar a resposta e a explicação

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 33,33 kN, R2 = 6,667 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = 66,67 kN·m, MC = 53,33, MD = 40, ME = 26,67, MF = 13,33, MG = 0

Resposta

Marca B: MB = 66,67 kN·m
Exemplo 2Média
w = 5 kN/mABseção0,5 m5,5 m

Encontre o momento fletor Mx na seção x = 0,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 5 kN/m de 0 a 6 mx = 0,5 m

Calcule Mx (kN·m)

Mostrar dicas
  1. Primeiro encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Depois corte a viga em x = 0,5 m e olhe apenas para a parte à esquerda do corte. Some os momentos dessas forças em relação ao corte.
  3. RA = 15 kN.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, atuando em x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15seção0,5 m5,5 m

Corte em x = 0,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Resposta

Mx = 6,875 kN·m
Exemplo 3Difícil
w = 6 kN/mP = 45 kNABseção1,5 m3,5 m1 m

Encontre o momento fletor Mx na seção x = 5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mP = 45 kN em 1,5 mw = 6 kN/m de 0 a 6 mx = 5 m

Calcule Mx (kN·m)

Mostrar dicas
  1. Primeiro encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Depois corte a viga em x = 5 m e olhe apenas para a parte à esquerda do corte. Some os momentos dessas forças em relação ao corte.
  3. RA = 51,75 kN.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, atuando em x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 6·6·3
RB = 175,5/6 = 29,25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29,25 = 51,75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,75RB​ = 29,25seção1,5 m3,5 m1 m

Corte em x = 5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 51,75·5 − 45·(5 − 1,5) − 6·5·2,5 = 26,25 kN·m

Resposta

Mx = 26,25 kN·m

Perguntas e respostas

Esforço cortante e momento fletor: o que é?

Na lição sobre reações você encontrou as forças que agem sobre uma viga por fora. Agora olhe por dentro: o que o material em um ponto da viga precisa suportar?

Imagine serrar a viga em duas partes em algum ponto. Cada metade cairia. Para mantê-la no lugar, a outra metade precisa segurá-la com duas ações internas:

Esforço cortante e momento fletor: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Esforço cortante e momento fletor: quais são os erros mais comuns?
  • Incluir cargas dos dois lados do corte.
  • Usar a convenção de sinais errada para momentos positivos e negativos.
  • Responder com o esforço cortante quando é pedido o momento fletor.
Esforço cortante e momento fletor: o que se pratica?
  • Fácil: carga concentrada
  • Média: carga distribuída em todo o vão
  • Difícil: carga concentrada + distribuída

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
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