Flambagem de pilares: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: flambagem · encurvadura · carga crítica de Euler

Exercícios grátis de Flambagem de pilares com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: extremidades articuladas, outras condições de apoio, dimensionamento e tensão crítica.

Exercício gratuitoFácil
PL = 2,5 m40 × 80 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 40 × 80 mm
kN
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O que você pratica

  1. Fácilextremidades articuladas
  2. Médiaoutras condições de apoio
  3. Difícildimensionamento e tensão crítica

Fórmulas principais

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

Aprenda Flambagem de pilares do zero

Antes disso: Centroide e momento de inércia

1O que é a flambagem

Pressione as duas pontas de uma régua de plástico. No começo parece que nada acontece. Então, de repente, ela se curva para o lado. Isso é a flambagem.

Uma coluna é um elemento carregado em compressão ao longo do seu comprimento: um pilar de edifício, um escoramento de telhado, uma haste de pistão.

PL

Uma coluna curta e grossa falha por esmagamento: a tensão P/A atinge a resistência do material. Uma coluna longa e esbelta flamba com uma carga muito menor, quando a tensão ainda está muito abaixo dessa resistência.

A carga na qual uma coluna esbelta flamba é a sua carga crítica Pcr. Acima dela a coluna é instável e cede.

Autoavaliação Duas colunas de aço têm a mesma seção transversal. Uma tem 2 m de comprimento, a outra 4 m. Qual flamba com a menor carga?
  1. A coluna de 2 m
  2. A coluna de 4 m
  3. As duas com a mesma carga
  4. Nenhuma: colunas de aço não flambam

Resposta: A coluna de 4 m. Uma coluna mais longa é mais esbelta e flamba com mais facilidade. O comprimento é o fator mais importante na flambagem.

2Fórmula de Euler

Leonhard Euler encontrou a carga crítica de uma coluna esbelta:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E é o módulo de Young do material: 200 GPa para o aço.
  • I é o momento de inércia da seção transversal. Use o menor: a coluna flete do jeito mais fácil.
  • L é o comprimento, e K é o fator de comprimento efetivo, que depende de como as extremidades são vinculadas.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Uma extremidade articulada pode girar; uma engastada não. Vincular as extremidades com mais firmeza dá um comprimento efetivo KL menor e um Pcr muito maior, porque KL está ao quadrado.

Para uma barra circular I = π·d⁴/64. Para um retângulo b × h com b o lado menor, Imin = h·b³/12.

Autoavaliação Uma coluna biarticulada tem Pcr = 100 kN. A mesma coluna é feita engastada na base e livre no topo (K = 2). Qual é Pcr agora?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Resposta: 25 kN. Pcr é dividido por K² = 4: 100/4 = 25 kN. 50 kN esquece de elevar K ao quadrado; 200 e 400 kN multiplicam em vez de dividir.

3Esbeltez e tensão crítica

Dividir Pcr pela área dá a tensão crítica. Ela fica mais elegante escrita com o raio de giração r e o índice de esbeltez λ (lambda):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Para uma barra circular maciça, r = d/4.

A fórmula de Euler só vale enquanto σcr ficar abaixo da tensão de escoamento do material. Para o aço estrutural isso significa uma esbeltez de aproximadamente λ > 100. Colunas mais robustas falham por escoamento ou por uma mistura dos dois e precisam de outras regras de projeto.

Autoavaliação A seção de uma coluna retangular é 20 mm × 40 mm. Qual é o menor momento de inércia?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Resposta: 26 667 mm⁴. O eixo fraco eleva ao cubo o lado menor: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 é o eixo forte; 320 000 esquece o /12; 7854 usa a fórmula do círculo.

4O método passo a passo

  1. Leia as condições de extremidade e escolha K: 1, 2, 0,7 ou 0,5.
  2. Encontre o menor I da seção, em mm⁴.
  3. Converta para N e mm: L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000).
  4. Comprimento efetivo: KL.
  5. Carga crítica: Pcr = π²EI/(KL)², em N. Divida por 1000 para kN.
  6. Se pedido, verifique a esbeltez KL/r ou a tensão crítica Pcr/A.

Numa questão de projeto com fator de segurança n, a coluna deve ter Pcr = n·P. Resolva a fórmula de Euler para I e depois para o diâmetro.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Uma coluna circular maciça de aço (E = 200 GPa) com diâmetro de 40 mm e comprimento de 2 m é articulada nas duas extremidades. Encontre sua carga crítica de flambagem Pcr. Depois encontre-a de novo para a mesma coluna engastada na base e livre no topo.

1

Olhe para a coluna

PL = 2 m

Articulada nas duas extremidades, então K = 1 e KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Momento de inércia de área

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Carga crítica

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Verifique se Euler se aplica

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

Isso está muito abaixo da tensão de escoamento do aço (cerca de 250 MPa), então a coluna é esbelta e a fórmula de Euler é válida.

5

Base engastada, topo livre

Agora K = 2, então o comprimento efetivo dobra para 4000 mm e Pcr cai por um fator 2² = 4:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Resposta

Pcr = 62,0 kN articulada nas duas extremidades, e 15,5 kN quando engastada na base e livre no topo.

6Erros comuns

  • Escolher o K errado, ou esquecer de elevá-lo ao quadrado.
  • Usar o maior I de um retângulo. Uma coluna sempre flamba em torno do seu eixo fraco.
  • Misturar unidades: L em metros com E em N/mm². Trabalhe em N e mm do começo ao fim.
  • Usar π·d⁴/32 (o momento polar J da torção) em vez de π·d⁴/64.
  • Aplicar Euler a uma coluna curta e robusta cuja tensão crítica ficaria acima da tensão de escoamento.
Autoavaliação Uma coluna articulada nas duas extremidades tem Pcr = 40 kN. A mesma coluna é engastada nas duas extremidades (K = 0,5). Qual é Pcr?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Resposta: 160 kN. Pcr é dividido por K² = 0,25, então fica quatro vezes maior: 160 kN. 80 kN esquece de elevar K ao quadrado; 10 kN multiplica por K² em vez de dividir.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: extremidades articuladas. Encontre Pcr de uma coluna circular ou retangular de aço ou alumínio.
  • Médio: outras condições de extremidade. A mesma questão com K = 2, 0,7 ou 0,5.
  • Difícil: projeto e tensão crítica. Encontre o menor diâmetro que suporta uma carga com um fator de segurança, ou encontre a esbeltez e σcr.

Para o caso de projeto com uma barra circular: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
PL = 5 md = 50 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

Calcule Pcr (kN)

Mostrar dicas
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Fator de comprimento efetivo: K = 1 para um pilar articulado nas duas extremidades.
  3. I = 306796 mm⁴.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·5000 = 5000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Resposta

Pcr = 8,478 kN
Exemplo 2Média
PL = 2,5 md = 30 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)d = 30 mm

Calcule Pcr (kN)

Mostrar dicas
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Fator de comprimento efetivo: K = 2 para um pilar engastado na base e livre no topo.
  3. I = 39761 mm⁴.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Resposta

Pcr = 3,139 kN
Exemplo 3Difícil
PL = 2,5 md = 25 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σcr pela fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 25 mm

Calcule σcr (MPa)

Mostrar dicas
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², com r = √(I/A) o raio de giração.
  2. Use o menor I, porque o pilar flamba em torno do seu eixo mais fraco.
  3. r = 6,25 mm.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Tensão crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Resposta

σcr = 4,318 MPa

Perguntas e respostas

Flambagem de pilares: o que é?

Pressione as duas pontas de uma régua de plástico. No começo parece que nada acontece. Então, de repente, ela se curva para o lado. Isso é a flambagem.

Uma coluna é um elemento carregado em compressão ao longo do seu comprimento: um pilar de edifício, um escoramento de telhado, uma haste de pistão.

Flambagem de pilares: como resolver os exercícios passo a passo?

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Flambagem de pilares: o que se pratica?
  • Fácil: extremidades articuladas
  • Média: outras condições de apoio
  • Difícil: dimensionamento e tensão crítica

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