Deflexão da viga: exercícios com soluções passo a passo

Q: Deflexão da viga: como resolver os exercícios passo a passo?

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Q: Deflexão da viga: o que se pratica?

Fácil: balanço, carga na ponta Média: carga uniforme Difícil: superposição e dimensionamento Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Também chamado: flecha · linha elástica · deformação de vigas

Exercícios grátis de Deflexão da viga com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: balanço, carga na ponta, carga uniforme, superposição e dimensionamento.

Exercício gratuitoFácil

Uma viga em balanço suporta uma carga concentrada P na extremidade livre. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

Próximo exercício →

Pratique Deflexão da viga de graça Pratique Deflexão da viga agora5 exercícios grátis todos os dias. Sem cartão.

O que você pratica

Fácilbalanço, carga na ponta
Médiacarga uniforme
Difícilsuperposição e dimensionamento

Fórmulas principais

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Aprenda Deflexão da viga do zero

Antes disso: Esforço cortante e momento fletor, Centroide e momento de inércia

1O que é a deflexão

Toda viga se curva um pouco sob carga. A distância que um ponto da viga desce é a sua deflexão δ, geralmente em mm.

Uma viga pode ser resistente o bastante e mesmo assim fletir demais. Os pisos ficam então elásticos, o reboco racha e as portas emperram. Um limite comum para pisos é vão/360: um piso de 3,6 m pode defletir no máximo 10 mm.

Quanto uma viga deflete depende de quatro coisas:

a carga: o dobro da carga dá o dobro da deflexão;
o vão: a deflexão cresce muito rápido com o comprimento (L³ ou L⁴);
o módulo de Young E do material: um material mais rígido flete menos;
o momento de inércia I da seção: uma seção mais alta flete menos.

E e I aparecem sempre juntos como o produto EI, a rigidez à flexão da viga.

Autoavaliação Você substitui uma viga por outra com o dobro do momento de inércia I. Todo o resto permanece igual. O que acontece com a deflexão?

Dobra
Ela permanece igual
Fica pela metade
Fica um quarto

Resposta: Fica pela metade. A deflexão é inversamente proporcional a EI. Dobrar I reduz δ à metade.

2As fórmulas padrão

As deflexões vêm de integrar duas vezes o momento fletor, mas para os casos comuns o resultado é tabelado. Quatro casos cobrem a maioria das questões:

Viga em balanço, carga concentrada P na extremidade livre: δ = P·L³ / (3·E·I)
Viga em balanço, carga distribuída w em todo o comprimento: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
Biapoiada, carga concentrada P no meio do vão: δ_max = P·L³ / (48·E·I)
Biapoiada, carga distribuída w em todo o vão: δ_max = 5·w·L⁴ / (384·E·I)

Numa viga em balanço a maior deflexão fica na extremidade livre; numa viga biapoiada com cargas simétricas ela fica no meio do vão.

Quando uma viga suporta várias cargas, as deflexões de cada carga isolada se somam. Isso é a superposição.

Autoavaliação Uma viga em balanço com carga na ponta tem deflexão de 2 mm na extremidade. A viga em balanço passa a ter o dobro do comprimento. Qual é a nova deflexão?

16 mm
32 mm
4 mm
8 mm

Resposta: 16 mm. δ é proporcional a L³, então dobrar L multiplica δ por 2³ = 8: 2·8 = 16 mm. 4 mm trata a relação como linear; 32 mm usa L⁴, que é o caso da carga distribuída.

3Unidades: trabalhe em N e mm

As fórmulas só funcionam com unidades coerentes. A escolha segura é newtons e milímetros:

P em N: kN × 1000.
w em N/mm: 1 kN/m é exatamente 1 N/mm.
L em mm: m × 1000.
E em N/mm²: GPa × 1000. Aço: 200 GPa = 200 000 N/mm².
I em mm⁴: “36 × 10⁶ mm⁴” significa 36 000 000 mm⁴.

A deflexão sai então em mm. Como L é elevado à terceira ou quarta potência, os números ficam grandes. Uma calculadora com potências de dez ajuda a controlá-los.

Autoavaliação Uma viga é de aço, E = 200 GPa. Qual valor de E você usa com N e mm?

0,2 N/mm²
200 000 000 N/mm²
200 000 N/mm²
200 N/mm²

Resposta: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², então 200 GPa = 200 000 N/mm². Usar 200 deixa a deflexão 1000 vezes maior que o correto.

4O método passo a passo

Identifique o caso: viga em balanço ou biapoiada, carga concentrada ou distribuída.
Converta P, w, L, E e I para N e mm.
Escolha a fórmula correspondente.
Calcule δ em mm.
Para várias cargas: calcule cada uma isoladamente e some.
Para uma questão de projeto: iguale δ ao valor admissível (por exemplo L/360) e resolva para I.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Uma viga em balanço de aço (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) tem 3 m de comprimento e suporta uma carga concentrada de 8 kN na extremidade livre. Encontre a deflexão na extremidade livre.

Identifique o caso

Uma viga em balanço com carga concentrada na extremidade livre: δ = PL³/(3EI).

Converta para N e mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

Rigidez à flexão

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²

Deflexão na ponta

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³

δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm

Verifique a resposta

10 mm numa viga em balanço de 3 m é L/300. É um valor realista para uma viga de aço carregada: nem uma fração de milímetro, nem dezenas de centímetros.

Resposta

A extremidade livre deflete δ = 10 mm.

6Erros comuns

Misturar unidades: L em metros com E em N/mm² dá resultado sem sentido. Converta tudo para N e mm primeiro.
Deixar E em GPa, o que torna δ 1000 vezes maior que o correto.
Usar o caso errado, por exemplo PL³/(48EI) para uma viga em balanço. Confira os apoios e o tipo de carga.
Esquecer o 5 em 5wL⁴/(384EI).
Na superposição, usar uma fórmula diferente para cada carga mas esquecer uma das cargas.

Autoavaliação Uma viga biapoiada suporta uma carga concentrada no meio do vão que sozinha dá 4 mm e uma carga distribuída que sozinha dá 6 mm. Qual é a deflexão no meio do vão?

10 mm
2 mm
24 mm
6 mm

Resposta: 10 mm. Pela superposição, as deflexões de cada carga se somam: 4 + 6 = 10 mm. Tomar só a maior, a diferença ou o produto estão todos errados.

7Como são as questões de prova

Fácil: viga em balanço com carga na extremidade. Encontre δ = PL³/(3EI). Variantes: uma viga biapoiada com carga central, a inclinação na extremidade, ou a carga que produz uma certa deflexão.
Médio: carga uniforme. Uma viga em balanço (wL⁴/8EI) ou uma viga biapoiada (5wL⁴/384EI). Variantes: cargas fora do centro e inclinações nas extremidades.
Difícil: superposição e projeto. Some as deflexões de uma carga concentrada e de uma carga distribuída, ou encontre o menor I que mantém δ abaixo de L/360.

Para o caso de projeto: I_nec = 5wL⁴ / (384·E·δ_adm), com δ_adm = L/360.

Aprenda passo a passo no aplicativo Aprenda passo a passo no aplicativo

Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P no meio do vão. Encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 12 × 10⁶ mm⁴

Calcule δ_max (mm)

Mostrar dicas

Para uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada central, a deflexão no meio do vão é δ = PL³/(48EI).
Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.
EI = 2,4 × 10¹² N·mm².

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Deflexão no meio do vão

δ_max = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

Resposta

δ_max = 10,56 mm

Exemplo 2Média

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 2 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (aço)I = 84 × 10⁶ mm⁴

Calcule δ_B (mm)

Mostrar dicas

O trecho entre A e a carga se comporta como um balanço de comprimento a com carga na ponta: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
Além da carga não há momento, então esse trecho permanece reto: δ_B = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4,127 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

Resposta

δ_B = 16,51 mm

Exemplo 3Difícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 100 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/360. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 100 mm

Calcule h_req (mm)

Mostrar dicas

Iguale a deflexão no meio do vão 5wL⁴/(384EI) ao limite e resolva para o I necessário.
Depois use I = bh³/12 para o retângulo e resolva para h.
I_req = 4,602 × 10⁷ mm⁴.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·4,602 × 10⁷/100)^1/3 = 176,8 mm

Resposta

h_req = 176,8 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

Perguntas e respostas

Deflexão da viga: o que é?

Toda viga se curva um pouco sob carga. A distância que um ponto da viga desce é a sua deflexão δ, geralmente em mm.

Deflexão da viga: como resolver os exercícios passo a passo?

Deflexão da viga: quais são os erros mais comuns?

PL³/(3EI) é o balanço com carga na ponta. Uma viga simplesmente apoiada com carga central deflete PL³/(48EI).
O coeficiente 5/384 pertence a uma carga uniforme (com wL⁴). Para uma carga concentrada central use 1/48.
Essa é a deflexão sob a carga. Além da carga a viga fica reta, mas inclinada, então some θ·(L − a).

Deflexão da viga: o que se pratica?

Fácil: balanço, carga na ponta
Média: carga uniforme
Difícil: superposição e dimensionamento

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

Temas antes e depois deste

Estude antes

Esforço cortante e momento fletor Centroide e momento de inércia

Calculadoras

Calculadora de deflexão de viga

Disciplinas com este tópico

Resistência dos Materiais Análise Estrutural Preparação para o exame FE Mechanical Preparação para o exame FE Civil

Mais temas de Civil

Esforço cortante e momento fletor Treliça: método dos nós Centroide e momento de inércia Flambagem de pilares Tensão efetiva no solo Recalque por adensamento Força hidrostática Escoamento em canais abertos (Manning)

Lista de exercícios para imprimir

Lista de exercícios de Deflexão da viga com respostas

Pratique Deflexão da viga de graça Pratique Deflexão da viga agora5 exercícios grátis todos os dias. Sem cartão.