Engrenagens e trens de engrenagens: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Engrenagens e trens de engrenagens com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: relação de velocidades, torque e potência, trem de engrenagens composto.

Exercício gratuitoFácil
N1​ = 30N2​ = 48

Uma engrenagem motora com 30 dentes gira a 1500 rpm e engrena com uma engrenagem de 48 dentes. Calcule a rotação n2 da engrenagem movida.

N1 = 30N2 = 48n1 = 1500 rpm
rpm
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O que você pratica

  1. Fácilrelação de velocidades
  2. Médiatorque e potência
  3. Difíciltrem de engrenagens composto

Fórmulas principais

Engrenagens acopladas
n1·N1 = n2·N2
Torque
T2 = T1·(N2/N1)·η
Potência
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Trem composto
relação total = produto das relações de cada estágio

Aprenda Engrenagens e trens de engrenagens do zero

1O que as engrenagens fazem

As engrenagens transmitem rotação de um eixo para outro. Seus dentes se encaixam uns nos outros, então não podem escorregar.

Uma caixa de engrenagens faz dois trabalhos ao mesmo tempo. Ela muda a velocidade de rotação e muda o torque, a força de giro no eixo. Mais lento significa mais forte.

Um motor elétrico gira rápido mas com pouco torque. Um par de engrenagens o desacelera para que ele possa mover uma esteira pesada ou um guincho. Uma bicicleta em marcha leve funciona do mesmo jeito.

A engrenagem acionada pelo motor é a motora (muitas vezes uma engrenagem pequena chamada pinhão). A engrenagem que ela gira é a movida.

N1​, n1​N2​, n2​

Duas engrenagens engrenadas giram em sentidos opostos.

Autoavaliação Uma engrenagem pequena aciona uma grande. Em comparação com a pequena, a grande gira…
  1. mais devagar, com mais torque
  2. mais devagar, com menos torque
  3. mais rápido, com mais torque
  4. à mesma velocidade e no mesmo sentido

Resposta: mais devagar, com mais torque. A engrenagem grande precisa de mais voltas da pequena para uma volta sua, então é mais lenta. A potência é quase a mesma, então o eixo mais lento transmite mais torque.

2A relação de velocidades

No ponto em que duas engrenagens se tocam, seus dentes passam na mesma taxa. Se o pinhão dá uma volta com 20 dentes, ele empurra 20 dentes da engrenagem grande. Uma engrenagem de 60 dentes faz então apenas um terço de volta.

Assim, as velocidades n (em rpm) e os números de dentes N se relacionam por:

n1 · N1 = n2 · N2

A relação de transmissão é i = N2 / N1 = n1 / n2. Uma relação 3 significa que a saída gira três vezes mais devagar.

Em um trem de engrenagens composto, duas engrenagens ficam no mesmo eixo intermediário, então giram à mesma velocidade. A relação total é o produto das relações dos estágios:

itotal = (NB / NA) · (ND / NC)

Uma engrenagem intermediária (louca) entre outras duas (cada uma no seu próprio eixo) muda apenas o sentido de rotação. A velocidade da última engrenagem depende só da primeira e da última.

Autoavaliação Uma engrenagem de 20 dentes girando a 900 rpm aciona uma de 60 dentes. Com que velocidade gira a engrenagem de 60 dentes?
  1. 1,33 rpm
  2. 2700 rpm
  3. 300 rpm
  4. 900 rpm

Resposta: 300 rpm. n2 = n1 · N1/N2 = 900 · 20/60 = 300 rpm. Multiplicar por 60/20 dá 2700 rpm: a engrenagem grande giraria então mais rápido, o que é o contrário do correto.

3Torque e potência

A potência é o torque vezes a velocidade angular. A velocidade angular precisa estar em rad/s, então primeiro converta de rpm:

ω = 2π · n / 60 P = T · ω

Um par de engrenagens transmite quase toda a potência. Apenas alguns por cento se perdem por atrito, descritos pelo rendimento η (tipicamente 0,95 a 0,98):

P2 = η · P1

Como a velocidade cai pela relação de transmissão enquanto a potência permanece quase a mesma, o torque aumenta por essa relação:

T2 = T1 · (N2 / N1) · η
Autoavaliação Um motor de 3 kW gira a 955 rpm. Que torque ele fornece?
  1. 0,03 N·m
  2. 188 N·m
  3. 3,14 N·m
  4. 30 N·m

Resposta: 30 N·m. ω = 2π · 955/60 = 100 rad/s, então T = 3000/100 = 30 N·m. Dividir diretamente pelas rpm dá 3,14, deixar a potência em kW dá 0,03, e esquecer o 2π dá 188.

4O método passo a passo

  1. Esboce as engrenagens e escreva o número de dentes de cada uma. Marque o eixo de entrada e o de saída.
  2. Encontre a relação de cada estágio, dentes da movida / dentes da motora, e multiplique os estágios para um trem composto.
  3. Velocidade de saída: nsai = nent / itotal.
  4. Torque de entrada vindo do motor: converta rpm em rad/s com ω = 2π·n/60 e depois T = P/ω.
  5. Torque de saída: multiplique pela relação e pelo rendimento de cada engrenamento.

Confira o sentido da resposta: uma redução deixa a saída mais lenta e seu torque maior.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Um motor de 4 kW a 1200 rpm aciona um pinhão de 20 dentes, que engrena com uma engrenagem de 60 dentes. O par de engrenagens tem rendimento de 96%. Encontre a velocidade da engrenagem e o torque de saída no seu eixo.

1

Desenhe o par

20, 1200 rpm60, n2​ = ?

O pinhão é a engrenagem motora. A relação de transmissão é i = 60/20 = 3.

2

Velocidade de saída

n2 = n1 · N1 / N2 = 1200 · 20 / 60 = 400 rpm
3

Torque de entrada

Converta primeiro a velocidade do motor para rad/s:

ω1 = 2π · 1200 / 60 = 125,7 rad/s
T1 = P / ω1 = 4000 / 125,7 = 31,83 N·m
4

Torque de saída

T2 = T1 · (N2 / N1) · η = 31,83 · 3 · 0,96 = 91,7 N·m
5

Verifique a resposta

Potência de saída: P2 = 0,96 · 4000 = 3840 W, e ω2 = 2π · 400/60 = 41,89 rad/s.

T2 = 3840 / 41,89 = 91,7 N·m

O mesmo torque, obtido a partir da potência. A resposta está certa.

Resposta

A engrenagem gira a n2 = 400 rpm com um torque de saída de T2 ≈ 91,7 N·m.

6Erros comuns

  • Inverter a razão dos dentes. Uma engrenagem movida maior deve girar mais devagar.
  • Usar rpm em P = T·ω. Converta para rad/s com ω = 2π·n/60.
  • Dividir o torque pela relação em vez de multiplicar. Uma redução aumenta o torque.
  • Dividir pelo rendimento. O atrito reduz o torque de saída, então multiplique por η.
  • Contar uma engrenagem intermediária na relação, ou multiplicar os dentes de duas engrenagens que estão no mesmo eixo.
Autoavaliação Um pinhão de 20 dentes transmite 10 N·m e aciona uma engrenagem de 60 dentes. O rendimento é 95%. Qual é o torque de saída?
  1. 28,5 N·m
  2. 3,17 N·m
  3. 30 N·m
  4. 31,6 N·m

Resposta: 28,5 N·m. T2 = 10 · (60/20) · 0,95 = 28,5 N·m. Dividir pela relação dá 3,17, ignorar o rendimento dá 30, e dividir por η dá 31,6.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: a relação de velocidades. Encontre a velocidade da engrenagem movida, ou o número de dentes necessário para uma dada velocidade. Variações incluem uma engrenagem intermediária e o tamanho das engrenagens a partir do módulo m: diâmetro primitivo d = m·N, distância entre centros a = m·(N1 + N2)/2.
  • Médio: torque e potência. Um motor de potência e velocidade dadas aciona um par de engrenagens: encontre o torque de entrada ou de saída. Outras pedem a força tangencial nos dentes, Ft = 2T/d, ou envolvem uma transmissão por parafuso sem-fim (relação = dentes da coroa / entradas do parafuso).
  • Difícil: um trem de engrenagens composto. Encontre a velocidade de saída, os dentes necessários na última engrenagem, ou o torque de saída com um rendimento para cada engrenamento. Algumas questões usam um conjunto de engrenagens planetárias.

Para um trem composto como A (20) → B (60), depois C (15) → D (45): i = 3 · 3 = 9, então uma entrada de 900 rpm dá 100 rpm na saída.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
d1​ = 160 mmd2​ = 400 mm1500 rpmn2​ = ?

Um motor girando a 1500 rpm aciona uma polia de 160 mm. Uma correia a liga a uma polia de 400 mm. Supondo que não haja escorregamento, encontre a velocidade n2 da polia movida.

n1 = 1500 rpmd1 = 160 mmd2 = 400 mm

Calcule n2 (rpm)

Mostrar dicas
  1. A correia se move com uma única velocidade, então as duas bordas têm a mesma velocidade.
  2. π·d₁·n₁ = π·d₂·n₂.
  3. n₂ = 1500·160/400.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.

Velocidades periféricas iguais

n₁·d₁ = n₂·d₂

Velocidade da polia movida

n2 = 1500·160/400 = 600 rpm

Resposta

n2 = 600 rpm
Exemplo 2Média
N1​ = 16N2​ = 80

Um motor de 7,5 kW girando a 1450 rpm aciona um pinhão com 16 dentes, que engrena com uma engrenagem de 80 dentes. O par de engrenagens tem rendimento de 98%. Calcule o torque de saída T2 no eixo da engrenagem.

P = 7,5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 16N2 = 80η = 98%

Calcule T2 (N·m)

Mostrar dicas
  1. Torque do motor a partir da potência: T = P/ω, com ω = 2π·n/60 em rad/s.
  2. ω₁ = 151,8 rad/s.
  3. A engrenagem multiplica o torque por N₂/N₁ (e perde um pouco por atrito).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.

Torque do motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Torque de saída

T2 = 49,39·80/16·0,98 = 242 N·m

Resposta

T2 = 242 N·m
Exemplo 3Difícil
A = 32B = 60C = 50D = ?

Em um trem de engrenagens composto, a engrenagem A (32 dentes) no eixo de entrada gira a 960 rpm e aciona a engrenagem B (60 dentes). A engrenagem C (50 dentes) está fixada no mesmo eixo de B e aciona a engrenagem D no eixo de saída. A saída deve girar a 320 rpm. Quantos dentes ND a engrenagem D deve ter?

nin = 960 rpmA = 32B = 60C = 50nout = 320 rpm

Calcule ND

Mostrar dicas
  1. Primeiro encontre a rotação do eixo intermediário: nB = nin·A/B.
  2. Depois C aciona D: ND = C·nB/nout.
  3. nB = 512 rpm.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Rotação do eixo intermediário

nB = nC = 960·32/60 = 512 rpm

Dentes da engrenagem D

ND = C·nC/nout = 50·512/320 = 80

Resposta

ND = 80

Perguntas e respostas

Engrenagens e trens de engrenagens: o que é?

As engrenagens transmitem rotação de um eixo para outro. Seus dentes se encaixam uns nos outros, então não podem escorregar.

Uma caixa de engrenagens faz dois trabalhos ao mesmo tempo. Ela muda a velocidade de rotação e muda o torque, a força de giro no eixo. Mais lento significa mais forte.

Engrenagens e trens de engrenagens: como resolver os exercícios passo a passo?

Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.

Engrenagens e trens de engrenagens: quais são os erros mais comuns?
  • A polia maior gira mais devagar: n₂ = n₁·d₁/d₂.
  • As velocidades periféricas são iguais, e não as velocidades dos eixos.
  • O torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η.
Engrenagens e trens de engrenagens: o que se pratica?
  • Fácil: relação de velocidades
  • Média: torque e potência
  • Difícil: trem de engrenagens composto

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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