Continuidade e Bernoulli: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: equação de Bernoulli · equação da continuidade · efeito Venturi

Exercícios grátis de Continuidade e Bernoulli com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: continuidade, redução horizontal, tubo em subida.

Exercício gratuitoFácil
12d1​ = 75 mm, v1​ = 0,75 m/sd2​ = 25 mm

A água escoa a 0,75 m/s pelo trecho largo do tubo, que tem diâmetro de 75 mm. Encontre a vazão volumétrica Q.

d1 = 75 mmd2 = 25 mmv1 = 0,75 m/s
L/s
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O que você pratica

  1. Fácilcontinuidade
  2. Médiaredução horizontal
  3. Difíciltubo em subida

Fórmulas principais

Continuidade
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Vazão
Q = A·v
Área do círculo
A = πd²/4

Aprenda Continuidade e Bernoulli do zero

Antes disso: Força hidrostática

1Sobre o que tratam a continuidade e Bernoulli

Ponha o polegar sobre a ponta de uma mangueira de jardim e a água sai mais rápido. A mesma quantidade de água precisa passar por uma abertura menor, então precisa se mover mais depressa.

Essa ideia é a continuidade: em um tubo cheio, a água não pode se acumular nem desaparecer. O que entra a cada segundo precisa sair a cada segundo.

A segunda ideia, a equação de Bernoulli, relaciona velocidade, pressão e altura. Onde a água acelera, sua pressão cai. Onde ela sobe, sua pressão também cai.

Juntas, essas duas ideias permitem prever a velocidade e a pressão em qualquer ponto de um tubo. Neste tópico o fluido é incompressível (como a água) e as perdas por atrito são ignoradas.

Autoavaliação A água escoa por um tubo que se estreita. O que acontece com sua velocidade na parte estreita?
  1. A água para
  2. Aumenta
  3. Diminui
  4. Ela permanece igual

Resposta: Aumenta. O mesmo volume por segundo precisa passar por uma área menor, então a água precisa se mover mais rápido.

2Vazão e continuidade

A vazão volumétrica Q é o volume de fluido que passa por segundo, em m³/s. Um litro por segundo (L/s) é 0,001 m³/s.

Para um fluido que se move com velocidade média v por uma seção transversal de área A:

Q = A · v A = π · d² / 4

A vazão mássica é ṁ = ρ · Q, em kg/s, em que ρ é a massa específica (1000 kg/m³ para a água).

A continuidade diz que Q é o mesmo em todas as seções do tubo:

12v1​v2​d1​d2​p1​p2​
A1 · v1 = A2 · v2

Para tubos circulares o π/4 se cancela, então v2 = v1 · (d1 / d2)². Reduzir o diâmetro à metade torna a água quatro vezes mais rápida.

Autoavaliação Um tubo se estreita de 80 mm para 40 mm. A água se move a 1 m/s na parte larga. Com que velocidade ela se move na parte estreita?
  1. 0,25 m/s
  2. 2 m/s
  3. 4 m/s
  4. 8 m/s

Resposta: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. A área depende do quadrado do diâmetro. Usar a razão dos diâmetros sem elevar ao quadrado dá 2 m/s.

3Equação de Bernoulli

Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, a energia por metro cúbico de fluido permanece a mesma. Ela tem três partes: pressão, movimento e altura.

p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
  • p: a pressão, em Pa.
  • ½ρv²: a energia cinética por m³, também em Pa.
  • ρgz: a energia de altura por m³, em que z é a altura acima de qualquer nível de referência que você escolher.

Assim, se uma parte cresce, outra precisa diminuir. Água mais rápida tem pressão menor. Água mais alta tem pressão menor.

Um caso especial útil é um tanque que esvazia por um pequeno orifício a uma profundidade h abaixo da superfície livre. A superfície quase não se move e os dois pontos estão à pressão do ar, o que dá a lei de Torricelli:

v = √(2gh)
Autoavaliação Um tanque de água aberto esvazia por um pequeno orifício 5 m abaixo da superfície da água. Ignorando as perdas, com que velocidade o jato sai do orifício? (g = 9,81 m/s²)
  1. 49,1 m/s
  2. 7,00 m/s
  3. 9,90 m/s
  4. 98,1 m/s

Resposta: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. Esquecer o 2 dá 7,00 m/s, e esquecer a raiz quadrada dá 98,1.

4O método passo a passo

  1. Esboce o tubo e numere duas seções: 1 onde você sabe mais, 2 onde está a incógnita.
  2. Converta as unidades: mm para m, kPa para Pa, L/s para m³/s.
  3. Encontre as áreas A = π·d²/4 e use a continuidade para obter a velocidade que falta.
  4. Escreva Bernoulli entre as seções 1 e 2. Para um tubo horizontal z1 = z2, então os termos de altura se cancelam.
  5. Resolva para a incógnita e depois converta de volta para kPa se necessário.

Mantenha as unidades coerentes. Com ρ em kg/m³ e v em m/s, o termo ½ρv² sai em Pa, não em kPa.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

A água (ρ = 1000 kg/m³) escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 50 mm. Na seção larga a pressão é 200 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Ignorando as perdas, encontre a pressão na seção estreita.

1

Desenhe o tubo

121,5 m/sv2​100 mm50 mm200 kPap2​ = ?

A seção 1 é a parte larga, onde tudo é conhecido. A seção 2 é a parte estreita.

2

Velocidade na parte estreita

O diâmetro cai à metade, então a velocidade cresce por um fator (100/50)² = 4:

v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3

Escreva Bernoulli

O tubo é horizontal, então os termos de altura se cancelam:

p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4

Substitua, em pascals

½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5

Verifique a resposta

A água é mais rápida na parte estreita, então sua pressão deve ser menor. 183,1 kPa é menor que 200 kPa, como esperado.

A vazão é Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s nas duas seções.

Resposta

p2 ≈ 183,1 kPa na seção estreita (v2 = 6 m/s).

6Erros comuns

  • Usar a razão dos diâmetros em vez da razão das áreas: as velocidades mudam com o quadrado do diâmetro.
  • Usar o raio como se fosse o diâmetro em A = π·d²/4, ou esquecer o /4.
  • Misturar kPa e Pa. Trabalhe em Pa em Bernoulli e converta no final.
  • Informar m³/s como L/s. Multiplique m³/s por 1000 para obter L/s.
  • Esquecer o termo de altura ρ·g·Δz quando o tubo sobe ou desce.
Autoavaliação A água escoa a 2 m/s por um tubo com diâmetro interno de 100 mm. Qual é a vazão volumétrica?
  1. 0,0157 L/s
  2. 15,7 L/s
  3. 20 L/s
  4. 62,8 L/s

Resposta: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m², então Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. Esquecer o /4 dá 62,8, e esquecer π/4 dá 20.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: continuidade. Encontre uma vazão, uma vazão mássica, a velocidade numa seção mais estreita ou o diâmetro do tubo necessário para uma dada vazão. Algumas questões usam a lei de Torricelli para um tanque que esvazia.
  • Médio: uma redução horizontal. Encontre a pressão em uma seção a partir da outra. Variações usam um medidor Venturi, um tubo de Pitot (v = √(2Δp/ρ)) ou um orifício com coeficiente de descarga.
  • Difícil: um tubo que sobe. O termo de altura importa: cada metro de subida reduz a pressão em ρ·g·1 = 9,81 kPa para a água. Variações incluem um sifão, um tanque pressurizado e uma fonte.

No exemplo acima, uma subida de 5 m entre as seções reduziria p2 em mais 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa, para 134,1 kPa.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
12d1​ = 100 mm, v1​ = 2,75 m/sd2​ = 50 mm, v2​ = ?

A água escoa por um tubo que se estreita de 100 mm para 50 mm de diâmetro. A velocidade no trecho largo é 2,75 m/s. Encontre a velocidade v2 no trecho estreito.

d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s

Calcule v2 (m/s)

Mostrar dicas
  1. O mesmo volume de água passa por toda seção a cada segundo: Q = A·v.
  2. A₁v₁ = A₂v₂, e a área escala com d², então v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
  3. A1 = 0,007854 m².
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade

A vazão é a mesma nas duas seções.

A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s

Resposta

v2 = 11 m/s
Exemplo 2Média
12d1​ = 150 mm, p1​ = 250 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 250 kPa e a velocidade é 0,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 250 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

Calcule p2 (kPa)

Mostrar dicas
  1. Primeiro use a continuidade para encontrar a velocidade no trecho estreito.
  2. Bernoulli para um tubo horizontal: p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂².
  3. v2 = 4,5 m/s.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/50)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−10) = 240 kPa

Resposta

p2 = 240 kPa
Exemplo 3Difícil
pair​ = 190 kPaQ = ?d = 25 mmh = 4 m

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 190 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 25 mm, 4 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

pair = 190 kPa (manométrica)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Calcule Q (L/s)

Mostrar dicas
  1. Bernoulli da superfície da água (pressão manométrica p, em repouso) até o jato (atmosférico).
  2. p/ρ + gh = ½v², então v = √(2(p/ρ + gh)) com p em Pa.
  3. p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(190000/1000 + 9,81·4)) = 21,41 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,0004909·21,41 = 0,01051 m³/s = 10,51 L/s

Resposta

Q = 10,51 L/s

Perguntas e respostas

Continuidade e Bernoulli: o que é?

Ponha o polegar sobre a ponta de uma mangueira de jardim e a água sai mais rápido. A mesma quantidade de água precisa passar por uma abertura menor, então precisa se mover mais depressa.

Essa ideia é a continuidade: em um tubo cheio, a água não pode se acumular nem desaparecer. O que entra a cada segundo precisa sair a cada segundo.

Continuidade e Bernoulli: como resolver os exercícios passo a passo?

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli: quais são os erros mais comuns?
  • A pressão do ar também empurra a água para fora: inclua p/ρ na equação de Bernoulli.
  • A altura da água também contribui para a velocidade: v = √(2(p/ρ + gh)).
Continuidade e Bernoulli: o que se pratica?
  • Fácil: continuidade
  • Média: redução horizontal
  • Difícil: tubo em subida

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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