Círculo de Mohr e transformação de tensões: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: círculo de Mohr · tensões principais

Exercícios grátis de Círculo de Mohr e transformação de tensões com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: tensões principais, cisalhamento máximo e direção principal, tensão em um plano inclinado.

Exercício gratuitoFácil
σx​ = 90σy​ = −20MPaelemento principal

Em um ponto de uma peça carregada as tensões principais no plano são σ₁ = 90 MPa e σ₂ = −20 MPa (tração positiva). Encontre a tensão normal σavg que atua nos planos de tensão de cisalhamento máxima no plano.

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
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O que você pratica

  1. Fáciltensões principais
  2. Médiacisalhamento máximo e direção principal
  3. Difíciltensão em um plano inclinado

Como resolver exercícios de Círculo de Mohr e transformação de tensões

  1. Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
  4. Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Erros comuns

  • Usar θ em vez de 2θ nas equações de transformação.
  • Somar (σx − σy)/2 e τxy em vez de combiná-los com Pitágoras.
  • Errar a convenção de sinais da tensão de cisalhamento.

Fórmulas principais

Centro
C = (σx + σy)/2
Raio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensões principais
σ1,2 = C ± R
Direção principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Aprenda Círculo de Mohr e transformação de tensões do zero

Antes disso: Tensão e deformação axial

1Por que a tensão depende da direção

Na lição axial, a tensão era um único número: força sobre área. Mas a tensão em um ponto depende da direção do corte que você observa.

Torça um giz até quebrar. Ele quebra ao longo de uma espiral a 45°, não reto. Nesse plano de 45° a tração é máxima, e o giz é fraco à tração.

Para descrever a tensão em um ponto, os engenheiros desenham um quadradinho, o elemento de tensão, com as tensões em suas faces:

σx​σy​τxy​xy
  • σx e σy são tensões normais, perpendiculares às faces. Positivo significa tração (setas para fora), negativo significa compressão.
  • τxy é a tensão de cisalhamento, ao longo das faces. Ela tenta transformar o quadrado em um losango.

Gire o quadrado e as tensões em suas faces mudam. Esta lição mostra como encontrá-las para todas as direções e quais direções são as mais perigosas.

Autoavaliação Em um ponto, σx = −40 MPa. O que isso significa?
  1. Uma compressão de 40 MPa na direção x
  2. Uma compressão de 40 MPa na direção y
  3. Uma tensão de cisalhamento de 40 MPa
  4. Uma tração de 40 MPa na direção x

Resposta: Uma compressão de 40 MPa na direção x. Com a regra de sinais usual, a tração é positiva, então um σx negativo é compressão, atuando nas faces normais a x.

2Círculo de Mohr

O círculo de Mohr é uma imagem de todas as direções ao mesmo tempo. Cada ponto do círculo é um corte possível pelo ponto na peça.

Desenhe a tensão normal σ para a direita e a tensão de cisalhamento τ para cima. Depois marque dois pontos:

  • o ponto x em (σx, τxy): as tensões na face normal a x,
  • o ponto y em (σy, −τxy): as tensões na face normal a y.

O círculo passa pelos dois pontos. Seu centro C fica no eixo σ, na metade entre eles. Seu raio R vem de Pitágoras:

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

Onde o círculo cruza o eixo σ, a tensão de cisalhamento é zero. Esses dois valores são as tensões principais, a maior e a menor tensão normal no ponto. O topo do círculo é a maior tensão de cisalhamento no plano:

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Autoavaliação σx = 50 MPa, σy = 10 MPa e τxy = 15 MPa. Qual é σ1?
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

Resposta: 55 MPa. C = 30 MPa e R = √(20² + 15²) = 25 MPa, então σ1 = 55 MPa. 65 soma 20 + 15 em vez de usar Pitágoras; 50 ignora a tensão de cisalhamento.

3Ângulos: o dobro no círculo

Girar o elemento de um ângulo θ move seu ponto no círculo de Mohr de 2θ, no mesmo sentido. O sentido anti-horário é positivo.

A direção de σ1 é o ângulo θp a partir do eixo x, encontrado por:

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

Atenção ao quadrante. Se σx − σy for negativo, some 180° a 2θp quando τxy > 0, ou subtraia 180° quando τxy < 0. Depois divida por dois.

Os planos de cisalhamento máximo ficam a 45° das direções principais (90° no círculo).

Para um plano cuja normal está girada de θ em relação ao eixo x, as tensões são:

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Autoavaliação Em um ponto, tan 2θp = 1 e σx − σy é positivo. Quanto vale θp?
  1. 22,5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67,5°

Resposta: 22,5°. 2θp = 45°, então θp = 22,5°. Responder 45° esquece de dividir o ângulo do círculo por dois. −67,5° é a direção de σ2, a 90° de distância.

4O método passo a passo

  1. Anote σx, σy e τxy com seus sinais: tração positiva, compressão negativa.
  2. Encontre o centro C = (σx + σy)/2.
  3. Encontre o raio R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  4. Tensões principais: σ1 = C + R e σ2 = C − R. Maior cisalhamento no plano: τmax = R.
  5. Direções: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), verifique o quadrante e depois divida por dois.
  6. Para um plano θ dado: use as equações de σθ e τθ com 2θ.

Um esboço rápido do círculo, mesmo grosseiro, mostra os sinais e qual ponto é σ1.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Um ponto tem σx = 80 MPa, σy = 20 MPa e τxy = 40 MPa. Encontre as tensões principais, τmax, a direção θp de σ1 e a tensão normal em um plano girado 45° no sentido anti-horário.

1

Observe o elemento

xy

As duas tensões normais são de tração. A tensão de cisalhamento é positiva.

2

Centro e raio

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

Tensões principais e cisalhamento máximo

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

Direção principal

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333

σx − σy é positivo, então não é preciso corrigir: 2θp = 53,1° e θp = 26,6° no sentido anti-horário a partir de x.

5

Plano girado de 45°

Com θ = 45°, 2θ = 90°: cos 2θ = 0 e sin 2θ = 1.

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

Verifique a resposta

A soma σx + σy = 100 MPa é igual a σ1 + σ2 = 100 MPa. Essa soma é a mesma para qualquer rotação, então serve como verificação rápida.

Além disso, 90 MPa está entre σ2 = 0 e σ1 = 100 MPa, como toda tensão normal deve estar.

Resposta

σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26,6° e σ45° = 90 MPa.

6Erros comuns

  • Somar (σx − σy)/2 e τxy diretamente. O raio os combina com Pitágoras.
  • Usar θ em vez de 2θ nas equações de transformação, ou esquecer de dividir por dois o ângulo lido no círculo.
  • Esquecer um sinal de menos: uma tensão de compressão deve entrar como número negativo.
  • Marcar o ponto y em (σy, +τxy). Ele fica em −τxy, do lado oposto ao de x em relação ao centro.
  • Errar o quadrante de 2θp quando σx < σy.
Autoavaliação σx = 60 MPa, σy = 0 e τxy = 40 MPa. Qual é a tensão máxima de cisalhamento no plano?
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

Resposta: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70 soma 30 + 40; 30 ignora a tensão de cisalhamento; 40 é apenas τxy.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: tensões principais. Dados σx, σy e τxy, encontre σ1 ou σ2. Variantes: cisalhamento puro, ou uma barra axial cortada em um ângulo.
  • Médio: cisalhamento máximo e direção principal. Encontre τmax = R ou o ângulo θp, entre −90° e 90°.
  • Difícil: tensão em um plano inclinado. Use a equação de σθ ou τθ com 2θ. Variantes combinam carga axial e torção, ou usam as tensões principais em uma verificação de falha, como von Mises ou Tresca.

Anote primeiro C e R. Quase toda questão deste tópico se resolve com esses dois números.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

Um ponto tem σₓ = 30 MPa e σᵧ = 50 MPa, além de alguma tensão de cisalhamento. Em um elemento girado de 30° a tensão normal na direção girada x′ é 87 MPa. Encontre a tensão normal σy′ na direção girada y′.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

Calcule σy′ (MPa)

Mostrar dicas
  1. Você não precisa de τₓᵧ nem das equações de transformação.
  2. A soma das tensões normais em dois planos perpendiculares é a mesma para qualquer orientação (o centro do círculo de Mohr não se move).
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Primeiro invariante de tensões

Os pontos x′ e y′ estão em extremidades opostas de um diâmetro, então sua média é sempre o centro C.

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

Resposta

σy′ = −7 MPa
Exemplo 2Média
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θp do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

Calcule θp (°)

Mostrar dicas
  1. Desenhe o círculo de Mohr: ponto x em (σₓ, τₓᵧ), ponto y em (σᵧ, −τₓᵧ), centro C no meio.
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). Atenção ao quadrante.
  3. C = 10 MPa, R = 31,62 MPa.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

στxyCσ1​σ2​

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108,4°

Ângulo no elemento

θp = −54,22°

Resposta

θp = −54,22°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

Exemplo 3Difícil
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2,5 MPap

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 500 mm e espessura de parede de 5 mm contém gás a uma pressão manométrica de 2,5 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 60° do eixo do cilindro. Encontre o módulo da tensão de cisalhamento |τn| que atua ao longo da costura de solda.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

Calcule |τn| (MPa)

Mostrar dicas
  1. Tensão circunferencial σh = pr/t, tensão axial σa = pr/(2t). Não há cisalhamento nos planos axial e circunferencial.
  2. Cisalhamento ao longo da costura: |τn| = (σh − σa)·sin α·cos α.
  3. σh = 125 MPa, σa = 62,5 MPa.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Cilindro de parede fina: tensão circunferencial σh = pr/t e tensão axial σa = pr/(2t); essas são as tensões principais na parede.

Tensões na parede

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62,5 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σa) e y na direção circunferencial (σh). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

|τn| = (125 − 62,5)·sin 60°·cos 60° = 27,06 MPa

Resposta

|τn| = 27,06 MPa

Perguntas e respostas

Círculo de Mohr e transformação de tensões: o que é?

Na lição axial, a tensão era um único número: força sobre área. Mas a tensão em um ponto depende da direção do corte que você observa.

Torça um giz até quebrar. Ele quebra ao longo de uma espiral a 45°, não reto. Nesse plano de 45° a tração é máxima, e o giz é fraco à tração.

Círculo de Mohr e transformação de tensões: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
  4. Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Círculo de Mohr e transformação de tensões: quais são os erros mais comuns?
  • Usar θ em vez de 2θ nas equações de transformação.
  • Somar (σx − σy)/2 e τxy em vez de combiná-los com Pitágoras.
  • Errar a convenção de sinais da tensão de cisalhamento.
Círculo de Mohr e transformação de tensões: o que se pratica?
  • Fácil: tensões principais
  • Média: cisalhamento máximo e direção principal
  • Difícil: tensão em um plano inclinado

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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