Dairesel hareket: adım adım çözümlü alıştırma soruları

1Dairesel hareket nedir

Virajdaki bir araba, ipteki bir taş ve Dünya etrafındaki bir uydu bir çember üzerinde hareket eder. Hızları sabit olsa bile yönleri sürekli değişir.

Yön değişimi hız değişimidir, bu yüzden cisim ivmelenir. Bu ivme çemberin merkezine doğrudur. Buna merkezcil ivme a_c denir.

Hız her zaman teğet boyuncadır, yarıçapa diktir. İçeri doğru çekim birden kesilseydi, cisim dışarı değil, teğet boyunca düz bir çizgide uçup giderdi.

2Merkezcil ivme ve kuvvet

Merkezcil ivme, v hızına (m/s) ve r yarıçapına (m) bağlıdır:

Hızın iki katı, ivmenin dört katını verir. Daha keskin bir viraj (daha küçük r) daha büyük ivme verir.

Newton’un ikinci yasasına göre, o büyüklükte içe doğru bir kuvveti bir şeyin sağlaması gerekir:

F_c yeni bir kuvvet değildir. Gerçek kuvvetlerin oluşturduğu net içe doğru kuvvettir: düz virajda sürtünme, ipteki gerilme, uydu için yerçekimi ya da eğimli yolda normal kuvvet.

Dönen cisimler çoğu zaman rad/s cinsinden açısal hız ω ile tanımlanır. Bir devir 2π rad’dır, yani 60 devir/dakika 2π rad/s’dir.

3Adım adım yöntem

1. Hızları m/s’ye, yarıçapları m’ye ve devir/dakikayı rad/s’ye çevirin.
2. Cismi söz konusu noktada çizin ve merkez yönünü işaretleyin.
3. Gerçek kuvvetleri çizin: ağırlık, normal kuvvet, sürtünme, gerilme.
4. “Merkeze doğru” yönünü pozitif alın ve o yöndeki kuvvet bileşenlerini toplayın.
5. Bu net içe doğru kuvveti m·v²/r’ye eşitleyin ve çözün.

Düz virajda içe doğru kuvveti yalnızca sürtünme verir. Kaymadan önceki en yüksek hız μ·m·g = m·v²/r’den çıkar. Kütle sadeleşir:

4Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

5Düşey çemberler

Düşey bir çemberde ağırlık bazen merkeze, bazen merkezden uzağa doğrudur. Tepe ve dip noktasına ayrı ayrı bakın.

• Tepede gerilme (ya da normal kuvvet) ve ağırlık ikisi de aşağı, merkeze doğrudur.
• Dipte gerilme merkeze, yukarı doğrudur ama ağırlık ondan uzağa doğrudur. İp hem ağırlığı taşımalı hem merkezcil kuvveti vermelidir.

Tepede, T = 0 olduğunda ip tam gergin kalır. O zaman içe doğru kuvveti yalnızca ağırlık verir: m·g = m·v²/r, dolayısıyla v_min = √(g·r).

Bir noktadaki hızı biliyor ve başka bir noktadaki hızı arıyorsanız enerjiyi kullanın: 2r yukarı çıkmak kilogram başına v²/2’den 2·g·r götürür, yani v_top² = v_bottom² − 4·g·r.

6Sık yapılan hatalar

• Merkezcil kuvveti sürtünmenin ya da gerilmenin yanında ek bir kuvvet gibi çizmek. O, gerçek kuvvetlerin toplamıdır.
• v²/r’de hızın karesini almayı unutmak.
• km/h ya da devir/dakikayı doğrudan kullanmak. Önce m/s ya da rad/s’ye çevirin.
• Düşey çemberde ağırlığın işaretini yanlış almak: tepede yardım eder, dipte ipe karşı çalışır.
• Cisme dışa doğru bir kuvvet etki ettiğini sanmak. Yer çerçevesinde böyle bir kuvvet yoktur.

7Sınav soruları nasıl görünür

• Kolay: merkezcil kuvvet. Virajdaki bir araba, ipteki bir taş ya da dönen bir diskteki bir nokta için a_c ya da F_c bulun.
• Orta: virajda sürtünme ve ilgili durumlar: düz virajda en yüksek hız, eğimli viraj, yoldaki tümsek, konik sarkaç ya da lunapark rotoru.
• Zor: düşey çember. Tepede ya da dipte gerilme, tepedeki en küçük hız ya da enerji korunumlu ölüm çemberi (loop).

Her durumda önce sorun: hangi gerçek kuvvet ya da hangi kombinasyon merkeze doğrudur?