Yaylar ve sarkaçlar: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Yaylar ve sarkaçlar alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: yaydaki kütle, sarkaç, hız, ivme ve enerji.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
4,8 kgk = ?

Bir yaydaki 4,8 kg’lık kütle 2,5 s periyotla salınıyor. Yay sabiti k değerini bulun.

m = 4,8 kgT = 2,5 s
N/m
Sonraki soru →
Yaylar ve sarkaçlar konusunu ücretsiz çalışınYaylar ve sarkaçlar konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolayyaydaki kütle
  2. Ortasarkaç
  3. Zorhız, ivme ve enerji

Temel formüller

Yaydaki kütle
T = 2π·√(m/k)
Sarkaç
T = 2π·√(L/g)
Açısal frekans
ω = √(k/m) = 2π/T
En büyük hız ve ivme
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Enerji
E = ½·k·A²

Yaylar ve sarkaçlar konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Newton yasaları

1Salınım nedir?

Bir yaya bağlı bir kütleyi bir yana çekin ve bırakın. Ortadan geri geçer, diğer tarafa kadar gider ve tekrar geri gelir. Salıncaktaki bir çocuk ve bir gitar teli de aynısını yapar.

Bu tekrarlayan harekete salınım denir. Kütlenin duracağı orta nokta denge konumudur.

m0−A+Axk
  • Genlik A, m cinsinden dengeden en büyük uzaklıktır.
  • Periyot T, tam bir salınımın, gidip gelmenin, s cinsinden süresidir.
  • Frekans f, saniye başına salınım sayısıdır; hertz (Hz) cinsinden.
f = 1 / T
Kendini sına Bir yaydaki kütle 10 s'de 20 tam salınım yapıyor. Periyot nedir?
  1. 0,5 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 200 s

Cevap: 0,5 s. T = süre / salınım sayısı = 10/20 = 0,5 s. 2, Hz cinsinden frekanstır (20/10), saniye başına salınım sayısı.

2Basit harmonik hareket

Bir yay, uzamayla orantılı bir kuvvetle geri çeker: F = −k·x. Rijitlik k, N/m cinsindendir. Eksi işareti, kuvvetin her zaman dengeye doğru olduğu anlamına gelir.

Böyle bir geri çağıran kuvvet basit harmonik hareket (BHH) verir. Konum zamanda bir kosinüs eğrisini izler:

txA−AT
x = A · cos(ω·t)

Açısal frekans ω (omega), rad/s cinsinden, hareketin ne kadar hızlı tekrarladığını belirler. Bir periyot 2π rad'dır.

ω = 2π / T = 2π · f

Genlik periyodu değiştirmez. Daha büyük bir salınım daha fazla mesafe kat eder ama aynı zamanda daha hızlı hareket eder.

3Yay ve sarkaç formülleri

Yaya bağlı bir kütle için daha ağır bir kütle daha yavaş, daha rijit bir yay daha hızlı salınır:

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

Uzunluğu L olan basit bir sarkaç için, küçük salınımlarla, kütlenin hiç önemi yoktur:

T = 2π · √(L / g)

Bir yay dikey asılıysa ağırlık onu yeni bir denge konumuna uzatır: k·x = m·g. Ölçülen bir uzamadan k’yı bulmak için bunu kullanın.

Hız dengede en büyük, uçlarda sıfırdır. İvme, yay kuvvetinin en büyük olduğu uçlarda en büyüktür:

vmax = A · ω amax = A · ω²

Toplam enerji aynı kalır: E = ½·k·A². Bir x konumunda ½·k·x² + ½·m·v² olarak paylaşılır.

Kendini sına Bir yaydaki kütleyi iki kat ağır olanla değiştiriyorsunuz. Periyoda ne olur?
  1. 1,41 kat kısalır
  2. 4 kat uzar
  3. İki katına çıkar
  4. √2 ≈ 1,41 kat uzar

Cevap: √2 ≈ 1,41 kat uzar. T = 2π·√(m/k), yani T m’nin karekökü ile artar. m’yi ikiye katlamak T’yi √2 ile çarpar. İki katına çıktığını söylemek karekökü unutur.

4Adım adım yöntem

  1. Her şeyi SI birimlerine çevirin: gramı kg’a, santimetreyi m’ye.
  2. Hangi sistem olduğuna karar verin: yaydaki bir kütle (k ve m kullanın) veya bir sarkaç (L ve g kullanın).
  3. Periyot veya salınım sayısı verilmişse önce T’yi bulun: T = süre / sayı.
  4. Sistemden ω’yı bulun: ω = √(k/m) veya ω = 2π/T.
  5. İstenene uygun formülü kullanın: T, f, vmaks = A·ω, amaks = A·ω² veya ½·k·A² enerjisi.
  6. Cevabın makul olduğunu kontrol edin: rijit bir yay için saniyenin bir kesri, uzun bir sarkaç için birkaç saniye periyot.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

k = 200 N/m olan bir yaydaki 0,5 kg’lık kütle dengeden 5 cm çekilip bırakılıyor. Periyot T’yi, frekans f’yi, maksimum hız vmaks’ı ve maksimum ivme amaks’ı bulun.

1

Birimler

A = 5 cm = 0,05 m m = 0,5 kg k = 200 N/m
2

Açısal frekans

ω = √(k / m) = √(200 / 0,5) = √400 = 20 rad/s
3

Periyot ve frekans

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0,314 s
f = 1 / T = 3,18 Hz
4

En büyük hız

Kütle dengeden geçerken en hızlıdır.

vmax = A · ω = 0,05 · 20 = 1 m/s
5

En büyük ivme

İvme, kütlenin geri döndüğü uçlarda en büyüktür.

amax = A · ω² = 0,05 · 400 = 20 m/s²
6

Cevabı kontrol edin

Enerji kontrolü: ½·k·A² = ½ · 200 · 0,05² = 0,25 J ve ½·m·vmaks² = ½ · 0,5 · 1² = 0,25 J. Yayın tüm enerjisi dengede kinetik enerjiye dönüşür.

Cevap

T ≈ 0,314 s, f ≈ 3,18 Hz, vmaks = 1 m/s ve amaks = 20 m/s².

6Sık yapılan hatalar

  • Genliği m yerine cm olarak kullanmak.
  • Kesri ters çevirmek: T = 2π·√(m/k), √(k/m) değil. Sarkaç için √(L/g)’dir.
  • 2π’yi unutmak veya ω (rad/s) ile f’yi (Hz) karıştırmak.
  • Kütlenin bir sarkacın periyodunu değiştirdiğini veya genliğin herhangi bir periyodu değiştirdiğini sanmak.
  • vmaks = A·ω ile amaks = A·ω²’yi karıştırmak.
Kendini sına Bir kütle 10 cm genlik ve ω = 10 rad/s ile salınıyor. Maksimum ivmesi nedir?
  1. 1 m/s²
  2. 10 m/s²
  3. 100 m/s²
  4. 1000 m/s²

Cevap: 10 m/s². amaks = A·ω² = 0,1 · 100 = 10 m/s². A = 10 (cm) kullanmak 1000 verir. 1 m/s, A·ω'dır; maksimum hız, ivme değil.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: yaydaki bir kütle. T, f veya k’yı bulun; bazen bir salınım sayısından veya kütlenin asılı bir yayı ne kadar uzattığından.
  • Orta: sarkaç. Periyodunu, verilen bir periyot için uzunluğunu veya başka bir gezegendeki g’yi bulun. Bazı sorular bir konumdaki veya verilen bir andaki hızı ister.
  • Zor: hız, ivme ve enerji: vmaks, amaks, bir konumdaki kinetik enerji veya bir mermi yaydaki bir bloğa çarptıktan sonraki genlik.

Herhangi bir sarkaç için hızlı bir kontrol: Dünya’da 1 m’lik bir sarkacın periyodu yaklaşık 2 s’dir.

Kendini sına Bir sarkaç 2,45 m uzunluğundadır. g = 9,81 m/s² ile küçük salınımlar için periyodu nedir?
  1. 0,50 s
  2. 1,57 s
  3. 12,6 s
  4. 3,14 s

Cevap: 3,14 s. T = 2π·√(2,45/9,81) = 2π · 0,5 = 3,14 s. √(g/L) ters hâli 12,6 s verir, karekökü unutmak 1,57 s verir, 2π’yi unutmak 0,50 s verir.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
3,2 kgk = 210 N/m

Yay sabiti 210 N/m olan bir yaya bağlı 3,2 kg’lık bir kütle sürtünmesiz bir yüzeyde salınıyor. Periyot T değerini bulun.

m = 3,2 kgk = 210 N/m

İstenen: T (s)

İpuçlarını göster
  1. Kütle–yay sisteminin periyodu genliğe bağlı değildir.
  2. T = 2π·√(m/k).
  3. √(m/k) = 0,1234 s.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Basit harmonik hareket: k sertlikli bir yaya bağlı m kütlesi ω = √(k/m) açısal frekansı ve T = 2π/ω = 2π·√(m/k) periyoduyla salınır. L uzunluğundaki basit sarkaç için T = 2π·√(L/g). A genliğiyle en büyük hız A·ω, en büyük ivme A·ω² ve enerji ½·k·A²’dir.

Periyot

T = 2π·√(3,2/210) = 0,7756 s

Cevap

T = 0,7756 s
Örnek 2Orta
1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

k = 120 N/m olan bir yaydaki 1,1 kg’lık kütle sürtünmesiz bir yüzeyde 7 cm genlikle salınıyor. Dengeden 6 cm uzaktayken hızı v değerini bulun.

m = 1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

İstenen: v (m/s)

İpuçlarını göster
  1. Enerji korunur: ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v².
  2. Yani ω = √(k/m) ile v = ω·√(A² − x²).
  3. ω = 10,44 rad/s.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Açısal frekans

ω = √(120/1,1) = 10,44 rad/s

x’teki hız

v = ω·√(A² − x²) = 10,44·√(0,07² − 0,06²) = 0,3766 m/s

Cevap

v = 0,3766 m/s
Örnek 3Zor
1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

k = 380 N/m olan bir yaya bağlı 1,7 kg’lık bir kütle denge konumundan 11 cm çekilip serbest bırakılıyor. En büyük ivmesi amax değerini bulun.

m = 1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

İstenen: amax (m/s²)

İpuçlarını göster
  1. ω = √(k/m).
  2. İvme uç noktalarda en büyüktür: amax = A·ω².
  3. ω = 14,95 rad/s, A = 0,11 m.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Basit harmonik hareket: k sertlikli bir yaya bağlı m kütlesi ω = √(k/m) açısal frekansı ve T = 2π/ω = 2π·√(m/k) periyoduyla salınır. L uzunluğundaki basit sarkaç için T = 2π·√(L/g). A genliğiyle en büyük hız A·ω, en büyük ivme A·ω² ve enerji ½·k·A²’dir.

Açısal frekans

ω = √(380/1,7) = 14,95 rad/s

En büyük ivme

amax = A·ω² = 0,11·14,95² = 24,59 m/s²

Cevap

amax = 24,59 m/s²

Sorular ve cevaplar

Yaylar ve sarkaçlar nedir?

Bir yaya bağlı bir kütleyi bir yana çekin ve bırakın. Ortadan geri geçer, diğer tarafa kadar gider ve tekrar geri gelir. Salıncaktaki bir çocuk ve bir gitar teli de aynısını yapar.

Bu tekrarlayan harekete salınım denir. Kütlenin duracağı orta nokta denge konumudur.

Yaylar ve sarkaçlar soruları adım adım nasıl çözülür?

Basit harmonik hareket: k sertlikli bir yaya bağlı m kütlesi ω = √(k/m) açısal frekansı ve T = 2π/ω = 2π·√(m/k) periyoduyla salınır. L uzunluğundaki basit sarkaç için T = 2π·√(L/g). A genliğiyle en büyük hız A·ω, en büyük ivme A·ω² ve enerji ½·k·A²’dir.

Yaylar ve sarkaçlar konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • 2π’yi unutmayın: T = 2π·√(m/k) ve f = 1/T.
  • Kök içindeki kesri kontrol edin: T = 2π·√(m/k), kütle kesrin payındadır.
  • Bu, dengedeki en büyük hız. x’te hız daha düşüktür: v = ω·√(A² − x²).
Yaylar ve sarkaçlar alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: yaydaki kütle
  • Orta: sarkaç
  • Zor: hız, ivme ve enerji

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Newton yasaları

Sonra devam edin

Mekanik titreşimlerDalgalar, ses ve optik

Hesaplayıcılar

Sarkaç ve yay periyodu hesaplayıcıYay sabiti hesaplayıcı (Hooke yasası)

Bu konuyu içeren dersler

DinamikFizik 1: MekanikDalgalar ve OptikAP Physics 1 alıştırma soruları

Fizik alanında diğer konular

KinematikNewton yasalarıDairesel hareketMomentum ve çarpışmalarCoulomb yasası ve elektrik alanlarıManyetik alanlar ve indüksiyonDalgalar, ses ve optik

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Yaylar ve sarkaçlar çalışma kâğıdı
Yaylar ve sarkaçlar konusunu ücretsiz çalışınYaylar ve sarkaçlar konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.