Mekanik titreşimler: adım adım çözümlü alıştırma soruları

1Titreşim nedir

Bir yaya bir kütle asın, biraz aşağı çekin ve bırakın. Dinlenme konumunun etrafında aşağı yukarı zıplar. Bu tekrarlayan hareket bir titreşimdir.

Böyle her sistemin kendi sevdiği bir ritmi vardır: doğal frekans. Yalnızca yayın ne kadar rijit olduğuna ve kütlenin ne kadar ağır olduğuna bağlıdır; ne kadar çektiğinize değil.

Mühendisler bunu önemser, çünkü doğal frekansında sarsılan bir makine şiddetle titreşebilir. Buna rezonans denir. Motor takozları, çamaşır makineleri ve köprülerin hepsi bu düşünülerek tasarlanır.

Daha rijit bir yay titreşimi hızlandırır. Daha ağır bir kütle yavaşlatır.

2Doğal frekans ve yay kombinasyonları

Rijitliği k (N/m) olan bir yaydaki m (kg) kütlesi için rad/s cinsinden doğal açısal frekans:

Bir tam döngü 2π radyandır. Yani hertz (saniye başına döngü) cinsinden doğal frekans ve periyot (döngü başına saniye):

Bazen yalnızca yayın ağırlık altında ne kadar çöktüğünü, statik sehimi δ_st = m·g/k bilirsiniz. O zaman ω_n = √(g / δ_st), δ_st metre cinsinden.

Birden fazla yay olduğunda, önce onları tek bir eşdeğer yayla değiştirin:

• Yan yana (paralel), yaylar yükü paylaşır ve rijitlikler toplanır.
• Uç uca (seri), her yay tüm yükü alır ve eşdeğer yay, her birinden daha yumuşaktır.

3Sönüm

Gerçek titreşimler söner. Bir sönümleyici (yağda hareket eden bir piston, bir arabanın amortisörü gibi) enerjiyi alır. Gücü, N·s/m cinsinden sönüm katsayısı c’dir.

Kritik sönüm, kütlenin hiç zıplamasını durduran sönüm miktarıdır:

Sönüm oranı gerçek sönümü bu kritik değerle karşılaştırır:

• ζ < 1: az sönümlü. Kütle yine titreşir, ama salınımlar küçülür.
• ζ = 1: kritik sönümlü. Aşmadan olabildiğince hızlı durgunluğa döner.
• ζ > 1: aşırı sönümlü. Titreşmeden yavaşça geri sürünür.

Az sönümlü bir sistem, sönümlü doğal frekansta sönümsüzden biraz daha yavaş titreşir:

4Adım adım yöntem

1. Her şeyi SI birimlerine çevirin: kN/m’yi N/m’ye (× 1000), mm’yi m’ye, gramı kg’a.
2. Birden fazla yay varsa onları tek bir k’da birleştirin: paralelde toplayın, seride terslerini toplayın.
3. ω_n = √(k/m)’yi rad/s cinsinden bulun.
4. Soru hertz isterse 2π’ye bölün: f_n = ω_n/(2π). Periyot için T = 1/f_n alın.
5. Sönüm varsa c_c = 2·√(k·m)’yi, sonra ζ = c/c_c’yi ve istenirse ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)’yi bulun.

ω’yı (rad/s) ve f’yi (Hz) ayrı tutun. Aralarında 2π ≈ 6,28 çarpanı vardır ve karıştırmak puan kaybetmenin en yaygın yoludur.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

6Sık yapılan hatalar

• Soru Hz cinsinden f_n isterken ω_n’i rad/s olarak vermek veya tersi.
• Rijitliği kN/m bırakmak. Formül N/m ister.
• Seri yayları paralelmiş gibi toplamak.
• c_c = 2·√(k·m)’deki 2’yi unutmak.
• ω_n = √(k/m)’de m kütlesi yerine m·g ağırlığını kullanmak.

7Sınav soruları nasıl görünür

• Kolay: doğal frekans. Yaydaki bir kütle: ω_n’i rad/s veya f_n’i Hz cinsinden bulun. Bazı sorular, takozları üzerindeki bir makinenin yalnızca statik sehimini verir.
• Orta: sönüm oranı. ζ’yı m, k ve c’den bulun veya verilen bir ζ’dan sönümlü frekans f_d’yi bulun. Diğerleri serbest titreşim deneyinden iki tepe verir.
• Zor: seri ve paralel yaylar, bazen ikisi birden (bir çubuğu tutan yan yana iki yay ve altında üçüncü bir yay). Önce k_eq’yu, sonra f_n’i bulun.

n döngü arayla iki tepe x₀ ve x_n için logaritmik azalmayı kullanın: