Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Sık yapılan hatalar
Moment kolunu yanlış noktadan almak.
Yayılı yükü bileşkesine çevirmeyi unutmak.
Hangi mesnedin hangi tepkiyi taşıdığını karıştırmak.
Temel formüller
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Kiriş mesnet tepkileri konusunu sıfırdan öğrenin
1Mesnet reaksiyonları nedir
Kiriş, bir raf, bir döşeme kirişi ya da küçük bir köprü gibi, yükleri bir boşluğun üzerinden taşıyan uzun, düz bir elemandır.
Kiriş mesnetler üzerinde durur. Yükler kirişi aşağı ittiğinde mesnetler yukarı doğru geri iter. Bu yukarı yönlü kuvvetler mesnet reaksiyonlarıdır.
Burada 10 kN’luk bir yük tam ortadadır. Simetri gereği her mesnet yarısını taşır: RA = RB = 5 kN.
Yük ortada olmadığında yakın olan mesnet daha fazlasını taşır. Tam olarak ne kadar olduğunu bulmak bu dersin konusudur.
Kesme kuvveti, eğilme momenti, gerilme ve sehim gibi hemen her diğer kiriş sorusu için önce reaksiyonlara ihtiyacınız vardır.
Kendini sına İki mesnetli bir kiriş, açıklık ortasında tam 10 kN taşıyor. Her mesnetteki reaksiyon nedir?
10 kN
2,5 kN
20 kN
5 kN
Cevap: 5 kN. İki reaksiyon birlikte 10 kN’un tamamını taşımalıdır ve simetri gereği eşittirler: 10/2 = 5 kN. Her mesnette 10 kN, yükü iki kez taşımak olurdu.
2Mesnetler, momentler ve denge
Her mesnet türü kendi biçiminde geri itebilir.
Bir kayıcı mesnet (şekilde B) yalnızca üzerinde yuvarlandığı yüzeye dik doğrultuda itebilir. Tek bir düşey reaksiyon verir.
Bir sabit mesnet (A) kirişin her yönde hareket etmesini engeller. Bir düşey ve bir yatay reaksiyon verir. Yalnızca düşey yüklerde yatay olan sıfırdır.
Bir duvar gibi bir ankastre mesnet, kirişin dönmesini de engeller. Bir düşey kuvvet ve bir reaksiyon momenti verir.
Bir moment, bir kuvvetin bir noktaya göre döndürme etkisidir. Kuvvet çarpı o noktadan olan dik uzaklıktır:
M = F · d
Duran bir kiriş ne hareket eder ne de döner. Bu yüzden üç denge denklemi geçerlidir:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
Moment denklemi herhangi bir noktaya göre geçerlidir. Nokta olarak bir mesnet seçin: reaksiyonunun uzaklığı sıfırdır, bu yüzden denklemden düşer.
Kendini sına 6 kN’luk bir kuvvet A noktasından 2 m uzakta etki ediyor. A’ya göre momenti nedir?
12 kN·m
3 kN·m
6 kN·m
8 kN·m
Cevap: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m. Kuvveti ve uzaklığı bölmek (3) ya da toplamak (8) olağan hatalardır.
3Yayılı yükler
Bazı yükler, bir döşemenin ya da karın ağırlığı gibi, kiriş boyunca yayılmıştır. Düzgün yayılı yük (UDL), her metrede aynı w değerine, kN/m cinsinden, sahiptir.
Reaksiyonlar için bir UDL’yi tek bir kuvvetle değiştirebilirsiniz. Büyüklüğü metre başına yük çarpı yüklü uzunluktur ve yüklü kısmın ortasında etki eder:
W = w · ℓ
Şekilde ℓ = 3 m, yani W = 4 · 3 = 12 kN. Yükün ortasında, A’dan x = 1 + 1,5 = 2,5 m uzakta etki eder.
Konsol, bir balkon gibi yalnızca bir ucundan ankastredir. Duvar yukarı yönlü bir kuvvet ve bir moment verir. L uzaklığındaki bir uç yükü P için: RA = P ve MA = P·L.
Bu konsolda RA = 5 kN ve MA = 5 · 3 = 15 kN·m.
Kendini sına 4 kN/m’lik bir UDL, x = 1 m’den x = 4 m’ye kadar etki ediyor. Hangi tek kuvvet onun yerine geçer ve nerede?
x = 1,5 m’de 12 kN
x = 2 m’de 12 kN
x = 2,5 m’de 12 kN
x = 2,5 m’de 4 kN
Cevap: x = 2,5 m’de 12 kN. W = 4·3 = 12 kN, yükün ortasında, A’dan 1 + 1,5 = 2,5 m uzakta. 1,5 m, A’dan değil yükün başından ölçülür. 2 m, yüklü kısmın değil tüm açıklığın ortasıdır.
4Adım adım yöntem
Kirişi çizin ve her mesneti reaksiyonlarıyla değiştirin: sabit mesnette RA, kayıcı mesnette RB.
Her UDL’yi, yüklü kısmın ortasında tek bir w·ℓ kuvvetiyle değiştirin.
A’ya göre moment alın. RA düşer, böylece RB’yi doğrudan bulursunuz: RB·L = Σ(her yük × A’dan uzaklığı).
ΣFy = 0 kullanın: RA = (toplam yük) − RB.
Kontrol: B’ye göre moment alın. Bu aynı RA’yı vermelidir.
3. adım için işaret kuralı: RB reaksiyonu kirişi A’ya göre bir yöne, aşağı yönlü yükler öbür yöne döndürür. Momentleri dengelenmelidir.
5Çözümlü bir örnek
Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.
Çözümlü örnek
6 m açıklıklı basit mesnetli bir kiriş, A’dan 2 m uzakta P1 = 12 kN ve A’dan 4 m uzakta P2 = 6 kN taşıyor. RA ve RB’yi bulun.
1
Serbest cisim diyagramını çizin
A’daki sabit mesnet ve B’deki kayıcı mesnet birer yukarı yönlü reaksiyon verir. İki bilinmeyen vardır, bu yüzden iki denklem yeterlidir.
2
A’ya göre momentler
RA A’dan geçer, bu yüzden A’ya göre momenti yoktur. Yükler kirişi saat yönünde, RB saat yönünün tersine döndürür:
RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3
Düşey kuvvet dengesi
İki reaksiyon birlikte 12 + 6 = 18 kN’luk toplam yükü taşır.
RA = 18 − 8 = 10 kN
4
Cevabı kontrol edin
Bunun yerine B’ye göre moment alın. B’ye uzaklıklar P1 için 4 m, P2 için 2 m’dir.
RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN
İki yol da aynı sonucu verir. RA büyük olandır, bu da mantıklıdır: ağır yük A’ya daha yakındır.
Cevap
RA = 10 kN ve RB = 8 kN.
6Sık yapılan hatalar
Bir uzaklığı yanlış noktadan ölçmek. A’ya göre bir moment denkleminde her uzaklık A’dan ölçülür.
Reaksiyonları karıştırmak. A’ya göre moment almak RA’yı değil RB’yi verir.
Bir UDL’yi tek bir w·ℓ kuvvetine çevirmeyi unutmak ya da bu kuvveti yükün ortası yerine açıklığın ortasına koymak.
Dönme yönlerini karıştırmak; böylece bir yük ile bir reaksiyon moment denkleminde aynı işareti alır.
Kontrol etmemek. B’ye göre ikinci bir moment denklemi, hataların çoğunu birkaç saniyede yakalar.
Kendini sına İki mesnetli 4 m’lik bir kiriş, A’dan 1 m uzakta 8 kN taşıyor. RA nedir?
2 kN
4 kN
6 kN
8 kN
Cevap: 6 kN. A’ya göre momentler: RB·4 = 8·1, yani RB = 2 kN ve RA = 8 − 2 = 6 kN. 2 kN, RB’dir: yüke daha yakın mesnet daha fazlasını taşır.
7Sınav soruları nasıl görünür
Kolay: tek tekil yüklü basit mesnetli bir kiriş. RA ya da RB’yi bulursunuz.
Orta: çözümlü örnekteki gibi iki tekil yük.
Zor: açıklığın bir kısmında ya da tamamında UDL ile birlikte bir tekil yük. Önce UDL’yi ortasındaki w·ℓ ile değiştirin.
Diğer sürümler aynı üç denklemi kullanır: bir konsol (duvar momenti MA’yı bulun), eğik bir yük (yalnızca düşey bileşenini, P·sin θ, kullanın), uygulanan bir kuvvet çifti, bir mesneti aşan çıkmalı kiriş ya da üçgen bir yük (bileşke, yüksek uçtan uzunluğunun üçte birinde ½·w·ℓ).
Kirişin altındaki ölçüleri dikkatle okuyun ve başlamadan önce her uzaklığı A’dan yazın.
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.
L = 4 mP = 55 kN @ 2 m
İstenen: RB(kN)
İpuçlarını göster
Statik denge kullanın: ΣFy = 0 ve ΣM = 0. İki bilinmeyen, iki denklem.
A’ya göre moment alın. RA A’dan geçtiği için düşer ve RB’yi doğrudan bulursunuz.
Toplam aşağı yük 55 kN, dolayısıyla RA + RB = 55 kN.
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.
Serbest cisim diyagramı
Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN
Cevap
RB = 27,5 kN
Örnek 2Orta
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.
L = 6 mP1 = 15 kN @ 2 mP2 = 30 kN @ 3 m
İstenen: RB(kN)
İpuçlarını göster
Statik denge kullanın: ΣFy = 0 ve ΣM = 0. İki bilinmeyen, iki denklem.
A’ya göre moment alın. RA A’dan geçtiği için düşer ve RB’yi doğrudan bulursunuz.
Toplam aşağı yük 45 kN, dolayısıyla RA + RB = 45 kN.
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.
Serbest cisim diyagramı
Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN
Cevap
RB = 20 kN
Örnek 3Zor
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 3 m uzaklıkta yatayla 30° açı yapan bir P yükü ve A’dan 2 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvvetinin büyüklüğü RA değerini bulun.
L = 4 mP = 25 kN @ 3 m, θ = 30°Q = 25 kN @ 2 m
İstenen: RA(kN)
İpuçlarını göster
P’yi P·cos θ (yatay) ve P·sin θ (düşey) olarak ayırın. Kayıcı mesnet yatay kuvvet almaz.
RB’yi A’ya göre momentlerden, sonra Ay’yi ΣFy = 0’dan ve Ax’i ΣFx = 0’dan bulun.
Ax = 21,65 kN, Ay = 15,63 kN.
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
P’nin bileşenleri
Pv = 25·sin 30° = 12,5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21,65 kN
Tepkiler
ΣMA = 0: RB·4 = 12,5·3 + 25·2 → RB = 21,88 kN
Ay = 12,5 + 25 − 21,88 = 15,63 kN
Ax = Ph = 21,65 kN
A’daki bileşke
RA = √(21,65² + 15,63²) = 26,7 kN
Cevap
RA = 26,7 kN
Sorular ve cevaplar
Kiriş mesnet tepkileri nedir?
Kiriş, bir raf, bir döşeme kirişi ya da küçük bir köprü gibi, yükleri bir boşluğun üzerinden taşıyan uzun, düz bir elemandır.
Kiriş mesnetler üzerinde durur. Yükler kirişi aşağı ittiğinde mesnetler yukarı doğru geri iter. Bu yukarı yönlü kuvvetler mesnet reaksiyonlarıdır.
Kiriş mesnet tepkileri soruları adım adım nasıl çözülür?
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kiriş mesnet tepkileri konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
Moment kolunu yanlış noktadan almak.
Yayılı yükü bileşkesine çevirmeyi unutmak.
Hangi mesnedin hangi tepkiyi taşıdığını karıştırmak.
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
Çalışma nasıl işler
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.