Eksenel gerilme ve şekil değiştirme: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Q: Eksenel gerilme ve şekil değiştirme soruları adım adım nasıl çözülür?

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Q: Eksenel gerilme ve şekil değiştirme alıştırmaları neleri kapsar?

Kolay: normal gerilme Orta: şekil değiştirme ve uzama Zor: kademeli çubuk Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Diğer adları: normal gerilme · Hooke yasası · çekme ve basma

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Eksenel gerilme ve şekil değiştirme alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: normal gerilme, şekil değiştirme ve uzama, kademeli çubuk.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 100 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 800 mm’dir ve rijit levhalar arasında 80 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Çubuktaki basınç gerilmesini σ_r bulun.

P = 80 kNçubuk: Ø30 mm, E = 200 GPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

Sonraki soru →

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme konusunu ücretsiz çalışın Eksenel gerilme ve şekil değiştirme konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

Kolaynormal gerilme
Ortaşekil değiştirme ve uzama
Zorkademeli çubuk

Temel formüller

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme konusunu sıfırdan öğrenin

1Gerilme nedir

Bir çelik çubuğu çekin, direnç gösterir. Kopup kopmaması yalnızca kuvvete değil, bu kuvveti ne kadar malzemenin paylaştığına da bağlıdır.

İnce bir tel ile kalın bir kablo aynı yükü taşıyabilir. İnce telin kopma olasılığı çok daha yüksektir, çünkü her milimetrekaresi daha fazla taşır.

Normal gerilme σ (sigma), kesit alanı başına düşen kuvvettir. P kuvveti çubuğun ekseni boyunca etki eder; bu yüzden buna eksenel yük denir.

σ = P / A

Mühendisler newton ve milimetre ile çalışır. Milimetrekare başına bir newton bir megapaskaldır:

1 N/mm² = 1 MPa

Bu yüzden önce kN’u N’a çevirin (× 1000). d çaplı yuvarlak bir çubuk için alan bir dairedir:

A = π · d² / 4

Kendini sına Kesit alanı 100 mm² olan bir çubuk 10 kN taşıyor. Gerilme nedir?

0,1 MPa
10 MPa
100 MPa
1000 MPa

Cevap: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0,1 MPa, kN’u N’a çevirmeyi unutmaktan gelir.

2Birim şekil değiştirme ve Hooke yasası

Yük altında çubuk biraz da uzar. Boydaki bu değişim uzamadır δ (delta).

Birim şekil değiştirme ε (epsilon), uzamanın ilk uzunluğa bölünmesidir. Birimi yoktur, çünkü mm bölü mm’dir:

ε = δ / L

Metallerde birim şekil değiştirmeler çok küçüktür, bu yüzden çoğu zaman mikroşekil değiştirme olarak verilir: 1 µε = 10⁻⁶. 0,0008’lik bir birim şekil değiştirme 800 µε’dur.

Çoğu malzemede yük çok büyük olmadığı sürece gerilme ve birim şekil değiştirme orantılıdır. Bu Hooke yasasıdır:

σ = E · ε

E, malzemenin sertliği olan elastisite modülüdür. Çeliğin E ≈ 200 GPa, alüminyumun yaklaşık 70 GPa’dır. 1 GPa = 1000 MPa olduğundan çelik için E = 200 000 MPa’dır.

Üç formülü birleştirmek uzamayı doğrudan verir:

δ = P · L / (A · E)

Kendini sına Bir çelik çubuğun (E = 200 GPa) gerilmesi 200 MPa’dır. Birim şekil değiştirme nedir?

0,001
0,1
1000
1

Cevap: 0,001. E’yi MPa’ya çevirin: 200 GPa = 200 000 MPa. Sonra ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. Çevirmeden 200’ü 200’e bölmek 1 verir; bu çok büyüktür.

3Adım adım yöntem

Tüm değerleri N ve mm cinsinden yazın: P N cinsinden (kN × 1000), uzunluklar mm cinsinden (m × 1000), E MPa cinsinden (GPa × 1000).
Alanı bulun: yuvarlak çubuk için A = π·d²/4.
Gerilmeyi bulun: σ = P/A, MPa cinsinden.
Birim şekil değiştirmeyi bulun: ε = σ/E. Cevap µε isteniyorsa 10⁶ ile çarpın.
Uzamayı bulun: δ = ε·L, mm cinsinden.

Sorunun istediği adımda durun. Çoğu soru yalnızca ilk iki ya da üç adımı kullanır.

4Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Çelik bir çubuğun (E = 200 GPa) çapı 20 mm, boyu 2 m’dir. 50 kN’luk eksenel çekme yükü taşıyor. Gerilmeyi, birim şekil değiştirmeyi ve uzamayı bulun.

Çubuğa bakın ve birimleri çevirin

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm ve E = 200 GPa = 200 000 MPa.

Alan

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²

Gerilme

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

Bu, sıradan çeliğin dayanımının (yaklaşık 250 MPa) çok altındadır, bu yüzden Hooke yasası geçerlidir.

Birim şekil değiştirme

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε

Uzama

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm

Cevabı kontrol edin

İkinci bir yol olarak birleşik formülü kullanın:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

2 m’lik bir çelik çubuğun yaklaşık 1,6 mm uzaması gerçekçidir: çelikte birim şekil değiştirmeler %0,2’nin çok altında kalır.

Cevap

σ = 159,2 MPa, ε = 796 µε ve δ = 1,59 mm.

5Birden fazla bölümlü çubuklar

Kademeli çubuk, farklı çaplı ve bazen farklı malzemeli bölümlerden oluşur.

Çubuğu herhangi bir yerden kesin ve kesimin sağındaki parçaya bakın. Ona yalnızca P çeker, bu yüzden her bölüm aynı P kuvvetini taşır.

Alanlar farklıdır, bu yüzden gerilmeler farklıdır. En ince bölümün gerilmesi en büyüktür.

Her bölüm kendi A, L ve E değerleriyle kendi başına uzar. Toplam uzama toplamdır:

δ = P·L₁ / (A₁·E₁) + P·L₂ / (A₂·E₂)

Kendini sına Kademeli bir çubuk 20 kN taşıyor. 1. bölümün A = 400 mm², 2. bölümün A = 100 mm². Çubuktaki en büyük gerilme nedir?

200 MPa
250 MPa
40 MPa
50 MPa

Cevap: 200 MPa. İki bölüm de 20 kN taşır. İncesinde 20 000/100 = 200 MPa vardır. 50 MPa kalın bölümdür, 40 MPa alanları yanlışlıkla toplar ve 250 MPa iki gerilmeyi yanlışlıkla toplar.

6Sık yapılan hatalar

kN’u N’a çevirmeyi unutmak; gerilmeyi 1000 kat küçük yapar.
MPa cinsinden gerilmenin yanında E’yi GPa olarak kullanmak. E’yi MPa olarak yazın (GPa × 1000).
Dairenin alanı için π·d²/4 yerine π·d² ya da π·d kullanmak.
δ milimetre çıkması gerekirken L’yi metre bırakmak.
P’yi kademeli çubuğun bölümleri arasında bölmek. Her bölüm P’nin tamamını taşır.

Kendini sına A = 30 mm² olan bir çubuk P = 6 kN taşıyor. Gerilme nedir?

0,2 MPa
180 MPa
200 MPa
5 MPa

Cevap: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0,2 MPa, 6000 N yerine 6 kullanır; 5 MPa alanı kuvvete böler; 180 bunları çarpar.

7Sınav soruları nasıl görünür

Kolay: normal gerilme. d çaplı yuvarlak bir çubuk P taşır; σ = P/A’yı bulun.
Orta: birim şekil değiştirme ve uzama. L ve malzemenin E değeri de verilir; ε’yi (µε cinsinden) ya da δ’yı (mm cinsinden) bulun.
Zor: iki bölümlü, belki farklı malzemeli kademeli bir çubuk. Toplam uzamayı ya da en büyük gerilmeyi bulun.

Birimleri her sayının yanına yazın. Bu konudaki neredeyse tüm yanlış cevaplar 1000 katı hatalıdır.

Uygulamada adım adım öğrenin Uygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 120 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 500 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Çubuktaki basınç gerilmesini σ_r bulun.

P = 300 kNçubuk: Ø30 mm, E = 200 GPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

İstenen: σ_r (MPa)

İpuçlarını göster

Rijit levhalar: çubuk ve boru aynı miktarda kısalır, dolayısıyla ε ikisinde de aynıdır.
ε = P/ΣEA.
σ = E·ε.

Cevabı ve adım adım çözümü göster

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Ortak birim şekil değiştirme

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Çubuktaki gerilme

σ_r = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Cevap

σ_r = 70,74 MPa

Örnek 2Orta

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

İstenen: ε (µε)

İpuçlarını göster

Üç ilişkiyi zincirleyin: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
E’yi MPa’ya çevirin (GPa × 1000) ki MPa cinsinden gerilmeyle uyuşsun; L’yi mm’ye çevirin.
σ = 31,83 MPa.

Cevabı ve adım adım çözümü göster

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Cevap

ε = 318,3 µε

Örnek 3Zor

çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 40 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

İstenen: σ₂ (MPa)

İpuçlarını göster

Birleşim yeri iki kesim için de aynı miktarda hareket eder: biri uzar, diğeri kısalır.
k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.

Cevabı ve adım adım çözümü göster

Rijitlikler

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 40000·98960/570199 = 6942 N

Gerilme

σ₂ = 6942/706,9 = 9,821 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 9,821 MPa

Sorular ve cevaplar

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme nedir?

Bir çelik çubuğu çekin, direnç gösterir. Kopup kopmaması yalnızca kuvvete değil, bu kuvveti ne kadar malzemenin paylaştığına da bağlıdır.

İnce bir tel ile kalın bir kablo aynı yükü taşıyabilir. İnce telin kopma olasılığı çok daha yüksektir, çünkü her milimetrekaresi daha fazla taşır.

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme soruları adım adım nasıl çözülür?

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?

İki malzeme gerilmeyi eşit paylaşmaz: birim şekil değiştirmeyi paylaşır. Daha rijit olan daha fazla gerilir.
Boru yükün bir kısmını taşır.
Bu borudaki gerilmedir.

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme alıştırmaları neleri kapsar?

Kolay: normal gerilme
Orta: şekil değiştirme ve uzama
Zor: kademeli çubuk

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Sonra devam edin

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü Millerin burulması

Hesaplayıcılar

Eksenel gerilme ve birim şekil değiştirme hesaplayıcı Isıl genleşme hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

Mukavemet Makine Tasarımı FE Mechanical sınav hazırlığı

Makine alanında diğer konular

Kiriş mesnet tepkileri Çerçeveler ve makineler Millerin burulması Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü Eğik atış İş ve enerji Rijit cismin dönmesi Mekanik titreşimler Isı makineleri ve soğutucular Gaz güç çevrimleri Süreklilik ve Bernoulli Boru sürtünmesi ve yük kaybı Pompalar ve pompa gücü Isı iletimi Dişliler ve dişli dizileri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Eksenel gerilme ve şekil değiştirme çalışma kâğıdı

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme konusunu ücretsiz çalışın Eksenel gerilme ve şekil değiştirme konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.