Rijit cismin dönmesi: adım adım çözümlü alıştırma soruları

1Rijit cismin dönmesi nedir

Rijit cisim, şeklini koruyan nesnedir: bir volan, bir kasnak, bir kapı ya da yuvarlanan bir tekerlek. Bu konuda cisim bir eksen etrafında döner.

Cismin her noktası aynı sürede aynı açıyı döner. Bu yüzden hareketi mesafeler yerine açısal büyüklüklerle tanımlarsınız:

• θ: dönülen açı, radyan (rad) cinsinden. Bir tam devir 2π rad’dır.
• ω: açısal hız, rad/s cinsinden.
• α: açısal ivme, rad/s² cinsinden.

Makineler hızları dakikadaki devir (rpm) olarak verir. Hesaplamadan önce bunları çevirin:

Eksenden r uzaklığındaki bir nokta v = ω·r süratiyle hareket eder ve yolu boyunca a = α·r ivmesine sahiptir.

Doğrusal harekete dair bildiğiniz her şeyin dönen bir ikizi vardır: kuvvet moment olur, kütle eylemsizlik momenti olur ve ΣF = m·a, ΣM = I·α olur.

2Eylemsizlik momenti

Kütle, bir cismi doğru boyunca hızlandırmanın ne kadar zor olduğunu söyler. Kütle eylemsizlik momenti I ise onu döndürmeye başlamanın ne kadar zor olduğunu söyler.

Eksenden uzak kütle, yakın kütleden çok daha fazla sayılır, çünkü uzaklığının karesiyle sayılır:

Parçaları kendiniz toplamanız gerekmez. Kütle merkezi G’ye göre şu standart sonuçları öğrenin:

• L uzunluğunda ince çubuk, eksen ortadan: m·L²/12.
• R yarıçaplı dolu disk ya da silindir: ½·m·R².
• İnce halka ya da çember: m·R².
• Dolu küre: (2/5)·m·R². İçi boş küre: (2/3)·m·R².
• r uzaklığındaki noktasal kütle: m·r².

O ekseni G’den geçmediğinde paralel eksen teoremini kullanın. Burada d, O ile G arasındaki uzaklıktır:

Ucundan dönen bir çubukta d = L/2, yani I_O = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.

Bazı sorular bir şekil yerine atalet yarıçapı k verir. O zaman I = m·k². Parçalardan oluşan bir cisim için her parçanın aynı eksene göre I’sını bulun ve toplayın.

3Momentler, enerji ve açısal momentum

Üç araç hemen hemen her dönme problemini çözer. Soruya uyanı seçin.

1. Momentler. Eksene göre momentlerin toplamı I·α’ya eşittir. İvmeler ve kuvvetler için kullanın.

Sabit bir torkla açısal hareketin α’sı sabittir ve kinematik denklemlerin dönen ikizleri vardır: ω = ω₀ + α·t ve ω² = ω₀² + 2·α·θ.

2. Enerji. Dönen bir cisim kinetik enerji depolar. θ açısı boyunca dönen bir T torku iş yapar ve dönen bir milin gücü tork çarpı açısal hızdır:

Kaymadan yuvarlanan bir cisim aynı anda hem ilerler hem döner, v = ω·r ile. Her iki tür kinetik enerjiye de sahiptir:

c sayısı yalnızca şekle bağlıdır: dolu küre için 0,4, dolu silindir için 0,5, içi boş küre için 2/3 ve çember için 1. Bir eğimde a = g·sin θ / (1 + c).

3. Açısal momentum. L = I·ω. Eksene göre dışarıdan hiçbir moment etki etmediğinde, cisimler yapışıp kinetik enerji kaybolsa bile L aynı kalır:

4Adım adım yöntem

1. Cismi çizin ve ekseni seçin: sabit mafsal ya da mil, yuvarlanan bir cisim için merkez.
2. O eksene göre eylemsizlik momentini bulun. Standart sonuçları kullanın ve eksen kaydırıldığında m·d² ekleyin.
3. rpm cinsinden her hızı ω = 2π·n/60 ile rad/s’ye çevirin.
4. Aracı seçin. İvmeler ve kuvvetler: ΣM = I·α (doğru boyunca hareket eden parçalar için ΣF = m·a ile). Bir mesafe ya da açı sonrasındaki hızlar: enerji. Çarpmalar, ani kavramalar ve kütlesini içeri çeken cisimler: açısal momentum.
5. Düz ve dönen hareketi, bir ip ya da yuvarlanan bir temasın birleştirdiği yerde bağlayın: v = ω·r ve a = α·r.
6. Çözün ve mümkünse sonucu ikinci bir araçla kontrol edin.

Bir kasnağın çevresindeki ipten asılı bir cisim için iki serbest cisim diyagramı çizin: biri blok (kuvvetler), diğeri kasnak (momentler) için. İp gerilmesi ikisinde de görünür.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

6Sık yapılan hatalar

• ω, E = ½·I·ω² ya da P = T·ω içinde hızları rpm olarak bırakmak. Önce rad/s’ye çevirin.
• Ucundan dönen bir cisim için merkeze göre eylemsizlik momentini kullanmak. m·d² ekleyin.
• Yuvarlanan bir cismin ya da makaranın dönme kinetik enerjisini unutmak.
• Bir çubuğun ucundaki bir küreyi ya da diski noktasal kütle saymak. Kendi merkezine göre I’sını da ekleyin.
• Cisimler kavradığında ya da yapıştığında kinetik enerjinin korunduğunu varsaymak. Bunun yerine açısal momentumu kullanın.
• Devir sayısını radyan cinsinden saymak: N = θ/(2π).

7Sınav soruları nasıl görünür

• Kolay: eylemsizlik momenti. Kaydırılmış bir eksene göre bir çubuk, bir çubuk ile bir küre ya da diskten oluşan bir sarkaç, bir volanın kinetik enerjisi ya da bir volanı döndürmek için gereken tork ya da süre.
• Orta: ΣM = I·α, iş ve güç. Yataydan bırakılan bir çubuk, bir kasnak üzerindeki blok, frenlenen bir volanın yaptığı devir sayısı, bir milin torku ya da gücü veya sallanan bir çubuğun hızı.
• Zor: yuvarlanma ve açısal momentum. Bir eğimden yuvarlanan küre, silindir ya da çember, yuvarlanmak için gereken sürtünme, dönme enerjisinin payı, dönen bir diske bırakılan halka, dambılları içeri çeken bir kişi ya da asılı bir çubuğa çarpan bir kurşun.

Frenlenen bir volanda fren, depolanan enerjiye eşit iş yapar: T·θ = ½·I·ω². Devir sayısını bulmak için θ’yı 2π’ye bölün.

Bir ucundan mafsallı ve yataydan bırakılan bir çubuğun bırakıldıktan hemen sonra α = 3·g/(2·L) değeri vardır. Serbest ucu 1,5·g ile ivmelenir.

Bir çubuğa saplanan kurşun için mafsala göre açısal momentum korunur: m·v·d = (I_çubuk + m·d²)·ω.